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[摘要]初中生数学理解方式总体上处于中等水平；不同性别的初中生在数学理解方式及其三个维度上没有显著性差异，不同年级的初中生在数学理解方式上不存在显著性差异；不同数学成绩的初中生在数学理解方式及解释性理解维度上呈现出非常显著的差异；数学理解方式及其三个维度均与数学学业成绩呈现显著正相关。解释性理解对数学学业成绩的预测与解释力最大。
[关键词]数学理解方式 数学学业成绩 初中生
一、研究问题
数学理解是数学教育的中心问题，学习数学需要理解，这几乎是所有数学教育人员都普遍接受的想法。青浦县数学教改实验小组（1991）通过大样本因素分析得到教学目标的三个层级分类，即记忆水平、解释性理解水平和探究性理解水平。[1]上述三级不同水平的教学，其过程的特征大体如下：（1）记忆水平的教学——以教师给出结论为主，通过机械的记忆、模仿与简单套用，反复训练学生的记忆功能，有时还使用各种教学工具和手段引起学生的注意，帮助学生记住。（2）解释性理解水平的教学——教师变换各种角度对知识和技能进行讲解，设计各种例题和变式，使学生领会知识的本质，或在理解的基础上对数学解题方法归类。例题的讲解则注重于分析思路与讲清原理。（3）探究性理解水平的教学——教师有目的地在新问题情境中引起学生的认知冲突，促使学生积极介入，教师学生共同参与提出和解决问题，共同进行研究和评价。在应用知识方面，是在相当开放的变式情境中重视对数学内容的扩展，通过推理获得通性通法，或是通过对数学问题的广泛延伸，使之同时具有对解决问题过程的合理性、完整性、简洁性的追求。[2]徐彦辉（2010）用因素分析的方法得出了高中生对数学理解性学习认识的因素结构，即：记忆性因子、解释性理解因子、探究性理解因子。[3]
徐彦辉（2013）通过自编的数学理解方式量表式问卷调查发现：数学理解方式的每一个维度都与数学学业成绩呈显著的正相关。[4]本研究尝试采用t检验、方差分析、相关分析和回归分析技术，进一步探讨不同性别、年级和数学成绩的初中生数学理解方式的差异以及数学理解方式与数学成绩之间的相关关系，从而更好地理解数学理解方式各结构要素之间的关系及其对数学学业成绩的影响机制，为中学数学教育教学提供一定的理论和指导依据。
二、研究方法
（一）被试与施测
我们在温州市市区一所重点初中随机分层抽样选取初一、初二、初三共三个年级的469名被试；其中，有效被试463人；有效被试分布情况如下，初一205人，初二161人，初三103人；男272人，女197人。
对被试施以数学理解方式问卷的测查，采用团体测试方式，以班为集体，在第二学期开学三周后将问卷发给学生，由主试向学生说明指导语，待学生完全理解要求后开始作答。测试过程中，被试在遇到不理解的项目时，可随时向主试个别询问，测试时间约为20分钟。填写完毕后当场收回问卷。
（二）研究工具
1.数学理解方式量表
按照记忆、解释性理解和探究性理解三个维度，自编量表，5点记分，共25个条目。经过对问卷进行频次分析、项目分析、探索性因素分析，共删除9个条目，最终得到量表的“记忆、解释性理解和探究性理解”三个维度。其中，记忆性理解维度包含7个有效测项，典型的题目如：“学习数学最好的方式就是记忆概念、法则和公式”等。探究性理解维度包含6个有效测项，典型的题目如：“学习数学需要主动探索”等。解释性理解维度包含3个有效测项，典型的题目如：“学习数学常常需要教师举恰当的例子才能理解”等。问卷采用Likert五点量表形式，选择“极不符合”记1分，选择“非常符合”记5分。每个题项仅限选择一个答案，设计了标准的指导语，且在发放时提醒学生不要漏项。整个问卷的Cronbach 系数为0.644，三个分量表的Cronbach 系数分别为0.738、0.713、0.575，表明问卷具有良好的结构效度。
2.学业成绩
采用被试初一、初二、初三第一学期数学期末考试的成绩，并将考试成绩转化为标准分数，作为数学学业成绩的统计指标。将被试的数学学业成绩由高到低排序，按总人数25%、50%、25%分为高分组（116人）、中分组（231人）和低分组（116人）。
（三）数据统计与处理
数学理解方式以问卷所测的分数作为统计指标，所研究数据的采集与分析数据主要通过SPSS 17.0进行统计分析。
三、研究结果
（一）初中生数学理解方式的总体状况
对463名被试的数学理解方式及其三个相关维度进行了平均值和方差的描述性统计，结果见表1。
