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一、说在前面
2018年3月，扬州市江都区教研室承办江苏省中小学教研室网络教研平台——“教学新时空”“名师课堂”初中数学的第53次研讨活动，研讨主题为“创新复习设计”。本文结合笔者参与本次研讨磨课及现场讨论的感受，以张跃老师执教的“角平分线”复习课为例，谈谈如何将零散内容梳理整合建构，通过设计创新，学生经历理解知识的过程，提升能力，发展和深化方法，整体学，关联学，从学会走向会学。
二、“角平分线”复习课设计案例
教学目标：
1.学生在基本图形的观察中回顾对角平分线的认识，经历探究活动，迁移运用性质，形成能力；
2.经历不同阶段整体认识角平分线的过程，培养提出问题、分析解决问题的能力；
3.在思维训练中增强问题意识，形成综合利用知识解决问题的能力。
教学重点：培养利用角平分线知识解决问题的能力及问题意识；
教学难点：增强知识间的整体应用意识，提高思维深度。
教学过程：
活动一、梳理知识
操作：如图1，将直角三角形纸片ABC沿着过点A的直线折叠，使得点C落在AB边上的点D处，请画出折痕AE。
观察图2，问1：你有哪些结论？
预设：①直角三角形的两个锐角互余，∠BAC+∠ABC=90°；②勾股定理：AC2+BC2=AB2；③AE是∠CAB的平分线；④△ACE≌△ADE；⑤△BDE∽△BCA。
问2：图中的CE与DE相等吗？请说明理由。
问3：若AC=3，BC=4。你能提出哪些问题？
预设：①求CE的长度；②求BE的长度；③求AE的长度。
方法1：勾股定理法，设CE=DE=x，则BE=4-x。在Rt△BDE中，x2+22=（4-x）2，解得：x=1.5。
方法2：面积法，S△ACE+S△ABE=S△ABC。
方法3：相似法，证△BDE∽△BCA。
方法4：三角函数法，tanB=[ACBC=DEDB]。
问4：如果将纸片沿着过点B的直线折叠，使得点C落在AB边上，得到折痕BF。请画出折痕BF。观察图3，你有哪些结论？
预设：①点O到△ABC三边的距离相等；②点O在∠ACB的平分线上；③∠AOB=135°；④点O是△ABC的内心；⑤过点O引AC、BC垂线，垂足为M、N，四边形OMCN是正方形。
活动二、深化探究
1.角平分线+角平分线。
（1）如图4，点D是△ABC内角∠ABC、∠ACB的平分线的交点，你有什么结论？
（2）如图5，点Q是△ABC外角∠MAC、∠NCA的平分线的交点，你有什么结论？
（3）如图6，点P是△ABC内角∠ABC、外角∠NCA的平分线的交点，你有什么结论？
变式：如果隐去图中的圆，如图10，其他条件不变。结论还成立吗？
方法1：作垂直，过点C作CM⊥AB，CN⊥AD，垂足分别为M、N。
方法2：割，在AD边上截取AE=AB，连接CE。
方法3：补，在AB的延长线上截取AF=AD，连接CF。
小结：异中寻同，3种解法都围绕角平分线的轴对称本质特征构造转化。
活动三、自主反思
1.交流：关于角平分线，你还有什么疑惑？还有怎样的思考？
2.知识结构树（知识、学法）。
活动四、探究作业
数学复习需要在一步一步向上攀登中梳理知识、建构学法，结合本节课完成探究性作业——《与角平分线相遇的……》反思小文章。
三、教学立意的进一步阐释
上面展示了学完“对称图形——圆”之后的初三一轮复习——以角平分线为主线串联的一节复习课，以下再从整体上就该设计的教学立意给出进一步的阐释。
1.开放简单，预设充分。
