中学数学课堂教学大体分为知识课(即新课)与复习课两种基本模式。知识课教学是学生在教师有目的有计划的指导下,积极主动地发现、掌握知识,形成初步的技能和能力的过程。对于知识课我们总结了“提出问题、尝试发现、科学验证、变式训练、 反馈控制、归纳总结”的结构教学法(另文)。而复习课教学同样是学生在教师有计划的指导和组织下,积极主动地深化知识、形成技能、发展思维的过程,是培养学生数学能力、掌握数学方法,发展数学思想的重要途径。为使教学过程中教师主导功能的运用和学生主体作用的发挥更有效、和谐、科学地结合,我们经过学习、摸索、实践总结了复习课的“知识穿线、变式训练、揭示规律、综合练习、反馈控制、归纳总结”六环节结构教学方法,优化了教学过程,提高复习课的效率。
　　一、知识穿线,理顺认知脉络
　　复习课的教学必须循序、系统、连贯地进行,这是经过长期教学实践反复证明的教学原则。许多教育家都有这方面的论述.如中国古代教育名著《学记》中记载“杂施而不孙,则坏乱而不修”。就是说教学杂乱无章,就会陷入混乱,得不到成效。
　　复习课教学的开始教师要把有关知识条理化、系统化.理顺学生的认知脉络。这种理顺不应是机械地排列或组合,简单的归纳或分类。穿线既要理清教学内容的基本概念和基础知识,更重要地是使学生明确这些概念,知识在整个知识系统中的地位、作用以及引导学生挖掘概念、知识和相关知识的联系与澄清区别、深化对概念、知识的理解。
　　例如关于立体几何的线线、线面或面面的复习课,要理清线线、线面或面面的位置关系,平行与垂直的判定方法及性质。要明确掌握这些知识是进一步研究几何体性质的基础和保证。更重要地是要清楚与过去所学平面几何相关知识的联系与区别。就两平面平行为例:平面几何中平行的哪些判定定理可以迁移到立体几何?而哪些判定定理则不能迁移。如“同垂直于一直线的两平面平行”、“同平行于一个平面的两平面平行”.都可看成平面几何平行判定方法的迁移。而同垂直一平面的两平面、同平行于一直线的两平面,显然都不能平行。这也是学生认可的。但是平面几何里的“同位角相等两直钱平行”,“内错角相等两直线平行”两个判定定理的空间迁移却真伪难辩.教师提出“一条直线与两个平面所成的角相等,这两个平面是否平行”。一些学生认为可以判断这两平面平行。但立即有学生发现这两平面可能不平行,但确得出这两平面平行或交线与直线垂直的结论.而且大部分学生停留在对这个结论的认同上.教师把两个平行平面放在与一直线斜交的位置上。然后其中一个平面和直线不动.而另一个平面进行使其保持与直线所成角不动的旋转。这样在旋转到任何位量两平面与直线所成角都相等。但两平面却不平行且交线也与已知直线不垂直。否定了大都分同学认同的结论上。加深了对知识的理解,防止了负迁移的产生。教师在穿线过程中要多角度提出问题,设置疑难,把知识叫准,把关键点明。如选编如下的问题:例1.平面 与直线L所成角和平面 与直线L所成角相等,则(A)// (B)、 的交线与L垂直
　　(c)//或 、 的交线与L垂直(D)以上都不对。
　　例2:与 所成二面角和 与 所成二面角相等.则( )
　　(A)// (B)、 的交线与 平行(c)// 或 、 的交线与 平行(D)以上都不对。
　　知识穿线的过程要学生的参与。在师生共同的努力下完成理顺认知脉络的任务,才能使学生认识过程更加深刻、完善。
　　二、变式训练,深化认知层次
　　要使学生牢固地掌握知识和技能,运用所学的知识去分析问题和解决问题,必须通过变式训练的过程。学生所学的知识,就其生理基础来说,是在头脑中不断形成条件的反射过程。条件反射得不到强化,其神经联系就会淡化以至消失。变式训练对于知识的巩固和深化起着重要作用。许多教育家都强调变式训练的作用。俄国教育家赞可夫反对传统的训练方法,他说:过去把一切希望都寄托在复习上,认为只有复习才能达到知识的巩固。他主张复习不是单调的重复,而是从新的角度,新的联系中去训练。乌申斯基说:“优秀的教师在复习中总是把某种新的环节编入已在儿童头脑中建立起来的痕迹网中”。变式训练就是转换同类事物的非本质特征,突出其本质特征,通过变式,把复杂问题中的非本质特征淡化,筛选出来本质特征。加深对本质特征的理解与认识。变式训练可以通过转换同题的条件或结论。变换问题的形式或内容拓展问题的空间或范踌来进行。