由表1可知，初中生数学理解方式总体上处于中等水平（M=3.55）。就数学理解方式三个维度而言，平均值界于3.20～3.90之间，其中解释性理解较低，探究性理解较高。调查结果显示，75.2%的学生在“学习数学需要主动探索”题上的得分高于3，38%的学生在“学习数学最好的方式就是记忆概念、法则和公式”题上的得分低于3。
（二）数学理解方式的差异
1.数学理解方式的性别差异
将被试分为男、女生两组，在数学理解方式及其三个相关维度上，对其进行独立样本分析。结果如表2所示。
由表2可知，男女生在数学理解方式及其三个维度上都没有显著性差异，男生比女生在数学理解方式及其三个维度上得分都弱高些，尤其在探究性理解维度上男生比女生得分更高。
2.数学理解方式的年级差异
初一、初二、初三学生数学理解方式的均值和标准差分别为57.69，7.12；56.35，7.86；55.61，7.09。为了考察不同年级学生的数学理解方式是否存在差异，对其进行了单因素方差分，结果如表3所示。
由表3可知，不同年级初中生的数学理解方式不存在显著性差异，进一步对两两进行检验：初一与初二、初一与初三、初二与初三两两之间都不存在显著性差异。 3.不同数学学习成绩水平初中生数学理解方式的差异
将被试按数学学业成绩分为高、中、低分组，在数学理解方式及其三个维度上，对其进行单因素方差分析，统计结果见表4。
从表4可以看出，在数学理解方式及解释性理解维度上，高、中、低分组两两之间呈现出了非常显著性的差异。在记忆性理解和探究性理解维度上，除了高分组和低分组之间达到非常显著性水平外，高、中、低分组两两之间都不呈现出显著性的差异。统计结果显示：高分组学生的记忆性理解得分最高（M=3.56），而低分组学生的记忆性理解得分最低（M=3.23）；高分组学生的探究性理解得分最高（M=4.05），而低分组学生的探究性理解得分最低（M=3.76）。
（三）数学理解方式与数学学业成绩的关系
将被试的数学学业成绩与他们的数学理解方式及其三个维度进行相关分析，统计结果见表5。
表5表明，数学理解方式及其三个维度均与数学学业成绩呈现显著正相关。为了探讨数学理解方式与数学学业成绩之间的因果关系以及数学理解方式在何种程度上影响数学学业成绩，以数学理解方式为自变量，以数学学业成绩为因变量进行一元回归分析。结果显示，标准回归系数β为0.261，决定系数R2为0.068，说明数学学业成绩变异的6.8%可以用数学理解方式作解释。
进一步以数学理解方式的三个维度为自变量，以数学学业成绩为因变量进行多元逐步回归分析。分析时，以偏相关系数为指标，只有当偏相关系数达到0.05的显著性水平时才将该自变量引入回归方程，结果显示数学理解方式的三个维度都进入回归方程，每个维度进入回归模型后所增加的个别解释量均达显著（p<0.05），结果见表6。
从表6可以看出，数学理解方式三个维度可以预测和解释数学学业成绩变异量的8%。其中，解释性理解对数学学业成绩的预测与解释力最大，其解释量为5.1%，即解释性理解可以解释和预测其数学学业成绩变异量的5.1%；记忆性理解对数学学业成绩的解释量为1.7%，探究性理解对数学学业成绩的解释量为1.2%。
四、结论与讨论
（1）初中生数学理解方式总体上处于中等水平。
（2）男女生在数学理解方式及其三个维度上都没有显著性差异，男生比女生在数学理解方式及其三个维度上得分都略高些，尤其在探究性理解维度上男生比女生得分更高。
（3）不同年级初中生的数学理解方式不存在显著性差异。
（4）在数学理解方式及解释性理解维度上，高、中、低分组两两之间呈现出了非常显著性的差异。在记忆性理解和探究性理解维度上，除了高分组和低分组之间达到非常显著性水平外，高、中、低分组两两之间都不呈现出显著性的差异。
（5）数学理解方式及其三个维度均与数学学业成绩呈现显著正相关，数学学业成绩变异的6.8%可以用数学理解方式作解释。数学理解方式三个维度可以预测和解释数学学业成绩变异量的8%，其中，解释性理解对数学学业成绩的预测与解释力最大
（6）本研究选择的研究被试为温州市市区的一所重点初中，对于普通中学的一般初中生，研究结论可能会有所不同，留待以后继续研究。
[参考文献]
[1]青浦县数学教改实验小组著.学会教学[M].北京：人民教育出版社， 1991. 222-235.
[2]顾泠沅著.教学改革的行动与诠释[M].北京：人民教育出版社， 2003. 133-134.
