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考情分析
两个计数原理、排列组合与二项式定理是高中数学的基本内容之一，分析近几年的高考题，涉及本部分的考查主要以小题目出现，1～2个选择填空题，分值在5～10分，属于基础题目，难度不大，基本位于选填填的前面.考查内容主要体现在：两个计数原理、排列组合的应用；二项式定理、展开式的通项公式，二项式系数的性质计算；排列组合在古典概型中的应用.预计2015年高考会延续近几年的特色和难度，试题背景应是生活中常见模型，但问法和前提会比较新颖.
命题特点
排列组合是两个计数原理的直接应用，所以有关排列组合的高考命题均会是分类计数与分步计数同步进行，同时渗透分类讨论的数学思想.平时训练中的模型在高考题中有所呈现，但会有改变，所以对受限制的排列组合模型要注意变通.二项式定理的命题主要体现在二项式定理、二项式系数、项的系数、系数最大（小）、有理项、无理项、系数的和与差等等.
1. 计数原理重基础，分类分步要清楚明了
例1 （1）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份自己准备的纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为 （ ）
A.1或3 B.1或4
C.2或3 D.2或4
（2）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有________个.（用数字作答）
解析 （1）任意两个同学之间交换纪念品共要交换[C26=15]次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人.
（2）先求出2，3组成的所有四位数的个数，再减去不符合要求的四位数的个数.因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24-2=14（个）.
答案 （1） D （2）14
例2 如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为 （ ）
A. 60 B. 480 C. 420 D. 70
解析 法一：分两步，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理可求解.
由题意知，四棱锥[S-ABCD]的顶点[S，A，B]所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3=60种染色方法.
当[S，A，B]染好时，不妨设所染颜色依次为1，2，3.
若[C]染2，则[D]可染3或4或5，有3种染法.
若[C]染4，则[D]可染3或5，有2种染法.
若[C]染5，则[D]可染3或4，有2种染法.
即当[S，A，B]染好时，[C]，[D]还有7种染法.
故不同的染色方法有60×7=420种.
法二：以[S，A，B，C，D]的顺序分步染色.
第一步，[S]点染色，有5种方法；
第二步，[A]点染色，与[S]在同一条棱上，有4种方法；
第三步，[B]点染色，与[S，A]分别在同一条棱上有3种方法；
第四步，[C]点染色，也有3种方法，但考虑到[D]点与[S]，[A，C]相邻，需针对[A]与[C]是否同色进行分类.
当[A]与[C]同色时，[D]点有3种染色方法.
当[A]与[C]不同色时，因为[C]与[S，B]也不同色，所以[C]点有2种染色方法，[D]点也有2种染色方法.
由分步乘法计数原理，分类加法计数原理，得共有5×4×3×（1×3+2×2）=420种不同方法.
答案 C
点拨 涂色问题的两种解题方案：一是选择正确的涂色顺序，按步逐一涂色，这时用分步乘法计数原理逐一计数.二是根据涂色时用颜色的多少，进行分类处理，这时用分类加法计数原理进行计数.
2. 强化排列组合模型意识，重灵活变通
例3 （1）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_______种.（用数字作答）
（2）某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为 （ ）
A.85 B.86 C.91 D.90
解析 （1）先排除甲、乙外的4人，方法有[A44]种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有[A25]种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有[A44A25=480]（种）.
（2）可分三类考虑：
①男生甲入选，女生乙不入选： [C13C24+C23C14+C33=31.]
②男生甲不入选，女生乙入选： [C14C23+C24C13+C34=34.]
③男生甲入选，女生乙入选：[C23+C14C13+C24=21.]
∴共有入选方法种数为31+34+21=86.
答案 （1）480 （2）B
点拨 解答排列、组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.（1）“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；（2）“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；（3）“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；（4）“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决. 3. 二项式定理重基础，厘清易混淆的概念
例4 已知[12+2xn].
（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.
