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〔关键词〕 数学教学;递推数列;通项;求解方法
〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463(2014)03—0089—01
递推数列是高考的重点也是难点,也是高考的重要题型.这些题型既体现了转化思想的运用,又要求具有较强的归纳、总结以及运算能力.从历年高考的命题趋势来看,数列题的难度平稳上升,而且几乎都是以递推数列来命题的.下面,笔者举例谈谈递推数列的常用解法.
题型一:型如an+1=an+f(n) (其中数列{f(n)}是可求和的)的数列,可以选用叠加法. 此法是等差数列的拓展,所以做法与推导等差数列公式的过程相似.
例1 设数列{an} 中,a1=2,an+1=an+n+1,求数列{an}的通项公式.
分析:由于an+1=an+n+1符合题型一中数列的特征,故可以选用叠加法,通过前、后项相消得到通项公式.
解:因为 a1=2,an+1=an+n+1,所以an=an-1+(n-1)+1
an-1=an-2+(n-2)+1 … a2=a1+1+1
将以上各式相加得:
an=n-1+n-2+n-3+…+2+1+n+1
=■+n+1=■ +1
即 an=■ +1
题型二:型如an+1=f(n)an(其中数列{f(n)}是可求积的)的数列,可以选用累积法. 此法是等比数列的拓展,做法与推导等比数列求和公式的过程相似,它体现了高考题源于课本而高于课本的思想.
例2 已知数列{an}满足a1=2,■=■.求数列{an}的通项公式.
分析:因为■=■ , 符合题型二中数列的特征,故可以选用累积法,通过累乘前后项相消得到通项公式.
解:由题意,得■=■.
即■=■,…,■=■ ,■=■,
将以上各式相乘,得■=■×…×■×■=■,
即 an=a1×2n-1×n2=2nn2.
题型三:型如an+1=can+d(c,d为常数,c≠1,cd≠0)(一阶线性递推数列)的数列,可以选用待定系数法. 一阶线性递推数列里蕴含着一个等比数列,所以利用待定系数法能使问题很快得到解决.
例3 在数列{an}中,若an=1,an+1=2an+3(n≥1),求该数列的通项公式.
分析:因为an+1=2an+3(n≥1)符合题型三中数列的特征,故可以选用待定系数法.
解: 令an+1+x=2(an+x)(n≥1) ,则an+1=2an+x,(n≥1),
由题意得 x=3.
故{an+3} 是以4为首项,2为公比的等比数列,
所以 an=2n+1-3.
例4 已知数列{an}中,a1=2,an+1=(■-1)(an+2),n=1,2,3… 求数列{an}的通项公式.
解: 令 an+1+x=(■-1)(an+x),(n≥1),则an+1=2an+x,(n≥1),
由题意,得 x=-■,
故{an-■} 是以(2-■)为首项,(■-1)为公比的等比数列, 所以 an=1+■-(■-1)n.
总之,对于递推数列的问题,主要是求数列的通项公式.要具体情况具体处理,但必须理解并掌握基本题型,并能将一些非基本题型经过适当的变形转化为基本题型,然后用基本题型的常用方法处理.有时也要用到猜想方法获得通项公式.笔者认为,掌握以上方法是解决递推数列问题的关键.
编辑:谢颖丽
〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463(2014)03—0089—01
递推数列是高考的重点也是难点,也是高考的重要题型.这些题型既体现了转化思想的运用,又要求具有较强的归纳、总结以及运算能力.从历年高考的命题趋势来看,数列题的难度平稳上升,而且几乎都是以递推数列来命题的.下面,笔者举例谈谈递推数列的常用解法.
题型一:型如an+1=an+f(n) (其中数列{f(n)}是可求和的)的数列,可以选用叠加法. 此法是等差数列的拓展,所以做法与推导等差数列公式的过程相似.
例1 设数列{an} 中,a1=2,an+1=an+n+1,求数列{an}的通项公式.
分析:由于an+1=an+n+1符合题型一中数列的特征,故可以选用叠加法,通过前、后项相消得到通项公式.
解:因为 a1=2,an+1=an+n+1,所以an=an-1+(n-1)+1
an-1=an-2+(n-2)+1 … a2=a1+1+1
将以上各式相加得:
an=n-1+n-2+n-3+…+2+1+n+1
=■+n+1=■ +1
即 an=■ +1
题型二:型如an+1=f(n)an(其中数列{f(n)}是可求积的)的数列,可以选用累积法. 此法是等比数列的拓展,做法与推导等比数列求和公式的过程相似,它体现了高考题源于课本而高于课本的思想.
例2 已知数列{an}满足a1=2,■=■.求数列{an}的通项公式.
分析:因为■=■ , 符合题型二中数列的特征,故可以选用累积法,通过累乘前后项相消得到通项公式.
解:由题意,得■=■.
即■=■,…,■=■ ,■=■,
将以上各式相乘,得■=■×…×■×■=■,
即 an=a1×2n-1×n2=2nn2.
题型三:型如an+1=can+d(c,d为常数,c≠1,cd≠0)(一阶线性递推数列)的数列,可以选用待定系数法. 一阶线性递推数列里蕴含着一个等比数列,所以利用待定系数法能使问题很快得到解决.
例3 在数列{an}中,若an=1,an+1=2an+3(n≥1),求该数列的通项公式.
分析:因为an+1=2an+3(n≥1)符合题型三中数列的特征,故可以选用待定系数法.
解: 令an+1+x=2(an+x)(n≥1) ,则an+1=2an+x,(n≥1),
由题意得 x=3.
故{an+3} 是以4为首项,2为公比的等比数列,
所以 an=2n+1-3.
例4 已知数列{an}中,a1=2,an+1=(■-1)(an+2),n=1,2,3… 求数列{an}的通项公式.
解: 令 an+1+x=(■-1)(an+x),(n≥1),则an+1=2an+x,(n≥1),
由题意,得 x=-■,
故{an-■} 是以(2-■)为首项,(■-1)为公比的等比数列, 所以 an=1+■-(■-1)n.
总之,对于递推数列的问题,主要是求数列的通项公式.要具体情况具体处理,但必须理解并掌握基本题型,并能将一些非基本题型经过适当的变形转化为基本题型,然后用基本题型的常用方法处理.有时也要用到猜想方法获得通项公式.笔者认为,掌握以上方法是解决递推数列问题的关键.
编辑:谢颖丽