本节课初始阶段没有安排操作，教师没有刻意提出尺规作角平分线，因为折叠伴随角平分线的场景是学生经歷过的，这是简单的重复，是基于初三学生认知水平和能力的考虑。课伊始阶段，从学生熟悉的折叠场景入手，通过直观想象，设计开放的问题，启发学生：你有什么结论？结论指向一定是熟悉的，所以简单的开放利于唤起学生回忆，带入熟悉的情境场思考，马上就有学生基于特殊的直角三角形陈述各种结论，在打开的思维质态中教师顺势抛出问题：若AC=3，BC=4，你能提出哪些问题？再次通过开放结论，自主编题，把角平分线性质与判定继续在问题情境中应用。变换设问方式，让学生自己提问题，提有价值的问题，在浓浓的自创问题情境中串联所学知识，汇点成线。在提出有价值问题的竞争中，教师临场决策，依据学情，选用预设充分的备案，引领学生精彩生成。设问内容和方式的简单开放，促进学生自主梳理、建构，形成知识网络，完善知识应用体系，有效拓宽复习中主体参与的广度和深度。
事实上，角平分线知识比较简单，当它相遇系列图形，就会产生模型，碰撞出美丽。上述设计的深入探究部分以角平分线相遇角平分线、角平分线相遇圆为主线，结合课本原题设计问题，引导学生解密。设计的结尾阶段持续激发学生探究角平分线的兴趣，通过反思小文章的研究性作业，让复习在一步一步向上攀登中梳理知识、建构学法。充满挑战，激发学生将有限的课内探究延伸至课外，可以想象，在角平分线与坐标系，角平分线与平行线，等腰携手角平分线等舞台上，孩子们会演绎无限精彩。复习课堂提供给学生学懂学会的平台，在充满浓浓的“新授味道”中引领学生体会、感悟，从中省悟会学之道。
2.重组变式，感悟本源。
复习需要重新组合、调整课本，在温故知新中创造新的课堂教学资源，提供给学生讨论、研究，再认识，在打牢数学基础的同时，培养学生灵活的应变能力。比如对特殊的直角三角形中增加线段长度，你能提出什么问题？着力于培养学生捕捉问题，自主提出问题，交流勾股定理解法、相似法、面积法、三角函数法等不同求解线段的方法，在解法相异处思考内在联系，感悟几何问题代数解的通法，方程思想架构图形间数量联系的通式得以体现。 选取“角平分线+角平分线”组合，依旧是学生熟悉的情景。组合“辨识图5、图6中不同的角平分线相交”，设计“你有什么共同的发现”这一问题，为站在圆的高度理解旧情境中的结论赋予新解法，推陈出新。把角平分线这个小的知识点，随认知水平的发展放置在不同的问题情境中，与其他图形综合，小题大做，小题深做，让学生感受小题不小。陈题新做，重构旧知识的新视野，新路径，从中获得“‘圆’来就简单”的惊叹，获得新体验，增长新经验，生长新“学力”，感受数学的魅力，揭示数学知识之间的联系和本质。
“角平分线+圆”的探究，回归教材，低起点、慢爬坡，通过变式，削减条件，隐去圆的情境，探究层层深入。双垂直构造解法，是植根于角平分线性质理解的自然解法。一割一补，是对角平分线对称理解的升华，异中寻同。三种解法都围绕角平分线的轴对称本质特征构造转化，共性特征的归纳是思维的深化。
3.反思作业，“让学”促学。
复习教学设计的拓展与延伸作业要根据学生的具体情况，不一味地加深难度，不一味地追求新颖解法与技巧，应该引导学生在本质处精思、深挖，设置体现个体独特的学习见解或解题过程中的情感、心态变化的“反思性”作业，如本节课布置的作业是课后完成关于“角平分线与其他图形的相遇还有什么样的思考”，是一个开放性的作业。
这类当下流行的反思性作业恰好与荷兰数学教育家弗赖登塔尔倡导的“反思是重要的教学活动，它是数学的核心和动力”不谋而合。关于研究性作业时常以反思小文章的形式呈现，其优点有三：一是属于学生的自选动作，真正做到个性化展示，当学生想对课堂或者问题有话可說时，这就形成合乎时宜的教育；二是个体感受是依据自身的体验思考，不会越级拔高，这便遵循了教育的循序渐进；三是反思小文章的评选交流展示，利于学生互相观摩学习他人长处，这就在切磋交流中达成课程标准中合作探究的目标要求，久而久之，这种精心互动的交流“让学”，一定会促使学生更加主动积极地投入学习。
综上，复习不能只停留在知识表层，需要注重知识迁移，更需要培育学生创新应用。
设计案例中不断变换数学知识发生的外部和内部环境，以角平分线贯穿整个初中学段重要的轴对称图形，重组教材、整合兼并分散的知识、整体学习关联性内容，在问题解决中体现数学思想方法，为创新复习课的设计提供借鉴。