解析 （1）因为[C4n+C6n=2C5n]，所以n2-21n+98=0，
解得[n=7]或[n=14]，当[n=7]时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
所以T4的系数为[C37124×23=352]，
T5的系数为[C47123×24=70].
当[n=14]时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
所以T8的系数为[C714127×27=3432].
（2）因为[C0n+C1n+C2n=79]，所以n=12或n=-13（舍去）.
设Tk+1项的系数最大.
因为[12+2x12=1212?1+4x12]，
所以[Ck124k≥Ck-1124k-1Ck124k≥Ck+1124k+1]，所以9.4≤k≤10.4.
又因为[0≤k≤12]且[k∈N]，所以[k=10].
所以展开式中系数最大的项为T11.
T11=[1212C1012410x10=16896x10].
答案 （1）3432 （2）[16896x10]
点拨 （1）二项式定理是一个恒等式，求二项展开式中某指定项的系数、二项式系数或指定项问题，是二项式定理的常考问题，通常用通项公式来解决.（2）在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法.
备考指南
理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，它们都是关于完成一件事的不同方法种数的问题.“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步.分类要用分类加法计数原理将种数相加；分步要用分步乘法计数原理将种数相乘.
解决受限制排列、组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步.常用策略：（1）相邻问题捆绑法；（2）不相邻问题插空法；（3）多排问题单排法；（4）定序问题倍缩法；（5）多元问题分类法；（6）有序分配问题分步法；（7）交叉问题集合法；（8）至少或至多问题间接法；（9）选排问题先取后排法；（10）局部与整体问题排除法；（11）复杂问题转化法.
限时训练
1. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 （ ）
A.34种 B.48种
C.96种 D.144种
2. 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有 （ ）
A.11种 B.20种
C.21种 D.12种
3. 我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2 013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有 （ ）
A.18个 B.15个
C.12个 D.9个
4. 我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任[H7N9]禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中，男、女都有的概率为 （ ）
A. [815] B. [12]
C. [25] D. [415]
5. 2014年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天.某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人.若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有 （ ）
A.1440种 B.1360种
C.1282种 D.1128种
6. 已知[（1+ax）（1+x）5]的展开式中[x2]的系数为5，则[a]= （ ）
A. -4 B. -3
C. -2 D. -1
7. 设[（5x-1x）n]的展开式的各项系数之和为[M]，二项式系数之和为[N]，若[M-N=240]，则展开式中[x]的系数为 （ ）
A.-150 B.150
C.300 D.-300
8. 设[a∈Z]，且[0≤a<13]，若[512 012+a]能被13整除，则[a]的值为 （ ）
A.0 B.1
C.11 D.12
9. 设[f（x）]是[x2+12x6]展开式的中间项，若[f（x）≤mx]在区间[22，2]上恒成立，则实数[m]的取值范围是 （ ）
A.（-∞，5） B.（-∞，5]
C.（5，+∞） D.[5，+∞）
10. 某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为（ ）
A.720 B.1080
C.960 D.7200
11. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种.（用数字作答）
12. 设二项式[x+1x35]的展开式中常数项为A，则A=________.
13. 设常数[a∈R]，若[x2+ax5]的二项展开式中[x7]项的系数为[-10]，则[a=______].
14. 若对于任意实数x，有x5=a0+a1（x-2）+…+a5（x-2）5，则a1+a3+a5-a0=________.
15. 现安排甲、乙等5名同学去参加3个运动项目，要求每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，求满足上述要求且甲、乙两人不参加同一个项目的安排方法种数.
16. 已知[（1+2x）n]的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的[56].
（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；
（2）求展开式中的有理项.
17. 已知10件不同产品中共有4件次品，现对它们进行一一测试，直至找到所有次品为止.
（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品的不同测试方法数有多少种？
（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数有多少种？
18. 已知[（1+x）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+][an（x-1）][n（n∈N*）].
（1）求[a0]及[Sn=a1+a2+a3+…+an]；
（2）试比较[Sn]与[（n-2）2n+2n2]的大小，并说明理由.
