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[摘要]噪声是目前现代数字信号处理分析的主要对象之一，利用比较法简单分析分数低阶非高斯噪声的定义及特性，为进一步探索分数低阶非高斯噪声的时频特性及其谱估计的应用指明了方向。
[关键词]噪声 高斯噪声 稳定分布噪声
中图分类号：TN911.6 文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2008）1110110－01
一、前言
噪声通常定义为信号中的无用信号成分。人们习惯上认为噪声“污染”了信号中的有用成分，总想把它除掉，甚至力求找到一种不含噪声的理想信号。事实上，噪声无处不在，而且噪声和信号的区分是相对而言的，这要取决于人们分析的目的。然而，为了便于分析系统和观察系统的输出特性，噪声却是可以利用的工具。人们常常要花较长的时间去合成噪声。除了一些常见的噪声外，要合成许多特殊噪声通常有一定难度。 因此，对噪声进行定义和讨论就非常必要，这不仅有利于系统的分析，而且对噪声的合成与控制也很重要。
二、高斯噪声
噪声是一个随机过程，而随机过程有其功率谱密度函数，功率谱密度函数的不同“形状”也就产生了不同的噪声。所以，我们常定义“白噪声”为功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声，即白噪声的功率谱密度函数在整个实数范围内为一常数（从图形上看就是一条直线）；并且其另一主要特征是在时域中各个时刻或各向量不相关。与此定义及特征相对的噪声，我们就称为“非白噪声”，也即“有色噪声”。很显然，有色噪声的功率谱密度函数不为常数，在频域里也不会包含所有的频率成分，在时域中各个时刻相关。在通信系统中，我们还常遇到类似“高斯噪声”的概念，高斯噪声是根据它的概率密度函数呈正态分布（即高斯分布）来定义的。所以，高斯白噪声是指噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时它的功率谱密度函数是常数的一类噪声。由此定义可看出，高斯白噪声强调的是噪声的两个不同方面，即概率密度函数的正态分布性和功率谱密度函数的均匀性，两者缺一不可。而高斯有色噪声强调的是其概率密度函数要求满足正态分布，而功率谱密度函数为非常数。由于对高斯噪声的分析是建立在二阶统计量基础上的，所以高斯噪声的理论和应用都比较成熟。
三、分数低阶非高斯噪声
为了发展并拓宽基于高斯噪声模型的信号处理理论，有必要在分数低阶统计量的基础上来建立具有广泛韧性与统一性的分数低阶非高斯白噪声和有色噪声的定义及判断标准。如果按照给高斯噪声定义的角度描述的话，则分数低阶非高斯噪声的概率密度函数必然要满足特征指数为
范围的稳定分布[1]，即满足FLOA（Fractional Lower Order -Sta
Ble Distribution）分布。那么分数低阶非高斯噪声就存在两个显著的特征：它的概率密度函数具有较厚的拖尾和在时间波形上具有显著的尖峰脉冲特性。由于基于FLOA分布的噪声不能用属于二阶统计量的功率谱来描述，所以定义分数低阶非高斯白噪声（或简称为稳定白噪声）只能用其对应的分数低阶谱,如谱、共变谱、低阶协方差谱等来描述或限定。类似于二阶的白噪声的功率谱为常数，那么分数低阶白噪声的谱应该也是常数（即从理论上讲在频域内应是平坦均匀的直线），而分数低阶有色噪声的谱不应是常数。究竟如何来统一定义分数低阶白噪声或有色噪声的概念呢？长期以来，这一直是人们力求去探索的问题。在文献[2]中，Nikias和Shao曾首次提出了“稳定白噪声（stable white noise）”的概念，但并未就其定义、特征、性质做任何的说明。后来国内学者查代奉曾在文献[3]中首次提出了一种基于共变函数和共变谱密度的稳定白噪声的概念及其判断标准，对传统意义上的白噪声进行了广义化。定义过程如下：对于一个严平稳复过程，总存在如下一种谱表示：
其中 为依赖于与的常量，为的一种称作谱密度的非负函数。当时，谱密度就是对应高斯过程的功率谱；当 时，谱密度表示分数低阶谱，在一些如线性预测与滤波[5]的应用中，谱密度起着和功率谱一样类似的作用。也就是说，谱密度完全可以描述 的一种频率分布。由于为一个严平稳
