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[摘 要] 通过引入变量，白噪声激发的非线性随机系统的概率密度函数（PDF）可近似表示为态变量的指数多项式函数，将指数函数代换为级数，并消去其残差，可以迅速得到系统的PDF，与通常的指数多项式相比，这种算法更适合强非线性耗散系统。
[关键词] 概率密度函数 白噪声 福克普朗克方程 随机系统
一、引言
概率密度函数可由特殊初始条件下的福克普朗克方程（FPK）或随机激发的非线性系统得出，但是在实际应用中很少遇到特殊初始条件的情况，因此近似方法求解非线性系统得到大量的发展。例如，平均线性化方法[1-4]，高斯封闭方法[5],小参数展开方法[6],扰动方法[7]是非线性系统另一方法，微扰法适于弱非线性系统。
最近，Er[8]提出指数多项式方法，其将非线性随机系统的概率密度函数（PDF）等效替代为态变量的指数多项式函数，在小区域积分得出特殊情况初始值的福克-普朗克方程的解—PDF，近似PDF的参数计算为解二阶方程。然而，这个二阶方程在求解上十分困难，本文用一种新的算法得到近似PDF的参数。由计算结果可以得知这种算法适合强非线性系统，在一些情况下，由本算法可以得到福-普朗克的精确解。
二、指数多项式的封闭指数方法
二、结论与思考
由于FPK方程的精确解是受特殊条件限制的，因此需要进行大量近似求解。近似封闭指数方法是假定PDF是一个特殊函数，例如本文中的态变量的指数多项式函数形式。其它形式得函数如郎之万多项式函数[9]在本文中，假定近似概率密度PDF为态变量的指数多项式形式，福克普朗克方程FPK通过用低阶态变量的系数将残差消去的方法使FPK方程在弱态情况下成立。这种方法不仅适用于自由随机多项式的一维变量也适用于多维变量。此法可扩展到非线性的一般情况，例如， 。我们可以把 展开为泰勒级数，由此就可以使用本方法了。
参 考 文 献
[1]R.C.Booton,Nonlinear control systems with random inputs,IRE Transactions on Circuit Theory CT-1 1 (1954)9-19.
[2]Y.K.Lin,Probabilistic Theory of Structural dynamics,McGraw-Hill,New York,1967.
[3]P.D.Spanos,Stochastic linearization in structural dynamics,Appl.Mech.Rev.34(1981)1-8.
[4]J.B.Roberts.P.D.Spanos.Random Vibration and Statistical Linearization.Wiley,New York,1990.
[5]R.N.Iyengar,P.K.Dash,Study of the random vibration of nonlinear systems by the Gaussian closure technique,Journal of Applied Mechanics,American Society of Mechanical Engineers 45(1978)393-399
[6]Bai Zhan-Wu,Meng Gao-Qing,The small parameter expansion solution to Fokker-plank equation for Brownian motion in a periodic potential with internal time derivative Ornstein-Uhlenbeck noise,Acta Physica Sinica Vol.57.12,December,2008[白占武，蒙高庆,物理学报 第57卷 第12期 2008年12月]
[关键词] 概率密度函数 白噪声 福克普朗克方程 随机系统
一、引言
概率密度函数可由特殊初始条件下的福克普朗克方程（FPK）或随机激发的非线性系统得出，但是在实际应用中很少遇到特殊初始条件的情况，因此近似方法求解非线性系统得到大量的发展。例如，平均线性化方法[1-4]，高斯封闭方法[5],小参数展开方法[6],扰动方法[7]是非线性系统另一方法，微扰法适于弱非线性系统。
最近，Er[8]提出指数多项式方法，其将非线性随机系统的概率密度函数（PDF）等效替代为态变量的指数多项式函数，在小区域积分得出特殊情况初始值的福克-普朗克方程的解—PDF，近似PDF的参数计算为解二阶方程。然而，这个二阶方程在求解上十分困难，本文用一种新的算法得到近似PDF的参数。由计算结果可以得知这种算法适合强非线性系统，在一些情况下，由本算法可以得到福-普朗克的精确解。
二、指数多项式的封闭指数方法
二、结论与思考
由于FPK方程的精确解是受特殊条件限制的，因此需要进行大量近似求解。近似封闭指数方法是假定PDF是一个特殊函数，例如本文中的态变量的指数多项式函数形式。其它形式得函数如郎之万多项式函数[9]在本文中，假定近似概率密度PDF为态变量的指数多项式形式，福克普朗克方程FPK通过用低阶态变量的系数将残差消去的方法使FPK方程在弱态情况下成立。这种方法不仅适用于自由随机多项式的一维变量也适用于多维变量。此法可扩展到非线性的一般情况，例如， 。我们可以把 展开为泰勒级数，由此就可以使用本方法了。
参 考 文 献
[1]R.C.Booton,Nonlinear control systems with random inputs,IRE Transactions on Circuit Theory CT-1 1 (1954)9-19.
[2]Y.K.Lin,Probabilistic Theory of Structural dynamics,McGraw-Hill,New York,1967.
[3]P.D.Spanos,Stochastic linearization in structural dynamics,Appl.Mech.Rev.34(1981)1-8.
[4]J.B.Roberts.P.D.Spanos.Random Vibration and Statistical Linearization.Wiley,New York,1990.
[5]R.N.Iyengar,P.K.Dash,Study of the random vibration of nonlinear systems by the Gaussian closure technique,Journal of Applied Mechanics,American Society of Mechanical Engineers 45(1978)393-399
[6]Bai Zhan-Wu,Meng Gao-Qing,The small parameter expansion solution to Fokker-plank equation for Brownian motion in a periodic potential with internal time derivative Ornstein-Uhlenbeck noise,Acta Physica Sinica Vol.57.12,December,2008[白占武，蒙高庆,物理学报 第57卷 第12期 2008年12月]