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【摘 要】圆作为特殊的几何图形，其相关知识是中考的热点、重点、难点，圆的考查在中考中占有举足轻重的位置，其中圆的最值问题尤其重要。笔者试图通过研讨一堂初三复习课，探讨解决圆的最值问题的策略。
【关键词】圆的最值问题;初中数学;复习课
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）22-0070-02
如何提高初三数学复习课的创新性和有效性，是一线初中数学教师应该研究的问题。以圆为载体的最值问题（“隐圆”）是中考的常见题型，也是中考的热点、难点问题[1]。有的学生对圆的最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思维不够灵活。下面笔者通过一堂初三数学复习课，给出一道例题的解法并对例题进行辨析，充分调动学生思维，以达到举一反三的效果。
1 思路分析
例题：如图1，在边长为的等边?ABC中，动点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，连接BE、AD，相交于点P，求CP的最小值。
分析：对于等边三角形，不仅要明白等边三角形边角的特殊性，还要从对称、旋转（将图形绕中心旋转120°会与原来重合）的角度看待它。而本题又提供了线段等定性关系，不难发现存在两个全等三角形，得到对应角相等。发现∠APE是一个定角，从而发现P点的运动路径，利用“定弦定角的隐圆模型求CP的最值。
常规型1：如图1，C为定点，P为动点，尝试是否能够解决点P的运动轨迹。AB为定长，∠APB为定值，想象定弦定角的隐圆模型。
常规型2：如图2，作过A、B、P三点的外接圆，可在说理过程中略显不足，故考虑先将其转换为对角，在构造固定三角形的情况下建立外接圆，再证明点P是圆上一点。而点到圆的距离最值为连心线的近交点和远交点分别为最小值和最大值时的位置。
2 具体解法
2.1 常规型1
解：∵ ?ABC是等边三角形，
∴ ?ABE≌?CAD（SAS），
∴ ∠1=∠2，∴ ∠APB=180°?（∠1+∠3）=180°?（∠2+∠3）=180°?60°=120°，
∵ AB=，则A、B、P三点共圆，在该优弧上任取一点G，连接AG、BG，
∵ A、G、B、P四点共圆，
∴ ∠AGB=60°，∴ ∠AOB=2∠AGB=120°。如图3，连OC，与圆O的交点是P，CP取最小值。
∵ OA=OB，CA=CB，∴ OC垂直平分AB，
∴ AF=BF=，∠4=∠5=60°，
∴ tan ∠4=，∴ OF==1
∴ OA=2OF=2
同理，OC=4。∴ CP=OC?OP=2，∴ CP的最小值为2。
2.2 常规型2
解：等边三角形ABC中，可证?ABE≌?CAD，
∴ ∠CAD=∠ABE，
∴ ∠BPD=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，∴ ∠APB=120°，
如图4，过A作OA⊥AC于A，过B作OB⊥BC于B，OA、OB交于O。
可证∠1=∠2=30°，∴ ∠AOB=180°?2∠1=120°，
∴ OA=OB。
以O为圆心，OA长为半径作圆，则AB为圆O的弦。
①假设P在圆外，如图5，∵ ∠AOB=120°，
∴ ∠AFB=∠AOB=60°，
∴ ∠AMB=180°?∠AFB=120°，
∴ ∠APB=∠AMB?∠MAP<120°，
这与∠APB=120°矛盾，故P不在圆O外。
②假设P在圆O内，如图6。
同理可证矛盾，故P不在圆O外，
∴ P在圆O上，连接OC交圆O于P'。
根据三角形两边之和大于第三边可知，
如图4，当点P在P'处时，CP最小。
又∵ OA⊥AC，OB⊥BC，∴ AC、BC为圆O切线。
∴ ∠OCB=∠ACB=30°，
∴ tan∠OCB==，
∴ OB=·BC=2=OP。
∴ OB=2OB=4，∴ CP=OC?OP=2，
则CP的最小值为2。
3 总结
（1）最值问題常规思路：①根据已知条件得到图形中不变的量，如推导出定角、定长;②确定变化的点的轨迹，如见定角→找对边（定长）→想周角→转心角→现隐圆→定轨迹→求最值;③将待求未知量最值转化为点圆的距离最值问题[2]。
（2）关注学法：利用隐圆解决这类最值问题对初中生而言是一个难题。一个难点是点的轨迹是圆（或弧）的判断，另一个难点是点的轨迹是圆的证明。日常教学中教师要注重培养学生的几何直观与作图能力，隐圆的问题可开展探究型的专题课程，让学生逐步掌握方法，引导学生归纳定角定弦题型的一般解题步骤，包括①（直观感知）动由静生，取若干个不同位置的P点，观察发现动点的运动轨迹是一段弧;②（对比发现）变中不变，寻找不变的张角（定角）或找张角的邻补交角（常为特殊角），寻找该定角所对的定边（定长）;③（条件转化）隐圆出现;④（求得最值）双定确认。
（3）提升认知：平面几何在解决动的变化过程中，寻找不变性是通法。本问题中?ACD≌?BAE是最本质的不变性，抓住全等的不变性发现D、C、E、P四点共圆，进而发现∠APB=120°的不变性，再探知点P的轨迹，然后“穿心”可解。
通过上面的例题可以看出，初中数学习题教学的创新研究至关重要。因圆的最值问题是常考题型，所以复习时教师可以在习题教学中通过改变题目的条件、背景，引导学生多角度地探索习题。
【参考文献】
[1]曹建联，李翠.把握问题本质巧解圆中最值[J].中学数学教学参考，2019（30）.
[2]王国兵.探究以圆为背景的最值问题[J].初中数学教与学，
2014（1）.
