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1. 没有理解简单随机抽样的本质导致出错
例1 某学校从高二年级2014名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2014人中，每人入選的概率（ ）
A.不全相等
B.均不相等
C.都相等，且为[251007]
D.都相等，且为[140]
错解 A
错解分析 认为被剔除的人的概率为[142014]，后入选的概率为[140].
正解 因为“先用简单随机抽样从2014人中剔除14人”，每个人机会均等，概率为[20002014]. “剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人”每个人机会也均等，概率为[502000]，所以每人入选的概率为[20002014×502000=251007].
答案 C
点拨 不管是哪种抽样，其原则都是确保公平，每个个体被抽到的概率相等.
2. 没有理解样本数字特征与频率分布直方图的关系导致出错
例 2 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人用再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2000，3000）（元/月）收入段应抽出 人.
错解 [10000×0.0005×500×10010000=25]人
错解分析 频率分布直方图中每个小矩形的面积是这一组距内个体的频率.
正解 由直方图可得[2000，3000）（元/月）收入段共有[10000×0.0001×500=5000]人，
按分层抽样应抽出[5000×10010000=50]人.
点拨 频率分布直方图中，关键要理解图中数据的意义，特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率.最高矩形的中点是众数，将直方图面积一分为二的垂直横轴的直线所对应的数值是中位数.
3. 没有理解样本数据的意义导致出错
例3 某公司招聘工作人员：总经理1人，每人每月工资10000元，副经理2人，每人每月工资6000元，车间主任4人，每人每月工资3000元，工人8人，每人每月工资1500元.该公司招聘的员工工资收入情况如何？
错解 平均工资为[10000+6000×2+3000×4+1500×815][=3067]，所以该公司招聘的员工工资收入还可以.
错解分析 认为平均数反映了整体工资状况.
正解 从原始数据看，极差很大，方差大，尽管平均工资3000多，但不能代表实际的水平，大多数人工资远远低于平均工资.
点拨 样本数据指标只能反映数据的某个侧面.方差反映了数据的稳定性，平均数反映数据的整体性，但受极端数据影响，也会失真.
4. 审题不清导致出错
例4 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问恰好第三次打开房门锁的概率是多少？
错解 有5把钥匙，每次打开房门的概率都是[15]，不能打开房门的概率是[45]，因而恰好第三次打开房门的概率是[45×45×15=16125.]
错解分析 上述解法忽略了条件“逐把不重复地试开”.第一次没有打开的概率为[45]，第二次没有打开的概率为[34]，第三次打开的概率为[13]，恰好第三次打开房门的概率是[45]×[34]×[13]=[15].
正解 显然最多开5次门，且其中有且仅有一次可以打开房门，故每一次打开门的概率是相同的，都是[15]，属于古典概率.开三次门的所有可能性有[5×4×3=60]种.第三次打开房门，则房门钥匙放在第3号位置上，前两次没能打开门，则前2个位置是用另4把钥匙安排的，故有[4×3=12]种可能.从而恰好第三次打开房门锁的概率是P（A）=[P（A）=1260=15].
点拨 本题的关键句“逐把不重复地试开”，属于古典概率.根据分步计数原理计算事件数.做题时，对题目中的关键字、词、句一定要认真斟酌，“重复”与“不重复”、“放回”与“不放回”绝然不同.
5. 没有搞清楚事件的相互关系导致出错
例5 在一段时间内，甲去某地的概率为0.25，乙去该地的概率为0.2，假设两人的行动互不影响，那么在这段时间内有人去此地的概率为（ ）
A. 0.45 B. 0.8 C. 0.4 D. 0.75
错解 A
错解分析 认为甲去乙不去，实际上甲乙可能同时去.
正解 设事件[A]为“甲去某地”，事件[B]为“乙去某地”，则事件“这段时间内有人去此地”的概率为[P=PA?B+PA?B+PA?B=0.4].
点拨 误将[A，B]当作互斥事件.此题还可以考虑甲、乙都不去的对立事件的概率.
6. 对几何度量选择不当导致出错
例6 在等腰直角三角形[ABC]中，[D]是斜边[AB]上的点，求满足[BD>BC]的三角形的概率.
错解 设[AC=BC=1]，则[AB=2]，在[BA]上 截取[BE=1]，则[BE=BC]. 只要[D]在线段[AE]上即可.故[BD>BC]的概率为[2-12=2-22.]
错解分析 “线段[AB]上取点[D]，满足[BD>BC]”与“线段[AB]上的点，使满足[BD>BC]的三角形[BCD]”显然不同. 正解 因为研究的是满足[BD>BC]的三角形[BCD]，可以看成射线[CD]在[90°]的区域均匀分布，故满足[BD>BC]的三角形[BCD]的边[CD]落在三角形[AEC]内. 而[∠ACE=22.5°]，所以其概率为[22.5°90°=14].
点拨 在几何概型题中，是哪种几何度量（长度、面积、体积、角度）要深入分析题目才能判断，搞清楚基本事件的含义.此题的基本事件是“三角形[CDB]中，[BD>BC]的边CD”，它与“[AB]上的点[D]，满足[BD>BC]”显然不同，一个是[CD]绕[C]从[CE]旋转到[CA]， 几何度量是角度；一个是长度.