两个计数原理、排列组合与二项式定理是高中数学的基本内容之一，分析近几年的高考题，涉及本部分的考查主要以小题目出现，1～2个选择填空题，分值在5～10分，属于基础题目，难度不大，基本位于选填填的前面.考查内容主要体现在：两个计数原理、排列组合的应用；二项式定理、展开式的通项公式，二项式系数的性质计算；排列组合在古典概型中的应用.预计2015年高考会延续近几年的特色和难度，试题背景应是生活中常见模型，但问法和前提会比较新颖.
命题特点
排列组合是两个计数原理的直接应用，所以有关排列组合的高考命题均会是分类计数与分步计数同步进行，同时渗透分类讨论的数学思想.平时训练中的模型在高考题中有所呈现，但会有改变，所以对受限制的排列组合模型要注意变通.二项式定理的命题主要体现在二项式定理、二项式系数、项的系数、系数最大（小）、有理项、无理项、系数的和与差等等.
1. 计数原理重基础，分类分步要清楚明了
例1 （1）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份自己准备的纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为 （ ）
A.1或3 B.1或4
C.2或3 D.2或4
（2）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有________个.（用数字作答）
解析 （1）任意两个同学之间交换纪念品共要交换[C26=15]次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人.
（2）先求出2，3组成的所有四位数的个数，再减去不符合要求的四位数的个数.因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24-2=14（个）.
答案 （1） D （2）14
例2 如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为 （ ）
A. 60 B. 480 C. 420 D. 70
解析 法一：分两步，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理可求解.
由题意知，四棱锥[S-ABCD]的顶点[S，A，B]所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3=60种染色方法.
当[S，A，B]染好时，不妨设所染颜色依次为1，2，3.
若[C]染2，则[D]可染3或4或5，有3种染法.
若[C]染4，则[D]可染3或5，有2种染法.
若[C]染5，则[D]可染3或4，有2种染法.
即当[S，A，B]染好时，[C]，[D]还有7种染法.
故不同的染色方法有60×7=420种.
法二：以[S，A，B，C，D]的顺序分步染色.
第一步，[S]点染色，有5种方法；
第二步，[A]点染色，与[S]在同一条棱上，有4种方法；
第三步，[B]点染色，与[S，A]分别在同一条棱上有3种方法；
第四步，[C]点染色，也有3种方法，但考虑到[D]点与[S]，[A，C]相邻，需针对[A]与[C]是否同色进行分类.
当[A]与[C]同色时，[D]点有3种染色方法.
当[A]与[C]不同色时，因为[C]与[S，B]也不同色，所以[C]点有2种染色方法，[D]点也有2种染色方法.
由分步乘法计数原理，分类加法计数原理，得共有5×4×3×（1×3+2×2）=420种不同方法.
答案 C
点拨 涂色问题的两种解题方案：一是选择正确的涂色顺序，按步逐一涂色，这时用分步乘法计数原理逐一计数.二是根据涂色时用颜色的多少，进行分类处理，这时用分类加法计数原理进行计数.
2. 强化排列组合模型意识，重灵活变通
例3 （1）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_______种.（用数字作答）
（2）某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为 （ ）
A.85 B.86 C.91 D.90
解析 （1）先排除甲、乙外的4人，方法有[A44]种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有[A25]种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有[A44A25=480]（种）.
（2）可分三类考虑：
①男生甲入选，女生乙不入选： [C13C24+C23C14+C33=31.]
②男生甲不入选，女生乙入选： [C14C23+C24C13+C34=34.]
③男生甲入选，女生乙入选：[C23+C14C13+C24=21.]
∴共有入选方法种数为31+34+21=86.
答案 （1）480 （2）B
点拨 解答排列、组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.（1）“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；（2）“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；（3）“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；（4）“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决. 3. 二项式定理重基础，厘清易混淆的概念
例4 已知[12+2xn].
（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.
