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摘 要：在“最近发展区”开展教学已成为教学过程中必须遵循的原则.“最近发展区”处于动态变化之中，精准把握最佳“最近发展区”是实施有效教学的灵魂，本文以“点到直线的距离公式”为例进行说明.
关键词：“最近发展区"；动态原则
维果斯基指出，学生的发展有两种水平，一是学生现有发展水平，二是在教师启发下，在自身努力下，在合作交流学习中，学生可能达到的水平，这两种水平之间的差距即为“最近发展区”.奥苏贝尔认为，影响学习效果最重要的因素就是学习者已经知道了什么，其本质就是施教者必须清楚学生的“最近发展区”.章建跃博士形象地用“跳一跳可以摘到桃子”来描述“最近发展区”.依据“最近发展区”理论，教师的职责在于引导、帮助学生从已有的水平发展到他可能达到的水平.在实际教学过程中，教师如何寻觅“最近发展区”？如何选择最佳“最近发展区”呢？本文以“点到直线的距离公式”为例来阐述.
一、教科书是这样证明的
1.什么是点到直线的距离公式
需要说明的是：限于篇幅，本文后续论述中将不再考虑上述（2）与（3）两种特殊情况.
二、教科书为何这样证明
1.教科书编排顺序
文[1]分为四章：《第一章 空间几何体》《第二章 点、直线、平面之间的位置关系》《第三章 直线与方程》《第四章 圆与方程》.其中第三章的具体内容依次为：3.1直线的倾斜角与斜率；3.2直线的方程；3.3直线的交点坐标与距离公式.“点到直线的距离公式”正是安排在3.3中第三课时，即“3.3.3点到直线的距离”.
2.教科书为何采取证法1
文[1]为何采用上述证法1？有何依据呢？文[1]在“3.3.2两点间的距离”中，就是利用上述图2构建直角三角形，然后借助于勾股定理来证明两点间距离公式的.故而文[1]顺势借助上述圖2并利用直角三角形面积等积法来推导（*），承上启下，合情合理.
3.为何多数师生不认可证法1
笔者曾专门为此进行问卷调查，结果显示92%的师生认为不可能想到等积法（即上述证法1）.为何多数师生不认可上述证法1呢？因为“3.3.3点到直线的距离”是在研究“3.3.1两条直线的交点坐标”及“3.3.2两点间的距离”基础上，将两点中的一个点换成直线，因此借助“3.3.1两条直线的交点坐标”的内容求出垂足的坐标，进而利用“3.3.2两点间的距离”的内容求解，才符合“最近发展区”原则，因此一线师生普遍认同以下方法：
③即为求出的垂足点Q的坐标，再依据两点间距离公式即可得到上述（*）.
4.难道教科书没有考虑到证法2
既然不符合“最近发展区”原则，那么文[1]为何还要这样操作呢？难道教科书没有考虑到证法2吗？难道这是教科书的失误？显然不是！事实上，文[1]也关注到上述证法2，那教科书这样安排到底有何用意呢？证法2中的②到③，涉及较多字母（7个），看似只是二元一次方程组，但运算较为繁杂.而证法1则有效规避了复杂运算，这也是教科书必须考量的因素，因为简洁是数学永恒的追求.正如爱因斯坦赞叹：“数学美，本质上终究是简单性.”
不可否定，仅仅从推理演算的步骤与过程来看，证法2比证法1复杂得多，但证法2的论证过程，使学生前面所学的知识（两条直线交点坐标、两点间距离公式等）、能力（运算能力、推理能力等）、意志品质（敢于面对复杂运算、追求理性思维）都同步得到发展.更为重要的是，证法2尊重学生朴素的思维过程，充分发挥学生的主观能动性.因此笔者认为，无论是从学生的原有知识，还是“最近发展区”，还是师生的心理认同感，都应该选择上述证法2.更何况通过证法2中比较复杂的推理论证过程，教师可以培养学生勇于尝试、敢于向繁杂运算挑战的品质，进而提高数学运算素养.当然，作为补充，建议教科书将证法1适当安排在探究材料中，或安排在课后习题中，或安排在相应的教师教学用书中.
三、基于编排顺序的“最近发展区”
事实上，上述证法2是利用文[1]第三章中的“3.2直线的方程”及“3.3直线的交点坐标与距离公式”来处理.我们还应该看到文[1]第三章中的“3.1直线的倾斜角与斜率”，同时结合初中学习过的直角三角形边角之间的关系，便可得到以下方法：
四、基于核心素养的“最近发展区”
正是因为上述证法2涉及复杂推理与运算，对于学生而言，这是一种挑战，更是一种机遇.教师可以借机培养学生的数学运算能力.提高数学运算核心素养的关键在于：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果.
