【摘 要】这篇文章利用素数、Q/Z的入射性，以及SpanZP-1→Q/Z的态射构造，给出Q的特征标模HomZ（Q，Q/Z）不等于Q的证明，并且说明了HomZ（Q，Q/Z）是Q上
　　的无穷维空间。这里 ，
　　P是全体素数形成的集合。最后给出了上述结论与Q不是投射模的联系。
　　【关键词】Q Q/Z 特征标模 素数 入射 投射
　　一、引入
　　研究同态群是代数的核心问题之一，许多同态群的结构是复杂的。有时同态群对应着函数方程，如
　　与方程 ， 等价。这篇文章研究了Q的特征标模 ，提供了“
　　并且是Q上的无穷维线性空间”的一种证明方法，而且简述了这个事实与同调论中一些已知结果的联系。
　　二、预备知识
　　定义 2.1[1]， [2]， [3]， [4] 设R是一个交换环，称一个R-模I是入射模，如果对任意单态 和态射 ，都存在态射 使得 .
　　定义 2.2[2]， [3]一个整环R上的模称为可除模，如果对
　　，都存在 使得
　　定理2.3[2]， [3]主理想整环上的可除模与入射模等价。
　　例 2.4 Q/Z是入射Z模，即入射 Abel 群。
　　三、 的态射构造
　　记号 3.1 设 为全体素数且 （这里N表示全体正整数）， 记 ，
　　构造 3.2 定义 ，
　　其中 。
　　然后令 为 。由于
　　这样定义 f 是良好的，且容易验证 f 是一个 Abel 群同态。
　　四、 不满的证明
　　由标准投射 容易得到
　　下面证明 不满。
　　由于Q/Z是入射 Z 模，故存在 使得下图交换
　　下面我们说明 。否则， 存在 使得
　　，对任意 。特别地，对 ，我们有
　　这样 ， 。 注意到 q0 是一个固定的有限数，但 （ ），于是 ，
　　只能同时等于0，这显然是荒谬的。故 。
　　注4.1 通过改变 在一个初段
　　上的定义，容易说明 作为 Q 上的向量空间是无穷维空间，于是 。
　　事实上，可以定义 （ ），其中
　　。然后类似地定义 ，容易说明 f 仍然有良定性。然后让 变化，即可扩张出无穷多个Q无关的f1。
　　五、与一些已知结果的联系
　　· 不满当且仅当
　　· 不满可推出Q不是投射Z模，这是熟知的结论，参见[1]p68
　　参考文献：
　　[1] Charles A. Weibel. An Introduction to Homological Algebra [M]. United Kingdom：
　　Cambridge University Press， （c1994）.
　　[2] Joseph J. Rotman. An Introduction to Homological Algebra， Second Edition [M]. USA： Springer， （c2009）.
　　[3] P. J. Hilton， U. Stammbach. A Course in Homological Algebra [M]. USA： Springer-Verlag， （c1971）.
　　[4] Frank W. Anderson， Kent R. Fuller. Rings and Categories of Modules， Second Edition [M]. USA： Springer-Verlag， 1992.