【作者简介】
王伟（1983～），男，福建惠安人，中学一级教师。研究方向：中学数学教学。
【关键词】圆的最值问题;初中数学;复习课
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）22-0070-02
如何提高初三数学复习课的创新性和有效性，是一线初中数学教师应该研究的问题。以圆为载体的最值问题（“隐圆”）是中考的常见题型，也是中考的热点、难点问题[1]。有的学生对圆的最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思维不够灵活。下面笔者通过一堂初三数学复习课，给出一道例题的解法并对例题进行辨析，充分调动学生思维，以达到举一反三的效果。
1 思路分析
例题：如图1，在边长为的等边?ABC中，动点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，连接BE、AD，相交于点P，求CP的最小值。
分析：对于等边三角形，不仅要明白等边三角形边角的特殊性，还要从对称、旋转（将图形绕中心旋转120°会与原来重合）的角度看待它。而本题又提供了线段等定性关系，不难发现存在两个全等三角形，得到对应角相等。发现∠APE是一个定角，从而发现P点的运动路径，利用“定弦定角的隐圆模型求CP的最值。
常规型1：如图1，C为定点，P为动点，尝试是否能够解决点P的运动轨迹。AB为定长，∠APB为定值，想象定弦定角的隐圆模型。
常规型2：如图2，作过A、B、P三点的外接圆，可在说理过程中略显不足，故考虑先将其转换为对角，在构造固定三角形的情况下建立外接圆，再证明点P是圆上一点。而点到圆的距离最值为连心线的近交点和远交点分别为最小值和最大值时的位置。
2 具体解法
2.1 常规型1
解：∵ ?ABC是等边三角形，
∴ ?ABE≌?CAD（SAS），
∴ ∠1=∠2，∴ ∠APB=180°?（∠1+∠3）=180°?（∠2+∠3）=180°?60°=120°，
∵ AB=，则A、B、P三点共圆，在该优弧上任取一点G，连接AG、BG，
∵ A、G、B、P四点共圆，
∴ ∠AGB=60°，∴ ∠AOB=2∠AGB=120°。如图3，连OC，与圆O的交点是P，CP取最小值。
∵ OA=OB，CA=CB，∴ OC垂直平分AB，
∴ AF=BF=，∠4=∠5=60°，
∴ tan ∠4=，∴ OF==1
∴ OA=2OF=2
同理，OC=4。∴ CP=OC?OP=2，∴ CP的最小值为2。
2.2 常规型2
解：等边三角形ABC中，可证?ABE≌?CAD，
∴ ∠CAD=∠ABE，
∴ ∠BPD=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，∴ ∠APB=120°，
如图4，过A作OA⊥AC于A，过B作OB⊥BC于B，OA、OB交于O。
可证∠1=∠2=30°，∴ ∠AOB=180°?2∠1=120°，
∴ OA=OB。
以O为圆心，OA长为半径作圆，则AB为圆O的弦。
①假设P在圆外，如图5，∵ ∠AOB=120°，
∴ ∠AFB=∠AOB=60°，
∴ ∠AMB=180°?∠AFB=120°，
∴ ∠APB=∠AMB?∠MAP<120°，
这与∠APB=120°矛盾，故P不在圆O外。
②假设P在圆O内，如图6。
同理可证矛盾，故P不在圆O外，
∴ P在圆O上，连接OC交圆O于P'。
根据三角形两边之和大于第三边可知，
如图4，当点P在P'处时，CP最小。
又∵ OA⊥AC，OB⊥BC，∴ AC、BC为圆O切线。
∴ ∠OCB=∠ACB=30°，
∴ tan∠OCB==，
∴ OB=·BC=2=OP。
∴ OB=2OB=4，∴ CP=OC?OP=2，
则CP的最小值为2。
3 总结
（1）最值问題常规思路：①根据已知条件得到图形中不变的量，如推导出定角、定长;②确定变化的点的轨迹，如见定角→找对边（定长）→想周角→转心角→现隐圆→定轨迹→求最值;③将待求未知量最值转化为点圆的距离最值问题[2]。
（2）关注学法：利用隐圆解决这类最值问题对初中生而言是一个难题。一个难点是点的轨迹是圆（或弧）的判断，另一个难点是点的轨迹是圆的证明。日常教学中教师要注重培养学生的几何直观与作图能力，隐圆的问题可开展探究型的专题课程，让学生逐步掌握方法，引导学生归纳定角定弦题型的一般解题步骤，包括①（直观感知）动由静生，取若干个不同位置的P点，观察发现动点的运动轨迹是一段弧;②（对比发现）变中不变，寻找不变的张角（定角）或找张角的邻补交角（常为特殊角），寻找该定角所对的定边（定长）;③（条件转化）隐圆出现;④（求得最值）双定确认。
（3）提升认知：平面几何在解决动的变化过程中，寻找不变性是通法。本问题中?ACD≌?BAE是最本质的不变性，抓住全等的不变性发现D、C、E、P四点共圆，进而发现∠APB=120°的不变性，再探知点P的轨迹，然后“穿心”可解。
通过上面的例题可以看出，初中数学习题教学的创新研究至关重要。因圆的最值问题是常考题型，所以复习时教师可以在习题教学中通过改变题目的条件、背景，引导学生多角度地探索习题。
【参考文献】
[1]曹建联，李翠.把握问题本质巧解圆中最值[J].中学数学教学参考，2019（30）.
[2]王国兵.探究以圆为背景的最值问题[J].初中数学教与学，
2014（1）.
【作者简介】
王伟（1983～），男，福建惠安人，中学一级教师。研究方向：中学数学教学。