[3]徐彦辉.高中生对数学理解性学习认识的因素结构[J]，数学教育学报，2010，19（2）：50-52..
（作者单位：温州大学数学与信息科学学院 浙江温州）
[关键词]数学理解方式 数学学业成绩 初中生
一、研究问题
数学理解是数学教育的中心问题，学习数学需要理解，这几乎是所有数学教育人员都普遍接受的想法。青浦县数学教改实验小组（1991）通过大样本因素分析得到教学目标的三个层级分类，即记忆水平、解释性理解水平和探究性理解水平。[1]上述三级不同水平的教学，其过程的特征大体如下：（1）记忆水平的教学——以教师给出结论为主，通过机械的记忆、模仿与简单套用，反复训练学生的记忆功能，有时还使用各种教学工具和手段引起学生的注意，帮助学生记住。（2）解释性理解水平的教学——教师变换各种角度对知识和技能进行讲解，设计各种例题和变式，使学生领会知识的本质，或在理解的基础上对数学解题方法归类。例题的讲解则注重于分析思路与讲清原理。（3）探究性理解水平的教学——教师有目的地在新问题情境中引起学生的认知冲突，促使学生积极介入，教师学生共同参与提出和解决问题，共同进行研究和评价。在应用知识方面，是在相当开放的变式情境中重视对数学内容的扩展，通过推理获得通性通法，或是通过对数学问题的广泛延伸，使之同时具有对解决问题过程的合理性、完整性、简洁性的追求。[2]徐彦辉（2010）用因素分析的方法得出了高中生对数学理解性学习认识的因素结构，即：记忆性因子、解释性理解因子、探究性理解因子。[3]
徐彦辉（2013）通过自编的数学理解方式量表式问卷调查发现：数学理解方式的每一个维度都与数学学业成绩呈显著的正相关。[4]本研究尝试采用t检验、方差分析、相关分析和回归分析技术，进一步探讨不同性别、年级和数学成绩的初中生数学理解方式的差异以及数学理解方式与数学成绩之间的相关关系，从而更好地理解数学理解方式各结构要素之间的关系及其对数学学业成绩的影响机制，为中学数学教育教学提供一定的理论和指导依据。
二、研究方法
（一）被试与施测
我们在温州市市区一所重点初中随机分层抽样选取初一、初二、初三共三个年级的469名被试；其中，有效被试463人；有效被试分布情况如下，初一205人，初二161人，初三103人；男272人，女197人。
对被试施以数学理解方式问卷的测查，采用团体测试方式，以班为集体，在第二学期开学三周后将问卷发给学生，由主试向学生说明指导语，待学生完全理解要求后开始作答。测试过程中，被试在遇到不理解的项目时，可随时向主试个别询问，测试时间约为20分钟。填写完毕后当场收回问卷。
（二）研究工具
1.数学理解方式量表
按照记忆、解释性理解和探究性理解三个维度，自编量表，5点记分，共25个条目。经过对问卷进行频次分析、项目分析、探索性因素分析，共删除9个条目，最终得到量表的“记忆、解释性理解和探究性理解”三个维度。其中，记忆性理解维度包含7个有效测项，典型的题目如：“学习数学最好的方式就是记忆概念、法则和公式”等。探究性理解维度包含6个有效测项，典型的题目如：“学习数学需要主动探索”等。解释性理解维度包含3个有效测项，典型的题目如：“学习数学常常需要教师举恰当的例子才能理解”等。问卷采用Likert五点量表形式，选择“极不符合”记1分，选择“非常符合”记5分。每个题项仅限选择一个答案，设计了标准的指导语，且在发放时提醒学生不要漏项。整个问卷的Cronbach 系数为0.644，三个分量表的Cronbach 系数分别为0.738、0.713、0.575，表明问卷具有良好的结构效度。
2.学业成绩
采用被试初一、初二、初三第一学期数学期末考试的成绩，并将考试成绩转化为标准分数，作为数学学业成绩的统计指标。将被试的数学学业成绩由高到低排序，按总人数25%、50%、25%分为高分组（116人）、中分组（231人）和低分组（116人）。
（三）数据统计与处理
数学理解方式以问卷所测的分数作为统计指标，所研究数据的采集与分析数据主要通过SPSS 17.0进行统计分析。
三、研究结果
（一）初中生数学理解方式的总体状况
对463名被试的数学理解方式及其三个相关维度进行了平均值和方差的描述性统计，结果见表1。
由表1可知，初中生数学理解方式总体上处于中等水平（M=3.55）。就数学理解方式三个维度而言，平均值界于3.20～3.90之间，其中解释性理解较低，探究性理解较高。调查结果显示，75.2%的学生在“学习数学需要主动探索”题上的得分高于3，38%的学生在“学习数学最好的方式就是记忆概念、法则和公式”题上的得分低于3。