　　我们例举圆锥曲线准线的性质的变式训练的几种形式。
　　问题:圆锥曲线上任意一点到焦点与到相应准线距离之比为定值(离心率)1、变换问题的条件例3:巳知椭圆(b>0)上一点P到左焦点距离为b,求P点到右准线的距离。 例4:椭圆上一点到左右焦点距离之比为3:l,求P到左准线的距离。例5:双曲线 上点P到左准线距离为 ,求P点到右焦点的距离。2、变换问题的结论。例6: M 是椭圆 上任意一点,过M做斜率为 的直线L, 分别为M到两焦点的距离,d为中心到直线L的距离,求证: 为定值。例7: M 是双曲线 上任意一点过M作斜率为 的直线L, 分别为M到两焦点的距离,d为中心到直线L的距离,求证: 为定值。例8:AB是抛物线(P>O)过焦点的弦,求证:以AB为直径的圆与准线相切。3 、条件与结论互换。例9: 求到点F(4、0)和直线 距离之比为定值 的动点轨迹方程。例10:求到点F(5、0)和直线 距离之比为定值 的动点轨迹方程。4、变换问题的形。例11: M是椭圆 上的动点,A(1、1),B( 、0),求 的最小值。例12: M是双曲线 上的中点,A(4、2),B ,求 的最小值。例13: M是抛物线 上的动点,A(4、2),B(1、0),求 最小值。5、拓展问题的范畴例14:与过P(1、2),以y为轴为准线,离心率为 的动椭圆的左顶点轨迹方程。例15:抛物线(p>o)的动弦AB长为a(a>2p)求弦AB中点M到Y轴的距离。
　　三、揭示规律,掌握内在本质
　　教学充满着规律。既有知识的规律,又有方法的规律,教师要引导学生在实践的基础上去挖掘、发现、领悟、总结。
　　如解析几何中过定点的直线上与到定点的距离有关的问题可以考虑利用直线参数方程或极坐标解决。例16:过抛物线 的焦点F作直线交抛物线于A、B,求证:为定值。此题的解决途径既可以用直线参数方程,又可以用极坐标。但用极坐标法比较简单。用极坐标法需以焦点为极点建立极坐标系,方程化为,例17:AB椭圆 上的点, 且(o为椭圆中心)。求证: 为定值.这题也既可用直线参数方程也可用极坐标法。但用极坐标法需以原点为极点建立极坐标系。例18:抛物线(p>o)的轴上一点A(p、O)。过A作直线交抛物线于M、N,求证: 为定值。例18看起来与例16、例17类似也是与过定点直线上与到定距离有关的问题.但因A点既不是焦点又不是坐标原点,利用极坐标法就很困难,利用直线参效方程来解为宜。这样。虽然过定点直线上与到定点距离有关问题即可用直线参数方程,也可用极坐标。但什么样的问题可用极坐标,又什么问题要用直线参数一规律得以揭示.揭示规律是复习课必不可少的环节。
　　四、综合练习,提高应用能力
　　教学分代数、三角、几何等分支,教师应在学生掌握知识规律的基础上有意识地勾通单一的知识与其它相关知识的联系,提高学生的综合应用能力。
　　如在数列的习题课上在总结完三角形三内角成等差数列的充要条件是有一角为 的规律后选犏如下练习:例19: 中角A、B、C成等差数列,分别按下列条件求A、B、C。例20: 中:A、B、C成等差数列公差为 , A、B、C的对边分别为a、b、c,求证:在总结它三角形三边成等差数列的充要条件这规律后,选编以下练习例21:中三边成等差数列,最大角为 ,求三边之比.例22:中三边成等差数列,最大角为最小角的二倍,求三边之比.例23: 中三边成等差数列,最大角与最小角之差为,求三边之比.这些综合练习,内涵了代数、几何、三角的知识。
　　五、反馈控制、增强实践效果