解析 （1）因为[C4n+C6n=2C5n]，所以n2-21n+98=0，
解得[n=7]或[n=14]，当[n=7]时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
所以T4的系数为[C37124×23=352]，
T5的系数为[C47123×24=70].
当[n=14]时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
所以T8的系数为[C714127×27=3432].
（2）因为[C0n+C1n+C2n=79]，所以n=12或n=-13（舍去）.
设Tk+1项的系数最大.
因为[12+2x12=1212?1+4x12]，
所以[Ck124k≥Ck-1124k-1Ck124k≥Ck+1124k+1]，所以9.4≤k≤10.4.
又因为[0≤k≤12]且[k∈N]，所以[k=10].
所以展开式中系数最大的项为T11.
T11=[1212C1012410x10=16896x10].
答案 （1）3432 （2）[16896x10]
点拨 （1）二项式定理是一个恒等式，求二项展开式中某指定项的系数、二项式系数或指定项问题，是二项式定理的常考问题，通常用通项公式来解决.（2）在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法.
备考指南
理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，它们都是关于完成一件事的不同方法种数的问题.“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步.分类要用分类加法计数原理将种数相加；分步要用分步乘法计数原理将种数相乘.
解决受限制排列、组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步.常用策略：（1）相邻问题捆绑法；（2）不相邻问题插空法；（3）多排问题单排法；（4）定序问题倍缩法；（5）多元问题分类法；（6）有序分配问题分步法；（7）交叉问题集合法；（8）至少或至多问题间接法；（9）选排问题先取后排法；（10）局部与整体问题排除法；（11）复杂问题转化法.
限时训练
1. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 （ ）
A.34种 B.48种
C.96种 D.144种
2. 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有 （ ）
A.11种 B.20种
C.21种 D.12种
3. 我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2 013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有 （ ）
A.18个 B.15个
C.12个 D.9个
4. 我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任[H7N9]禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中，男、女都有的概率为 （ ）
A. [815] B. [12]
C. [25] D. [415]
5. 2014年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天.某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人.若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有 （ ）
A.1440种 B.1360种
C.1282种 D.1128种
6. 已知[（1+ax）（1+x）5]的展开式中[x2]的系数为5，则[a]= （ ）
A. -4 B. -3
C. -2 D. -1
7. 设[（5x-1x）n]的展开式的各项系数之和为[M]，二项式系数之和为[N]，若[M-N=240]，则展开式中[x]的系数为 （ ）
A.-150 B.150
C.300 D.-300
8. 设[a∈Z]，且[0≤a<13]，若[512 012+a]能被13整除，则[a]的值为 （ ）
A.0 B.1
C.11 D.12
9. 设[f（x）]是[x2+12x6]展开式的中间项，若[f（x）≤mx]在区间[22，2]上恒成立，则实数[m]的取值范围是 （ ）
A.（-∞，5） B.（-∞，5]
C.（5，+∞） D.[5，+∞）
10. 某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为（ ）
A.720 B.1080
C.960 D.7200
11. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种.（用数字作答）
12. 设二项式[x+1x35]的展开式中常数项为A，则A=________.
13. 设常数[a∈R]，若[x2+ax5]的二项展开式中[x7]项的系数为[-10]，则[a=______].
14. 若对于任意实数x，有x5=a0+a1（x-2）+…+a5（x-2）5，则a1+a3+a5-a0=________.
15. 现安排甲、乙等5名同学去参加3个运动项目，要求每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，求满足上述要求且甲、乙两人不参加同一个项目的安排方法种数.
16. 已知[（1+2x）n]的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的[56].
（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；
（2）求展开式中的有理项.
17. 已知10件不同产品中共有4件次品，现对它们进行一一测试，直至找到所有次品为止.
（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品的不同测试方法数有多少种？
（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数有多少种？
18. 已知[（1+x）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+][an（x-1）][n（n∈N*）].
（1）求[a0]及[Sn=a1+a2+a3+…+an]；
（2）试比较[Sn]与[（n-2）2n+2n2]的大小，并说明理由.