“最近发展区”是教学过程中教师应该遵循的一条重要原则.但“最近发展区”既不是唯一关注焦点，也不是唯一依据，还要将它与培养学生数学核心素养无缝对接，顺应课程改革潮流，符合最新颁布的课程方案与课程标准，从“最近发展区”中寻觅最佳“最近发展区”.
客观地讲，上述证法2符合“最近发展区”，但其论证过程与推理运算确实较为复杂，那我们能够优化其运算过程吗？答案是肯定的，那就是我们要理解运算对象.
1.从局部理解运算对象
评注：上述证法4从局部目标切入的，即把上述（*）中的x-x0与y-y0看作未知数，这样既在最近发展区，又使得运算得到简化，显然证法4比证法2简单.但必须看到，上述证法4依然有不少的步骤和不小的运算量，我们能否在证法4的基础上进一步优化其过程呢？
2.从整体理解运算对象
评注：上述证法5极其简捷，让人赏心悦目，正如克莱因感叹：“一个精彩巧妙的证明，精神上近乎一首诗.”
五、基于问题本质的“最近发展区”
点到直线距离的本质就是点P0（x0，y0）到直线l任意一点Q（x，y）的距离的最小值.点Q在运动变化，因此可以构造函数F（Q），即求函数F（Q）的最小值.由此得到以下构思： 评注：上述⑥到⑦的推理过程中借助了基本不等式.事实上，我们还可以在学生最为熟悉的“最近发展区”——直接配方上做文章，得到以下方法：
评注：优化运算过程，其本质就是在灵活应用基础知识、基本方法基础上的创新，凸显数学思维的深刻性、敏捷性、批判性以及创造性.
六、基于动态变化的“最近发展区”
必须指出的是：“最近发展区”是一个动态原则，并非一成不变的.对于同样的问题，随着学生已有知识的增加、技能的提升，其“最近发展区”也在不断地优化之中.
1.借助平面向量
当学生学习文[2]中的平面向量及文[3]中的空间向量知识后，还可以这样构思：
评注：文[3]“空间向量”涉及点到平面的距离，借助空间向量代数运算处理点到平面距离是学生熟悉的方法.必须承认，在文[2]“平面向量”部分，教科书并没有明确提出点到直线距离的向量运算.上述证法8采取类比方法，并结合“最近发展区”原则，将空间向量中的思想方法“退化”到平面向量中来，这正是“最近发展区”原则的一个突破.打破长期以来人们一直认为只有“高维”站在“低维”肩膀上，而没有“低维”借用“高维”的固化思维模式.
2.借助直线参数方程
教科書采取模块编排，螺旋上升.证法1至证法8都是借助必修模块知识.事实上，还可以恰当利用选修模块知识来加以解决，显得更为简捷.当学生学习文[4]中的直线参数方程知识后，联想到直线参数方程中参数t的几何意义，便可得到以下方法：
评注：学生普遍认为直线参数方程就是用来处理直线与圆锥曲线相交而产生的长度之间的关系的问题的.其实直线本身就是一种特殊曲线，利用直线参数方法来解决直线与直线相交的相关问题，也是直线参数方程的经典应用.
3.借助柯西不等式
当学生学习文[5]中的柯西不等式后，由于柯西不等式是处理最值的杠杆，因此借助柯西不等式就可以得到以下简捷方法：
评注：上述证法10让人赏心悦目，正如惠特霍斯所言：“一般地，解题之成功，在很大的程度上依赖于选择一种最适宜的方法.”
七、恰当选择最佳“最近发展区”
当然，除了上述10种证法外，我们还可以构造复数，构造二次函数，也可以利用平移等手段来论证上述（*）.事实上，由上述列举的证明方法足以看出，“最近发展区”是一个动态的、广义的原则.广义“最近发展区”既可以是方法型“最近发展区”（比如证法1、证法10），也可以是距离型“最近发展区”（比如证法1、证法2、证法3等），也可以是能力型“最近发展区”（比如证法6、证法7、证法8等），还可以是知识型“最近发展区”（比如证法9、证法10等），更可以是素养型“最近发展区”（比如证法4、证法5等）.当“最近发展区”同时面临方法、距离、能力、知识及素养等多重因素决策时，应当综合考量，具体分析，辩证思考，从中选择最适合本地、本校、本班学生的最佳“最近发展区”实施教学.
参考文献
[1]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学 必修 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.
