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新教学大纲对因式分解拆项已不作要求,鉴于数学是一门逻辑思维要求较高的学科,现在不妨就首项系数为1的整系数一元多项式拆项法浅作探究。
如题目:分解因式x3 6x2 11x 6。这是一道用因式分解法(拆项)来做的因式分解题。一般拆的方式各有千秋,可结果都相同。于是我猜想:这些拆项是不是有规律可循?看到分解的结果,我联想到求根分解法。
一元多项式f(x)= x3 6x2 11x 6的次数为3,若能分解因式,则必含一次因式(x-a)。如何确定a?
根据因式定理,如果f(a)=0,则多项式含有因式(x-a)。问题的关键变为如何找a(首项系数为1,则a必为常数项的约数)。根据实际情况,我选择了由猜想到拆项的方法。
经过思考,不少同学猜得f(-1)=0(a=-1),因此确定了一个公因式(x 1)。如何确定其他因式?
可采用综合除法,也可把三个因式都猜出来,但前者难度大,后者主观性强,于是笔者选择了易于理解的拆项法。
常数项、一次项、二次项等都可以拆,但必须满足拆完后重新组合有一组明显地含因式(x 1)。由整除性可知,余数也一定能被(x 1)整除,即余数项必含因式(x 1)。若余数项不明显,则继续拆,依此类推。
故:解f(x)= x3 6x2 11x 6
=(x3 x2) (5x2 11x 6)
= x2(x 1) (5x 6)(x 1)
=(x 1)(x2 5x 6)
=(x 1)(x 2)(x 3)
也有同学猜到a=-2或a=-3,道理同上。
其实,这类题通过分拆常数项、一次项、二次项,或同时分拆两项、同时分拆三项,可得到无限多种拆项方式。
还是以a=-1,围绕公因式(x 1)展开。
f(x)= x3 6x2 11x 6
=(6x2 x-5) [(x3 1) (10x 10)]
=(6x2 2x-4) [(x3 1) (9x 9)]
=(6x2 3x-3) [(x3 1) (8x 8)]
= ……
=(6x2 6x 0) [(x3 1) (5x 5)]
=(6x2 6x 1) [(x3 1) (4x 4)]
= ……
=[6x2 mx (m-6)] {(x3 1) [(11-m)x (11-m)]}(m∈Z )
这样,第一组用十字相乘法(当m=6时直接提公因式),含有因式(x 1),第二组前部为立方和公式,后部分提公因式都可得因式(x 1),因此这种拆项法可行。同时第一组的通式为x2 mx (m-6)(m为正整数),由m的无穷性可知拆项的方式无穷。
另外,还可类似地取通式5x2 mx (m-5)、4x2 mx (m-4)、3x2 mx (m-3)(m为正整数)作为拆项的线索。
猜想虽然是一种主观的感性思维,但正确的猜想总是建立在一定的感性认识的基础上,是对事物的认识处于朦胧状态时作出大胆的超前想法,是思维的火花。
为了使猜想变成现实,我们必须由感性认识上升到理性认识,以取得规律性的认识,这样才能有效指导人们的实践活动。本文的“拆项”正是对这一过程的理性回答。
如题目:分解因式x3 6x2 11x 6。这是一道用因式分解法(拆项)来做的因式分解题。一般拆的方式各有千秋,可结果都相同。于是我猜想:这些拆项是不是有规律可循?看到分解的结果,我联想到求根分解法。
一元多项式f(x)= x3 6x2 11x 6的次数为3,若能分解因式,则必含一次因式(x-a)。如何确定a?
根据因式定理,如果f(a)=0,则多项式含有因式(x-a)。问题的关键变为如何找a(首项系数为1,则a必为常数项的约数)。根据实际情况,我选择了由猜想到拆项的方法。
经过思考,不少同学猜得f(-1)=0(a=-1),因此确定了一个公因式(x 1)。如何确定其他因式?
可采用综合除法,也可把三个因式都猜出来,但前者难度大,后者主观性强,于是笔者选择了易于理解的拆项法。
常数项、一次项、二次项等都可以拆,但必须满足拆完后重新组合有一组明显地含因式(x 1)。由整除性可知,余数也一定能被(x 1)整除,即余数项必含因式(x 1)。若余数项不明显,则继续拆,依此类推。
故:解f(x)= x3 6x2 11x 6
=(x3 x2) (5x2 11x 6)
= x2(x 1) (5x 6)(x 1)
=(x 1)(x2 5x 6)
=(x 1)(x 2)(x 3)
也有同学猜到a=-2或a=-3,道理同上。
其实,这类题通过分拆常数项、一次项、二次项,或同时分拆两项、同时分拆三项,可得到无限多种拆项方式。
还是以a=-1,围绕公因式(x 1)展开。
f(x)= x3 6x2 11x 6
=(6x2 x-5) [(x3 1) (10x 10)]
=(6x2 2x-4) [(x3 1) (9x 9)]
=(6x2 3x-3) [(x3 1) (8x 8)]
= ……
=(6x2 6x 0) [(x3 1) (5x 5)]
=(6x2 6x 1) [(x3 1) (4x 4)]
= ……
=[6x2 mx (m-6)] {(x3 1) [(11-m)x (11-m)]}(m∈Z )
这样,第一组用十字相乘法(当m=6时直接提公因式),含有因式(x 1),第二组前部为立方和公式,后部分提公因式都可得因式(x 1),因此这种拆项法可行。同时第一组的通式为x2 mx (m-6)(m为正整数),由m的无穷性可知拆项的方式无穷。
另外,还可类似地取通式5x2 mx (m-5)、4x2 mx (m-4)、3x2 mx (m-3)(m为正整数)作为拆项的线索。
猜想虽然是一种主观的感性思维,但正确的猜想总是建立在一定的感性认识的基础上,是对事物的认识处于朦胧状态时作出大胆的超前想法,是思维的火花。
为了使猜想变成现实,我们必须由感性认识上升到理性认识,以取得规律性的认识,这样才能有效指导人们的实践活动。本文的“拆项”正是对这一过程的理性回答。