7. 凭感觉，思考的不够深入导致出错
例7 班级联欢时，主持人拟出了如下节目：跳双人舞、独唱、朗诵，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目. 为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率.
错解 因为是有放回，等概率，第一次抽的概率为[15]，第二次抽的概率也为[15.]
所以独唱和朗诵由同一个人表演的概率为[15×15=125.]
错解分析 忽视了同一个人有五种不同的情况.
正解 因为是有放回，等概率，1号第一次抽的概率为[15]，1号第二次抽的概率也为[15]，所以两次都抽到1号的概率为[15×15=125]，同理两次都抽到2号的概率也为[15×15=125]，…所以独唱和朗诵由同一个人表演的概率为[15×15×5=15].
点拨 “同一个人”包含五人中的每一个人.此题基本事件有限且概率相等属于古典概率.因为有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用（2，4）来表示，所有的可能结果可以用下表列出.
共25个基本事件，由同一人表演有5种，所以独唱和朗诵由同一个人表演的概率为[15].
8. 没分清概率模型导致出错
例8 集合[A=x|1≤x≤6]，[a∈A，b∈A]，求[2≤a+b≤6]的概率.
错解 因为[1≤a≤6]，[1≤b≤6]，所以[a+b]的和所以结果如下：[（a，b）]表示[a，b]的取值.
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）
满足[2≤a+b≤6]的有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1）共15種，故[2≤a+b≤6]的概率为[1536=512.]
错解分析 认为[a，b]取有限的六个正整数，错误地认为属于古典概率.
正解 因为[1≤a≤6]，[1≤b≤6]，[a，b]的取值无限，所以[a+b]的和是无限的，这属于几何概率型.
满足[2≤a+b≤6]的是三角形[AEF]区域，面积为 [12×4×4=8]，所以[2≤a+b≤6]的概率是[SAEFSABCD=825.]
[1][2][6][6][2][1]
点拨 认真审题，分清事件是否有限，是否的概率，是哪种概率模型至关重要.免得出力不讨好！
1. 某个容量为[100]的样本的频率分布直方图如下，则在区间[[4，5）]上的数据的频数为 .
2. [ABCD]为长方形，[AB=2]，[BC=1]，[O]为[AB]的中点，在长方形[ABCD]内随机取一点，取到的点到[O]的距离大于1的概率为（ ）
A. [π4] B. [1-π4] C. [π8] D. [1-π8]
3. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是[13]，遇到红灯时停留的时间都是2min.求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率.
1. 30 2. B 3. [427]
例1 某学校从高二年级2014名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2014人中，每人入選的概率（ ）
A.不全相等
B.均不相等
C.都相等，且为[251007]
D.都相等，且为[140]
错解 A
错解分析 认为被剔除的人的概率为[142014]，后入选的概率为[140].
正解 因为“先用简单随机抽样从2014人中剔除14人”，每个人机会均等，概率为[20002014]. “剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人”每个人机会也均等，概率为[502000]，所以每人入选的概率为[20002014×502000=251007].
答案 C
点拨 不管是哪种抽样，其原则都是确保公平，每个个体被抽到的概率相等.
2. 没有理解样本数字特征与频率分布直方图的关系导致出错
例 2 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人用再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2000，3000）（元/月）收入段应抽出 人.
错解 [10000×0.0005×500×10010000=25]人
错解分析 频率分布直方图中每个小矩形的面积是这一组距内个体的频率.
正解 由直方图可得[2000，3000）（元/月）收入段共有[10000×0.0001×500=5000]人，
按分层抽样应抽出[5000×10010000=50]人.
点拨 频率分布直方图中，关键要理解图中数据的意义，特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率.最高矩形的中点是众数，将直方图面积一分为二的垂直横轴的直线所对应的数值是中位数.
3. 没有理解样本数据的意义导致出错
例3 某公司招聘工作人员：总经理1人，每人每月工资10000元，副经理2人，每人每月工资6000元，车间主任4人，每人每月工资3000元，工人8人，每人每月工资1500元.该公司招聘的员工工资收入情况如何？
错解 平均工资为[10000+6000×2+3000×4+1500×815][=3067]，所以该公司招聘的员工工资收入还可以.
错解分析 认为平均数反映了整体工资状况.
正解 从原始数据看，极差很大，方差大，尽管平均工资3000多，但不能代表实际的水平，大多数人工资远远低于平均工资.
点拨 样本数据指标只能反映数据的某个侧面.方差反映了数据的稳定性，平均数反映数据的整体性，但受极端数据影响，也会失真.
4. 审题不清导致出错
例4 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问恰好第三次打开房门锁的概率是多少？
错解 有5把钥匙，每次打开房门的概率都是[15]，不能打开房门的概率是[45]，因而恰好第三次打开房门的概率是[45×45×15=16125.]
错解分析 上述解法忽略了条件“逐把不重复地试开”.第一次没有打开的概率为[45]，第二次没有打开的概率为[34]，第三次打开的概率为[13]，恰好第三次打开房门的概率是[45]×[34]×[13]=[15].