过程，所以存在稳定过程的共变函数，其表达式为：
由此式可知，稳定过程的自共变函数与二阶过程的自协方差函数有着同样的意义，它与谱密度构成一个傅立叶变换对。根据自共变函数的定义[1,2]：
其中。则可以建立一种全新的不同于高斯白噪声的
稳定分布白噪声的概念及判断准则：当且仅当共变函数在理论上满足时，为稳定分布白噪声过程，其中 为冲激函数。对自共变函数进行傅立叶变换就得到一种分数阶谱——共变谱，即。比较可知，自共变函数对应二阶的自相关函数，则共变谱对应功率谱，两者的区别在于特征指数的取值不同，并且共变谱和功率谱应有相似的特性。借用文献[3]中的图1可以看出，稳定分布白噪声的共变谱在频域上的分布的确近似一条平坦均匀直线。有了稳定分布白噪声的定义后，则稳定分布的有色噪声就可以通过稳定分布白噪声激励一个有理系统或滤波器得到。
四、结束语
总结上面的分析可知，分数低阶非高斯噪声（亦即稳定分布噪声）是二阶高斯噪声的广义化定义，不管是白噪声还是有色噪声在时间波形上具有显著的脉冲特性，并且它们的概率密度函数具有较厚的拖尾；其中分数低阶非高斯白噪声的谱在频域里呈直线均匀分布，而分数低阶非高斯有色噪声的谱在频域里随角频率非均匀变化。
参考文献：
[1]SHAO M,NIkias CL.Signal processing with fractional lower order moments:stable processes and their applications[J].Proceeding of IEEE,1993,81(7):986-1010.
[2]CL Nikias,M Shao.Signal Processing with Alpha-Stable Distributions and Applications[M].New York:John Wiley & Sons Inc.1995.
[3]查代奉、邱天爽，基于分数阶谱的频域广义白化滤波方法.通信学报. 2005.26(5):24-30.
作者简介：
李鹏，女，中国地质大学研究生，九江学院教师，研究方向：现代数字信号处理。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
[关键词]噪声 高斯噪声 稳定分布噪声
中图分类号：TN911.6 文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2008）1110110－01
一、前言
噪声通常定义为信号中的无用信号成分。人们习惯上认为噪声“污染”了信号中的有用成分，总想把它除掉，甚至力求找到一种不含噪声的理想信号。事实上，噪声无处不在，而且噪声和信号的区分是相对而言的，这要取决于人们分析的目的。然而，为了便于分析系统和观察系统的输出特性，噪声却是可以利用的工具。人们常常要花较长的时间去合成噪声。除了一些常见的噪声外，要合成许多特殊噪声通常有一定难度。 因此，对噪声进行定义和讨论就非常必要，这不仅有利于系统的分析，而且对噪声的合成与控制也很重要。
二、高斯噪声
噪声是一个随机过程，而随机过程有其功率谱密度函数，功率谱密度函数的不同“形状”也就产生了不同的噪声。所以，我们常定义“白噪声”为功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声，即白噪声的功率谱密度函数在整个实数范围内为一常数（从图形上看就是一条直线）；并且其另一主要特征是在时域中各个时刻或各向量不相关。与此定义及特征相对的噪声，我们就称为“非白噪声”，也即“有色噪声”。很显然，有色噪声的功率谱密度函数不为常数，在频域里也不会包含所有的频率成分，在时域中各个时刻相关。在通信系统中，我们还常遇到类似“高斯噪声”的概念，高斯噪声是根据它的概率密度函数呈正态分布（即高斯分布）来定义的。所以，高斯白噪声是指噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时它的功率谱密度函数是常数的一类噪声。由此定义可看出，高斯白噪声强调的是噪声的两个不同方面，即概率密度函数的正态分布性和功率谱密度函数的均匀性，两者缺一不可。而高斯有色噪声强调的是其概率密度函数要求满足正态分布，而功率谱密度函数为非常数。由于对高斯噪声的分析是建立在二阶统计量基础上的，所以高斯噪声的理论和应用都比较成熟。