[2]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学 必修4 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.
[3]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2—1 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.
[4]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4—4 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.
[5]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4—5 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.
关键词：“最近发展区"；动态原则
维果斯基指出，学生的发展有两种水平，一是学生现有发展水平，二是在教师启发下，在自身努力下，在合作交流学习中，学生可能达到的水平，这两种水平之间的差距即为“最近发展区”.奥苏贝尔认为，影响学习效果最重要的因素就是学习者已经知道了什么，其本质就是施教者必须清楚学生的“最近发展区”.章建跃博士形象地用“跳一跳可以摘到桃子”来描述“最近发展区”.依据“最近发展区”理论，教师的职责在于引导、帮助学生从已有的水平发展到他可能达到的水平.在实际教学过程中，教师如何寻觅“最近发展区”？如何选择最佳“最近发展区”呢？本文以“点到直线的距离公式”为例来阐述.
一、教科书是这样证明的
1.什么是点到直线的距离公式
需要说明的是：限于篇幅，本文后续论述中将不再考虑上述（2）与（3）两种特殊情况.
二、教科书为何这样证明
1.教科书编排顺序
文[1]分为四章：《第一章 空间几何体》《第二章 点、直线、平面之间的位置关系》《第三章 直线与方程》《第四章 圆与方程》.其中第三章的具体内容依次为：3.1直线的倾斜角与斜率；3.2直线的方程；3.3直线的交点坐标与距离公式.“点到直线的距离公式”正是安排在3.3中第三课时，即“3.3.3点到直线的距离”.
2.教科书为何采取证法1
文[1]为何采用上述证法1？有何依据呢？文[1]在“3.3.2两点间的距离”中，就是利用上述图2构建直角三角形，然后借助于勾股定理来证明两点间距离公式的.故而文[1]顺势借助上述圖2并利用直角三角形面积等积法来推导（*），承上启下，合情合理.
3.为何多数师生不认可证法1
笔者曾专门为此进行问卷调查，结果显示92%的师生认为不可能想到等积法（即上述证法1）.为何多数师生不认可上述证法1呢？因为“3.3.3点到直线的距离”是在研究“3.3.1两条直线的交点坐标”及“3.3.2两点间的距离”基础上，将两点中的一个点换成直线，因此借助“3.3.1两条直线的交点坐标”的内容求出垂足的坐标，进而利用“3.3.2两点间的距离”的内容求解，才符合“最近发展区”原则，因此一线师生普遍认同以下方法：
③即为求出的垂足点Q的坐标，再依据两点间距离公式即可得到上述（*）.
4.难道教科书没有考虑到证法2
既然不符合“最近发展区”原则，那么文[1]为何还要这样操作呢？难道教科书没有考虑到证法2吗？难道这是教科书的失误？显然不是！事实上，文[1]也关注到上述证法2，那教科书这样安排到底有何用意呢？证法2中的②到③，涉及较多字母（7个），看似只是二元一次方程组，但运算较为繁杂.而证法1则有效规避了复杂运算，这也是教科书必须考量的因素，因为简洁是数学永恒的追求.正如爱因斯坦赞叹：“数学美，本质上终究是简单性.”
不可否定，仅仅从推理演算的步骤与过程来看，证法2比证法1复杂得多，但证法2的论证过程，使学生前面所学的知识（两条直线交点坐标、两点间距离公式等）、能力（运算能力、推理能力等）、意志品质（敢于面对复杂运算、追求理性思维）都同步得到发展.更为重要的是，证法2尊重学生朴素的思维过程，充分发挥学生的主观能动性.因此笔者认为，无论是从学生的原有知识，还是“最近发展区”，还是师生的心理认同感，都应该选择上述证法2.更何况通过证法2中比较复杂的推理论证过程，教师可以培养学生勇于尝试、敢于向繁杂运算挑战的品质，进而提高数学运算素养.当然，作为补充，建议教科书将证法1适当安排在探究材料中，或安排在课后习题中，或安排在相应的教师教学用书中.
三、基于编排顺序的“最近发展区”
事实上，上述证法2是利用文[1]第三章中的“3.2直线的方程”及“3.3直线的交点坐标与距离公式”来处理.我们还应该看到文[1]第三章中的“3.1直线的倾斜角与斜率”，同时结合初中学习过的直角三角形边角之间的关系，便可得到以下方法：
四、基于核心素养的“最近发展区”
正是因为上述证法2涉及复杂推理与运算，对于学生而言，这是一种挑战，更是一种机遇.教师可以借机培养学生的数学运算能力.提高数学运算核心素养的关键在于：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果.