正解 显然最多开5次门，且其中有且仅有一次可以打开房门，故每一次打开门的概率是相同的，都是[15]，属于古典概率.开三次门的所有可能性有[5×4×3=60]种.第三次打开房门，则房门钥匙放在第3号位置上，前两次没能打开门，则前2个位置是用另4把
点拨 本题的关键句“逐把不重复地试开”，属于古典概率.根据分步计数原理计算事件数.做题时，对题目中的关键字、词、句一定要认真斟酌，“重复”与“不重复”、“放回”与“不放回”绝然不同.
5. 没有搞清楚事件的相互关系导致出错
例5 在一段时间内，甲去某地的概率为0.25，乙去该地的概率为0.2，假设两人的行动互不影响，那么在这段时间内有人去此地的概率为（ ）
A. 0.45 B. 0.8 C. 0.4 D. 0.75
错解 A
错解分析 认为甲去乙不去，实际上甲乙可能同时去.
正解 设事件[A]为“甲去某地”，事件[B]为“乙去某地”，则事件“这段时间内有人去此地”的概率为[P=PA?B+PA?B+PA?B=0.4].
点拨 误将[A，B]当作互斥事件.此题还可以考虑甲、乙都不去的对立事件的概率.
6. 对几何度量选择不当导致出错
例6 在等腰直角三角形[ABC]中，[D]是斜边[AB]上的点，求满足[BD>BC]的三角形的概率.
错解 设[AC=BC=1]，则[AB=2]，在[BA]上 截取[BE=1]，则[BE=BC]. 只要[D]在线段[AE]上即可.故[BD>BC]的概率为[2-12=2-22.]
错解分析 “线段[AB]上取点[D]，满足[BD>BC]”与“线段[AB]上的点，使满足[BD>BC]的三角形[BCD]”显然不同. 正解 因为研究的是满足[BD>BC]的三角形[BCD]，可以看成射线[CD]在[90°]的区域均匀分布，故满足[BD>BC]的三角形[BCD]的边[CD]落在三角形[AEC]内. 而[∠ACE=22.5°]，所以其概率为[22.5°90°=14].
点拨 在几何概型题中，是哪种几何度量（长度、面积、体积、角度）要深入分析题目才能判断，搞清楚基本事件的含义.此题的基本事件是“三角形[CDB]中，[BD>BC]的边CD”，它与“[AB]上的点[D]，满足[BD>BC]”显然不同，一个是[CD]绕[C]从[CE]旋转到[CA]， 几何度量是角度；一个是长度.
7. 凭感觉，思考的不够深入导致出错
例7 班级联欢时，主持人拟出了如下节目：跳双人舞、独唱、朗诵，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目. 为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率.
错解 因为是有放回，等概率，第一次抽的概率为[15]，第二次抽的概率也为[15.]
所以独唱和朗诵由同一个人表演的概率为[15×15=125.]
错解分析 忽视了同一个人有五种不同的情况.
正解 因为是有放回，等概率，1号第一次抽的概率为[15]，1号第二次抽的概率也为[15]，所以两次都抽到1号的概率为[15×15=125]，同理两次都抽到2号的概率也为[15×15=125]，…所以独唱和朗诵由同一个人表演的概率为[15×15×5=15].
点拨 “同一个人”包含五人中的每一个人.此题基本事件有限且概率相等属于古典概率.因为有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用（2，4）来表示，所有的可能结果可以用下表列出.
共25个基本事件，由同一人表演有5种，所以独唱和朗诵由同一个人表演的概率为[15].
8. 没分清概率模型导致出错
例8 集合[A=x|1≤x≤6]，[a∈A，b∈A]，求[2≤a+b≤6]的概率.
错解 因为[1≤a≤6]，[1≤b≤6]，所以[a+b]的和所以结果如下：[（a，b）]表示[a，b]的取值.
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）
满足[2≤a+b≤6]的有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1）共15種，故[2≤a+b≤6]的概率为[1536=512.]
错解分析 认为[a，b]取有限的六个正整数，错误地认为属于古典概率.
正解 因为[1≤a≤6]，[1≤b≤6]，[a，b]的取值无限，所以[a+b]的和是无限的，这属于几何概率型.
满足[2≤a+b≤6]的是三角形[AEF]区域，面积为 [12×4×4=8]，所以[2≤a+b≤6]的概率是[SAEFSABCD=825.]
[1][2][6][6][2][1]
点拨 认真审题，分清事件是否有限，是否的概率，是哪种概率模型至关重要.免得出力不讨好！
1. 某个容量为[100]的样本的频率分布直方图如下，则在区间[[4，5）]上的数据的频数为 .
2. [ABCD]为长方形，[AB=2]，[BC=1]，[O]为[AB]的中点，在长方形[ABCD]内随机取一点，取到的点到[O]的距离大于1的概率为（ ）
A. [π4] B. [1-π4] C. [π8] D. [1-π8]
3. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是[13]，遇到红灯时停留的时间都是2min.求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率.
1. 30 2. B 3. [427]