三、分数低阶非高斯噪声
为了发展并拓宽基于高斯噪声模型的信号处理理论，有必要在分数低阶统计量的基础上来建立具有广泛韧性与统一性的分数低阶非高斯白噪声和有色噪声的定义及判断标准。如果按照给高斯噪声定义的角度描述的话，则分数低阶非高斯噪声的概率密度函数必然要满足特征指数为
范围的稳定分布[1]，即满足FLOA（Fractional Lower Order -Sta
Ble Distribution）分布。那么分数低阶非高斯噪声就存在两个显著的特征：它的概率密度函数具有较厚的拖尾和在时间波形上具有显著的尖峰脉冲特性。由于基于FLOA分布的噪声不能用属于二阶统计量的功率谱来描述，所以定义分数低阶非高斯白噪声（或简称为稳定白噪声）只能用其对应的分数低阶谱,如谱、共变谱、低阶协方差谱等来描述或限定。类似于二阶的白噪声的功率谱为常数，那么分数低阶白噪声的谱应该也是常数（即从理论上讲在频域内应是平坦均匀的直线），而分数低阶有色噪声的谱不应是常数。究竟如何来统一定义分数低阶白噪声或有色噪声的概念呢？长期以来，这一直是人们力求去探索的问题。在文献[2]中，Nikias和Shao曾首次提出了“稳定白噪声（stable white noise）”的概念，但并未就其定义、特征、性质做任何的说明。后来国内学者查代奉曾在文献[3]中首次提出了一种基于共变函数和共变谱密度的稳定白噪声的概念及其判断标准，对传统意义上的白噪声进行了广义化。定义过程如下：对于一个严平稳复过程，总存在如下一种谱表示：
其中 为依赖于与的常量，为的一种称作谱密度的非负函数。当时，谱密度就是对应高斯过程的功率谱；当 时，谱密度表示分数低阶谱，在一些如线性预测与滤波[5]的应用中，谱密度起着和功率谱一样类似的作用。也就是说，谱密度完全可以描述 的一种频率分布。由于为一个严平稳
过程，所以存在稳定过程的共变函数，其表达式为：
由此式可知，稳定过程的自共变函数与二阶过程的自协方差函数有着同样的意义，它与谱密度构成一个傅立叶变换对。根据自共变函数的定义[1,2]：
其中。则可以建立一种全新的不同于高斯白噪声的
稳定分布白噪声的概念及判断准则：当且仅当共变函数在理论上满足时，为稳定分布白噪声过程，其中 为冲激函数。对自共变函数进行傅立叶变换就得到一种分数阶谱——共变谱，即。比较可知，自共变函数对应二阶的自相关函数，则共变谱对应功率谱，两者的区别在于特征指数的取值不同，并且共变谱和功率谱应有相似的特性。借用文献[3]中的图1可以看出，稳定分布白噪声的共变谱在频域上的分布的确近似一条平坦均匀直线。有了稳定分布白噪声的定义后，则稳定分布的有色噪声就可以通过稳定分布白噪声激励一个有理系统或滤波器得到。
四、结束语
总结上面的分析可知，分数低阶非高斯噪声（亦即稳定分布噪声）是二阶高斯噪声的广义化定义，不管是白噪声还是有色噪声在时间波形上具有显著的脉冲特性，并且它们的概率密度函数具有较厚的拖尾；其中分数低阶非高斯白噪声的谱在频域里呈直线均匀分布，而分数低阶非高斯有色噪声的谱在频域里随角频率非均匀变化。
参考文献：
[1]SHAO M,NIkias CL.Signal processing with fractional lower order moments:stable processes and their applications[J].Proceeding of IEEE,1993,81(7):986-1010.
[2]CL Nikias,M Shao.Signal Processing with Alpha-Stable Distributions and Applications[M].New York:John Wiley & Sons Inc.1995.
[3]查代奉、邱天爽，基于分数阶谱的频域广义白化滤波方法.通信学报. 2005.26(5):24-30.
作者简介：
李鹏，女，中国地质大学研究生，九江学院教师，研究方向：现代数字信号处理。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”