（二）数学理解方式的差异
1.数学理解方式的性别差异
将被试分为男、女生两组，在数学理解方式及其三个相关维度上，对其进行独立样本分析。结果如表2所示。
由表2可知，男女生在数学理解方式及其三个维度上都没有显著性差异，男生比女生在数学理解方式及其三个维度上得分都弱高些，尤其在探究性理解维度上男生比女生得分更高。
2.数学理解方式的年级差异
初一、初二、初三学生数学理解方式的均值和标准差分别为57.69，7.12；56.35，7.86；55.61，7.09。为了考察不同年级学生的数学理解方式是否存在差异，对其进行了单因素方差分，结果如表3所示。
由表3可知，不同年级初中生的数学理解方式不存在显著性差异，进一步对两两进行检验：初一与初二、初一与初三、初二与初三两两之间都不存在显著性差异。 3.不同数学学习成绩水平初中生数学理解方式的差异
将被试按数学学业成绩分为高、中、低分组，在数学理解方式及其三个维度上，对其进行单因素方差分析，统计结果见表4。
从表4可以看出，在数学理解方式及解释性理解维度上，高、中、低分组两两之间呈现出了非常显著性的差异。在记忆性理解和探究性理解维度上，除了高分组和低分组之间达到非常显著性水平外，高、中、低分组两两之间都不呈现出显著性的差异。统计结果显示：高分组学生的记忆性理解得分最高（M=3.56），而低分组学生的记忆性理解得分最低（M=3.23）；高分组学生的探究性理解得分最高（M=4.05），而低分组学生的探究性理解得分最低（M=3.76）。
（三）数学理解方式与数学学业成绩的关系
将被试的数学学业成绩与他们的数学理解方式及其三个维度进行相关分析，统计结果见表5。
表5表明，数学理解方式及其三个维度均与数学学业成绩呈现显著正相关。为了探讨数学理解方式与数学学业成绩之间的因果关系以及数学理解方式在何种程度上影响数学学业成绩，以数学理解方式为自变量，以数学学业成绩为因变量进行一元回归分析。结果显示，标准回归系数β为0.261，决定系数R2为0.068，说明数学学业成绩变异的6.8%可以用数学理解方式作解释。
进一步以数学理解方式的三个维度为自变量，以数学学业成绩为因变量进行多元逐步回归分析。分析时，以偏相关系数为指标，只有当偏相关系数达到0.05的显著性水平时才将该自变量引入回归方程，结果显示数学理解方式的三个维度都进入回归方程，每个维度进入回归模型后所增加的个别解释量均达显著（p<0.05），结果见表6。
从表6可以看出，数学理解方式三个维度可以预测和解释数学学业成绩变异量的8%。其中，解释性理解对数学学业成绩的预测与解释力最大，其解释量为5.1%，即解释性理解可以解释和预测其数学学业成绩变异量的5.1%；记忆性理解对数学学业成绩的解释量为1.7%，探究性理解对数学学业成绩的解释量为1.2%。
四、结论与讨论
（1）初中生数学理解方式总体上处于中等水平。
（2）男女生在数学理解方式及其三个维度上都没有显著性差异，男生比女生在数学理解方式及其三个维度上得分都略高些，尤其在探究性理解维度上男生比女生得分更高。
（3）不同年级初中生的数学理解方式不存在显著性差异。
（4）在数学理解方式及解释性理解维度上，高、中、低分组两两之间呈现出了非常显著性的差异。在记忆性理解和探究性理解维度上，除了高分组和低分组之间达到非常显著性水平外，高、中、低分组两两之间都不呈现出显著性的差异。
（5）数学理解方式及其三个维度均与数学学业成绩呈现显著正相关，数学学业成绩变异的6.8%可以用数学理解方式作解释。数学理解方式三个维度可以预测和解释数学学业成绩变异量的8%，其中，解释性理解对数学学业成绩的预测与解释力最大
（6）本研究选择的研究被试为温州市市区的一所重点初中，对于普通中学的一般初中生，研究结论可能会有所不同，留待以后继续研究。
[参考文献]
[1]青浦县数学教改实验小组著.学会教学[M].北京：人民教育出版社， 1991. 222-235.
[2]顾泠沅著.教学改革的行动与诠释[M].北京：人民教育出版社， 2003. 133-134.
[3]徐彦辉.高中生对数学理解性学习认识的因素结构[J]，数学教育学报，2010，19（2）：50-52..
（作者单位：温州大学数学与信息科学学院 浙江温州）