　　教学过程是信息双向传递的过程,要充分重视信息的反馈控制.运用反馈信息调节和控制教学过程。早就被一些著名的教育家所重视,捷克教育家夸美纽斯在他的大教学论中提出:“信息的反馈可以准确的知道他的学生对于所教的一切事项是否已经彻底领会。假如发现他没有彻底领会。他便会为他自己和他学生的利益,去重复解释,解释的更明白”。这就是重视运用信息反馈来调整教学过程。教师要充分利用反馈的方法,随时随地注意来自学生的各种反馈信息。及时调整和控制教学过程使教与学的过程处于动态平衡之中,达到最优的教学效果。如在解不等式的复习课中,对于习题:已知A ,且 ,求实数P的取值范围。学生的作法是设方程 的两根为 ,则 △=(P+2) -4>0, =1>0而得到满足条件的P范围为教师引导学生开展讨论,发现当A= 即方程 无实根时也满足 .即当△=(P+2) -4<0 即-4　　 教师在搜集学生的反馈信息时不但要注意发现学生的错误和疑问,还要注意学生操作中闪光的火花.支持和鼓励学生具有特色的创作,培养创造能力。
　　如在研究棱锥侧面积和底面积的关系时,发现若棱锥的各侧面与底部所成角都相等(均为 )。则棱锥侧面积S与底面积 ,有关系: ,这个关系式给求侧面积,侧面与底面所成角或底面积提供了方便。有学生提出对于圆锥的侧面积、底面积和母线与底面所成的角是否也有相应的关系。教师引导学生尝试、判断。学生很快得出圆锥侧面积为S,母线与底面所成角为 ,底面积为 ,则也有关系式:。又进一步得出:若圆台侧面积为S,上底面积为 ,下底面积为 ,母线与底面所成角为 ,则有关系式 ,学生自已把棱锥中侧面与底面间的关系推广到棱台,圆锥与圆台,为解决锥体、台体、侧面积与底面积有关问题提供了新的途径。又如在不等式证明的复习课中,习题已知:a、b、c∈R ,a+b+c=1,求 的最小值时,学生巧妙地根据已知条件中三个正数与结论中三个正数间所含的倒数关系利用重要不等式解决了问题.而且这种思维方法适合与已知几个正数和为定值,求其各幂的倒数和的最值。或已知几个正数倒数为定值求其各幂的和的最值的一类问题。 如:已知a、b、C∈R ,a+b+c=1.求(1)的最小值(2)的最小(3) 最小值等等。
　　教师对学生的这一方法加以总结,鼓励.并用发现这种方法的学生名字命名为不等式证明的“海松法”。活跃了课堂气氛,激发创造热情。
　　六、归纳总结,纳入知识系统
　　习题课的总结应该以更全面的概括的方法,揭示所复习内容的规律,指如在理解和运用这些知识方面应注意的问题。告诉学生在理解的基础上如何去记忆有关的知识.但更重要的是揭示知识之间的内在联系,把所复习的知识,纳入相关的数学体系。
　　数学有其自身的知识板块和系统。就代数而言分数论、函数、方程、不等式、组合数学等几大板块。教师应总结所复习的知识属予哪个知识系统,在该系统中处于何种地位与相关的知识有何种联系。把所复习的知识置于整体数学结构中去认识。
　　 例如,复数应属于数论系统,是实数的拓展,实数是它的特例。复数保留实数的稠密性,连续性,但它却不具备实数的有序性。复数的三角式给代数与三角建立了一种联系,一些复数问题可以用三角法来解,一些三角问题也可用复数来解。复数的几何表示给代数与几何又建立了一种联系,一些复数问题可以用几何法来解决,一些几何问题也可用复数来解。复数在代数、三角、几何之间架起了一座立交桥。
　　又如,数列应属于函数系统,数列可看以自然数为自变量的函数。等差数列是以自然数为自变量的一次函数或常函数。等比数列可转化为以自然效为自变量的指数函数。其几何意义为: 为等差数列,则 为在直线上排列的点;为等比数列,则 为在指数曲线上排列的点。
　　这种纳入系统的总结,是对所复习内容的本质总结,给学生以宏观整体的认识。
　　复习课结构教学的各个环节不是孤立的,而是相互渗透的。在实施过程中应根据具体内容适当调整变化,如强化其环节或削弱某环节。
　　“复习课的结构教学”的实验,调动了学生的积极性和创造性,提高了教学质量。取得了好的效果。 “复习课的六环节结果教学”无论从理论上还是在实践中还很不成熟,需要进一步探索,实践、提高、完善。