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一、现象
“可能性”是人教版数学五年级上册的教学内容。在教学这节课时，很多教师都会做抛硬币实验，让学生体验事物发展的可能性及说明概率的大小。在教学中，我们经常会见到如下的教学过程：学生分小组抛硬币，以同桌的两个人为一组，一个抛，一个记录，当抛了10次后，各小组汇总，统计全班的实验结果，得到结论：每抛一次硬币，正面和反面都有可能出现。从每一个小组统计的结果来看，正面和反面的次数相差可能会比较大，也可能比较相近，感觉没有规律，如果把全班的统计结果相加，则正、反面出现的次数就比较接近。教师再出示历史上一些数学家所做的抛硬币实验的有关材料（如表1），强调当抛硬币的次数越多时，正、反面各出现的概率会越接近[12]，也就是50%。
二、反思
在这个教学过程中，笔者觉得有如下几个方面值得商榷。
1.学生的操作不够规范
要体现硬币正、反面出现的随机性，那就要求用统一的硬币，在抛起的过程中，能够翻滚较多的次数，这样，硬币落在桌面上出现正、反面就会更具有随机性。但在实验过程中，有些教师没有规范抛硬币的动作，学生抛硬币的动作就会五花八门，有的学生只是把硬币拎到大概30 cm的高度就松手，让硬币自由地落下，没有向上抛的动作。这样，硬币在有限的时间和空间内，没有翻滚或只翻滚一两次就落在桌面上，就不能体现随机性。
2.学生对可能性的体验不深
学生只是在教师的要求下进行抛硬币的实验，做完实验后，也只是汇报数据，没有对实验的过程和结果进行反思，也没有对数据进行分析，这样就只是纯粹为做实验而做实验。这个过程就好像蜻蜓点水，太快、太浅，一滑而过，没有触及数学的本质。表面看起来学生都在进行抛硬币操作实验，很热闹，学生也都参与进来了，但在这种热闹的背后却是数学味不足，没有蕴含数学思考。
3.对硬币正、反面出现的概率理解有偏差
当抛的次数越多，硬币正、反面出现的概率就越接近50%吗？这样的表述是否正确？把历史上一些数学家做的硬币实验拿出来比较，是否具有可比性？
对于硬币正、反面出现的概率，我们都知道，各是50%，于是就想通过实验来证明。实际上，这个概率是不需要证明的，而且是证明不了的。比如在做1万次实验时，恰巧得到硬币正、反面各是5 000次，就能说得到这个结论了吗？不一定，因为如果在这基础上再做一次，又不是50%了。所以，从某种程度来说，这是一个不可能经过实验能证明得到的结论。既然得不到结论，为什么还要去做这个抛硬币的实验呢？
我们做这个实验，不是要刻意地追求概率是50%的结果，而是要体验50%的大概存在，体验这个实验的过程。因为这个概率50%是由这个实验的本质所决定的：只要把同一枚硬币从同一个高度抛，在空中有足够多的翻滚次数，这个实验本身就决定了硬币正、反面出现的概率是50%。而我们做实验时，记录的只是硬币正、反面出现的频率，这个频率是可以经过实验统计而得到的，这个频率只是这个概率50%的外在表现形式，这个频率也只是表现这个实验的本质。所以，我们做实验统计的只是频率，通过这个统计到的频率去推测概率，感知概率，而不是去证明它。
对于硬币正、反面出现的概率问题，还应该这样理解：这个实验的本身就决定了50%的概率，如图1中的那条表示[12]的横线，而我们做抛硬币出现的正、反面的概率，就是围绕这条[12]的横线上下波动的一条毫无规律的曲线，这条曲线在局部看时，可能会波动比较大，但做的实验次数更多时，从整体看，这条曲线就会钝化，波动也就没有那么剧烈了，就会更接近于50%了。图2的这条股票K线，当交易日较少时，看起来波动的范围比较大，而当交易日比较多时，此时就要看股票月K线，就感觉波动不大了，所以我们在总结实验结论时，不能说成是当抛硬币的次数越多，概率就越接近50%，因为如果这样表述，画出的图像就应该是图3这样，这是不符合这个实验的本意的。
另外，在累加學生的实验次数之后，再与历史上的数学家所做的实验进行对比，这样做科学吗？科学家也是在做抛硬币实验，但他们用的硬币与我们所用的硬币是一样的吗？我们之所以用硬币来做抛投实验，就是因为取材方便，场地要求也不高。但我们都知道，硬币只是近似的矮圆柱体，但每个国家硬币的底面直径和高度都不同，在硬币上雕刻的花纹也不同，不同硬币的重心会稍微有些不同，这样做出来的实验结果当然不同。所以，在抛不同硬币时，有些硬币正面出现的概率可能会比50%稍微多一些，而有些硬币正面出现的概率就会比50%少些。从理论上来说，抛不同的硬币，就属于不同的实验，是不具有可比性的。
三、实验的再处理
为了让学生更好地体验这个实验的本质，我们可以重新处理这个实验过程。