（作者单位：江苏省扬州市江都区浦头中学）
2018年3月，扬州市江都区教研室承办江苏省中小学教研室网络教研平台——“教学新时空”“名师课堂”初中数学的第53次研讨活动，研讨主题为“创新复习设计”。本文结合笔者参与本次研讨磨课及现场讨论的感受，以张跃老师执教的“角平分线”复习课为例，谈谈如何将零散内容梳理整合建构，通过设计创新，学生经历理解知识的过程，提升能力，发展和深化方法，整体学，关联学，从学会走向会学。
二、“角平分线”复习课设计案例
教学目标：
1.学生在基本图形的观察中回顾对角平分线的认识，经历探究活动，迁移运用性质，形成能力；
2.经历不同阶段整体认识角平分线的过程，培养提出问题、分析解决问题的能力；
3.在思维训练中增强问题意识，形成综合利用知识解决问题的能力。
教学重点：培养利用角平分线知识解决问题的能力及问题意识；
教学难点：增强知识间的整体应用意识，提高思维深度。
教学过程：
活动一、梳理知识
操作：如图1，将直角三角形纸片ABC沿着过点A的直线折叠，使得点C落在AB边上的点D处，请画出折痕AE。
观察图2，问1：你有哪些结论？
预设：①直角三角形的两个锐角互余，∠BAC+∠ABC=90°；②勾股定理：AC2+BC2=AB2；③AE是∠CAB的平分线；④△ACE≌△ADE；⑤△BDE∽△BCA。
问2：图中的CE与DE相等吗？请说明理由。
问3：若AC=3，BC=4。你能提出哪些问题？
预设：①求CE的长度；②求BE的长度；③求AE的长度。
方法1：勾股定理法，设CE=DE=x，则BE=4-x。在Rt△BDE中，x2+22=（4-x）2，解得：x=1.5。
方法2：面积法，S△ACE+S△ABE=S△ABC。
方法3：相似法，证△BDE∽△BCA。
方法4：三角函数法，tanB=[ACBC=DEDB]。
问4：如果将纸片沿着过点B的直线折叠，使得点C落在AB边上，得到折痕BF。请画出折痕BF。观察图3，你有哪些结论？
预设：①点O到△ABC三边的距离相等；②点O在∠ACB的平分线上；③∠AOB=135°；④点O是△ABC的内心；⑤过点O引AC、BC垂线，垂足为M、N，四边形OMCN是正方形。
活动二、深化探究
1.角平分线+角平分线。
（1）如图4，点D是△ABC内角∠ABC、∠ACB的平分线的交点，你有什么结论？
（2）如图5，点Q是△ABC外角∠MAC、∠NCA的平分线的交点，你有什么结论？
（3）如图6，点P是△ABC内角∠ABC、外角∠NCA的平分线的交点，你有什么结论？
变式：如果隐去图中的圆，如图10，其他条件不变。结论还成立吗？
方法1：作垂直，过点C作CM⊥AB，CN⊥AD，垂足分别为M、N。
方法2：割，在AD边上截取AE=AB，连接CE。
方法3：补，在AB的延长线上截取AF=AD，连接CF。
小结：异中寻同，3种解法都围绕角平分线的轴对称本质特征构造转化。
活动三、自主反思
1.交流：关于角平分线，你还有什么疑惑？还有怎样的思考？
2.知识结构树（知识、学法）。
活动四、探究作业
数学复习需要在一步一步向上攀登中梳理知识、建构学法，结合本节课完成探究性作业——《与角平分线相遇的……》反思小文章。
三、教学立意的进一步阐释
上面展示了学完“对称图形——圆”之后的初三一轮复习——以角平分线为主线串联的一节复习课，以下再从整体上就该设计的教学立意给出进一步的阐释。
1.开放简单，预设充分。