“最近发展区”是教学过程中教师应该遵循的一条重要原则.但“最近发展区”既不是唯一关注焦点，也不是唯一依据，还要将它与培养学生数学核心素养无缝对接，顺应课程改革潮流，符合最新颁布的课程方案与课程标准，从“最近发展区”中寻觅最佳“最近发展区”.
客观地讲，上述证法2符合“最近发展区”，但其论证过程与推理运算确实较为复杂，那我们能够优化其运算过程吗？答案是肯定的，那就是我们要理解运算对象.
1.从局部理解运算对象
评注：上述证法4从局部目标切入的，即把上述（*）中的x-x0与y-y0看作未知数，这样既在最近发展区，又使得运算得到简化，显然证法4比证法2简单.但必须看到，上述证法4依然有不少的步骤和不小的运算量，我们能否在证法4的基础上进一步优化其过程呢？
2.从整体理解运算对象
评注：上述证法5极其简捷，让人赏心悦目，正如克莱因感叹：“一个精彩巧妙的证明，精神上近乎一首诗.”
五、基于问题本质的“最近发展区”
点到直线距离的本质就是点P0（x0，y0）到直线l任意一点Q（x，y）的距离的最小值.点Q在运动变化，因此可以构造函数F（Q），即求函数F（Q）的最小值.由此得到以下构思： 评注：上述⑥到⑦的推理过程中借助了基本不等式.事实上，我们还可以在学生最为熟悉的“最近发展区”——直接配方上做文章，得到以下方法：
评注：优化运算过程，其本质就是在灵活应用基础知识、基本方法基础上的创新，凸显数学思维的深刻性、敏捷性、批判性以及创造性.
六、基于动态变化的“最近发展区”
必须指出的是：“最近发展区”是一个动态原则，并非一成不变的.对于同样的问题，随着学生已有知识的增加、技能的提升，其“最近发展区”也在不断地优化之中.
1.借助平面向量
当学生学习文[2]中的平面向量及文[3]中的空间向量知识后，还可以这样构思：
评注：文[3]“空间向量”涉及点到平面的距离，借助空间向量代数运算处理点到平面距离是学生熟悉的方法.必须承认，在文[2]“平面向量”部分，教科书并没有明确提出点到直线距离的向量运算.上述证法8采取类比方法，并结合“最近发展区”原则，将空间向量中的思想方法“退化”到平面向量中来，这正是“最近发展区”原则的一个突破.打破长期以来人们一直认为只有“高维”站在“低维”肩膀上，而没有“低维”借用“高维”的固化思维模式.
2.借助直线参数方程
教科書采取模块编排，螺旋上升.证法1至证法8都是借助必修模块知识.事实上，还可以恰当利用选修模块知识来加以解决，显得更为简捷.当学生学习文[4]中的直线参数方程知识后，联想到直线参数方程中参数t的几何意义，便可得到以下方法：
评注：学生普遍认为直线参数方程就是用来处理直线与圆锥曲线相交而产生的长度之间的关系的问题的.其实直线本身就是一种特殊曲线，利用直线参数方法来解决直线与直线相交的相关问题，也是直线参数方程的经典应用.
3.借助柯西不等式
当学生学习文[5]中的柯西不等式后，由于柯西不等式是处理最值的杠杆，因此借助柯西不等式就可以得到以下简捷方法：
评注：上述证法10让人赏心悦目，正如惠特霍斯所言：“一般地，解题之成功，在很大的程度上依赖于选择一种最适宜的方法.”
七、恰当选择最佳“最近发展区”
当然，除了上述10种证法外，我们还可以构造复数，构造二次函数，也可以利用平移等手段来论证上述（*）.事实上，由上述列举的证明方法足以看出，“最近发展区”是一个动态的、广义的原则.广义“最近发展区”既可以是方法型“最近发展区”（比如证法1、证法10），也可以是距离型“最近发展区”（比如证法1、证法2、证法3等），也可以是能力型“最近发展区”（比如证法6、证法7、证法8等），还可以是知识型“最近发展区”（比如证法9、证法10等），更可以是素养型“最近发展区”（比如证法4、证法5等）.当“最近发展区”同时面临方法、距离、能力、知识及素养等多重因素决策时，应当综合考量，具体分析，辩证思考，从中选择最适合本地、本校、本班学生的最佳“最近发展区”实施教学.
参考文献
[1]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学 必修 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.
[2]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学 必修4 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.
[3]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2—1 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.
[4]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4—4 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.
[5]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4—5 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.