本节课初始阶段没有安排操作，教师没有刻意提出尺规作角平分线，因为折叠伴随角平分线的场景是学生经歷过的，这是简单的重复，是基于初三学生认知水平和能力的考虑。课伊始阶段，从学生熟悉的折叠场景入手，通过直观想象，设计开放的问题，启发学生：你有什么结论？结论指向一定是熟悉的，所以简单的开放利于唤起学生回忆，带入熟悉的情境场思考，马上就有学生基于特殊的直角三角形陈述各种结论，在打开的思维质态中教师顺势抛出问题：若AC=3，BC=4，你能提出哪些问题？再次通过开放结论，自主编题，把角平分线性质与判定继续在问题情境中应用。变换设问方式，让学生自己提问题，提有价值的问题，在浓浓的自创问题情境中串联所学知识，汇点成线。在提出有价值问题的竞争中，教师临场决策，依据学情，选用预设充分的备案，引领学生精彩生成。设问内容和方式的简单开放，促进学生自主梳理、建构，形成知识网络，完善知识应用体系，有效拓宽复习中主体参与的广度和深度。
事实上，角平分线知识比较简单，当它相遇系列图形，就会产生模型，碰撞出美丽。上述设计的深入探究部分以角平分线相遇角平分线、角平分线相遇圆为主线，结合课本原题设计问题，引导学生解密。设计的结尾阶段持续激发学生探究角平分线的兴趣，通过反思小文章的研究性作业，让复习在一步一步向上攀登中梳理知识、建构学法。充满挑战，激发学生将有限的课内探究延伸至课外，可以想象，在角平分线与坐标系，角平分线与平行线，等腰携手角平分线等舞台上，孩子们会演绎无限精彩。复习课堂提供给学生学懂学会的平台，在充满浓浓的“新授味道”中引领学生体会、感悟，从中省悟会学之道。
2.重组变式，感悟本源。
复习需要重新组合、调整课本，在温故知新中创造新的课堂教学资源，提供给学生讨论、研究，再认识，在打牢数学基础的同时，培养学生灵活的应变能力。比如对特殊的直角三角形中增加线段长度，你能提出什么问题？着力于培养学生捕捉问题，自主提出问题，交流勾股定理解法、相似法、面积法、三角函数法等不同求解线段的方法，在解法相异处思考内在联系，感悟几何问题代数解的通法，方程思想架构图形间数量联系的通式得以体现。 选取“角平分线+角平分线”组合，依旧是学生熟悉的情景。组合“辨识图5、图6中不同的角平分线相交”，设计“你有什么共同的发现”这一问题，为站在圆的高度理解旧情境中的结论赋予新解法，推陈出新。把角平分线这个小的知识点，随认知水平的发展放置在不同的问题情境中，与其他图形综合，小题大做，小题深做，让学生感受小题不小。陈题新做，重构旧知识的新视野，新路径，从中获得“‘圆’来就简单”的惊叹，获得新体验，增长新经验，生长新“学力”，感受数学的魅力，揭示数学知识之间的联系和本质。
“角平分线+圆”的探究，回归教材，低起点、慢爬坡，通过变式，削减条件，隐去圆的情境，探究层层深入。双垂直构造解法，是植根于角平分线性质理解的自然解法。一割一补，是对角平分线对称理解的升华，异中寻同。三种解法都围绕角平分线的轴对称本质特征构造转化，共性特征的归纳是思维的深化。
3.反思作业，“让学”促学。
复习教学设计的拓展与延伸作业要根据学生的具体情况，不一味地加深难度，不一味地追求新颖解法与技巧，应该引导学生在本质处精思、深挖，设置体现个体独特的学习见解或解题过程中的情感、心态变化的“反思性”作业，如本节课布置的作业是课后完成关于“角平分线与其他图形的相遇还有什么样的思考”，是一个开放性的作业。
这类当下流行的反思性作业恰好与荷兰数学教育家弗赖登塔尔倡导的“反思是重要的教学活动，它是数学的核心和动力”不谋而合。关于研究性作业时常以反思小文章的形式呈现，其优点有三：一是属于学生的自选动作，真正做到个性化展示，当学生想对课堂或者问题有话可說时，这就形成合乎时宜的教育；二是个体感受是依据自身的体验思考，不会越级拔高，这便遵循了教育的循序渐进；三是反思小文章的评选交流展示，利于学生互相观摩学习他人长处，这就在切磋交流中达成课程标准中合作探究的目标要求，久而久之，这种精心互动的交流“让学”，一定会促使学生更加主动积极地投入学习。
综上，复习不能只停留在知识表层，需要注重知识迁移，更需要培育学生创新应用。
设计案例中不断变换数学知识发生的外部和内部环境，以角平分线贯穿整个初中学段重要的轴对称图形，重组教材、整合兼并分散的知识、整体学习关联性内容，在问题解决中体现数学思想方法，为创新复习课的设计提供借鉴。
（作者单位：江苏省扬州市江都区浦头中学）