全班用统一的硬币。我国现行常用的硬币有1元和5角两种，其中5角硬币偏轻、偏小，相比较，全班统一用1元硬币较为合适。
先猜测实验的结果。根据生活经验，学生能猜到硬币正、反面出现的概率是相等的。
让学生自己设计抛硬币实验的方案。有了猜测，就必须用实验来验证。如何做这个实验呢？教师可以让学生自己设计和讨论。学生在讨论中，就会出现各种抛硬币的方法，通过比较和辨析，明确要求把硬币举到统一高度（例如40 cm），再往上抛，让硬币有充分多的翻滚次数，这样才能体现这个实验的随机性;学生也会认识到，做一次实验不具有代表性，做的次数越多就越具有统计意义，但要在课堂上做比较多的次数，时间又有限，于是，学生分组做10次实验后，各组再把结果累加。学生在讨论实验方案过程中，就已经初步感知这个实验的目的就是要突出随机性，也知道要证明猜测的正确性，实验方法必须正确，而且要有大量的实验数据来验证，这也培养了学生理性的科学精神，学生体会到正确的实验方法的重要性，为今后的学习和研究渗透了良好的科学研究精神和态度。
为了让学生更好地体会随机性，教师可以利用表2。从表中可以看出，在每次抛硬币之前，教师都要求学生猜测结果，再与每次的实验结果进行对比。增加这个猜测环节，可以让学生充分感受到这个实验的结果是很难猜测到的，是不受人为控制的，是无序的，从而更深刻地体会硬币正、反面出现的随机性，从而更好地感受可能性的本质。
这个实验，不需要教师把结论告诉学生，而是要让学生在自己实验的基础上发现规律和总结规律，让学生自己把实验过程中的感受说出来，这才是这个实验最需要得到的东西。
教师还可以让学生在课后做同时抛两枚硬币的实验，记录实验结果。让学生思考：各会出现什么情况？每种情况出现的频率大概是多少？让学生在实验中发现规律、总结规律，学生也会很热衷于做这样有趣的实验。
从以上可以看出，学生在这个抛硬币的实验过程中，不应只是一个按教师指令进行抛硬币的操作者，也不是一个被告知结果的接受者，而应该是一个具有充分自主学习能动性的实验者和探究者。丰富的实验内容可以让学生在实验过程中有更充分的探究和体验。经过这样的实验过程，学生对于随机性、可能性的感受将会更加深刻，也更能理解概率的概念，同时还能培养严谨的科学研究精神，提升数学综合素养。
（作者单位：江西省南昌市铁路第一小学 江西师范大学数学与统计科学学院）
投稿邮箱：405956706@qq.com
“可能性”是人教版数学五年级上册的教学内容。在教学这节课时，很多教师都会做抛硬币实验，让学生体验事物发展的可能性及说明概率的大小。在教学中，我们经常会见到如下的教学过程：学生分小组抛硬币，以同桌的两个人为一组，一个抛，一个记录，当抛了10次后，各小组汇总，统计全班的实验结果，得到结论：每抛一次硬币，正面和反面都有可能出现。从每一个小组统计的结果来看，正面和反面的次数相差可能会比较大，也可能比较相近，感觉没有规律，如果把全班的统计结果相加，则正、反面出现的次数就比较接近。教师再出示历史上一些数学家所做的抛硬币实验的有关材料（如表1），强调当抛硬币的次数越多时，正、反面各出现的概率会越接近[12]，也就是50%。
二、反思
在这个教学过程中，笔者觉得有如下几个方面值得商榷。
1.学生的操作不够规范
要体现硬币正、反面出现的随机性，那就要求用统一的硬币，在抛起的过程中，能够翻滚较多的次数，这样，硬币落在桌面上出现正、反面就会更具有随机性。但在实验过程中，有些教师没有规范抛硬币的动作，学生抛硬币的动作就会五花八门，有的学生只是把硬币拎到大概30 cm的高度就松手，让硬币自由地落下，没有向上抛的动作。这样，硬币在有限的时间和空间内，没有翻滚或只翻滚一两次就落在桌面上，就不能体现随机性。
2.学生对可能性的体验不深
学生只是在教师的要求下进行抛硬币的实验，做完实验后，也只是汇报数据，没有对实验的过程和结果进行反思，也没有对数据进行分析，这样就只是纯粹为做实验而做实验。这个过程就好像蜻蜓点水，太快、太浅，一滑而过，没有触及数学的本质。表面看起来学生都在进行抛硬币操作实验，很热闹，学生也都参与进来了，但在这种热闹的背后却是数学味不足，没有蕴含数学思考。
3.对硬币正、反面出现的概率理解有偏差
当抛的次数越多，硬币正、反面出现的概率就越接近50%吗？这样的表述是否正确？把历史上一些数学家做的硬币实验拿出来比较，是否具有可比性？
对于硬币正、反面出现的概率，我们都知道，各是50%，于是就想通过实验来证明。实际上，这个概率是不需要证明的，而且是证明不了的。比如在做1万次实验时，恰巧得到硬币正、反面各是5 000次，就能说得到这个结论了吗？不一定，因为如果在这基础上再做一次，又不是50%了。所以，从某种程度来说，这是一个不可能经过实验能证明得到的结论。既然得不到结论，为什么还要去做这个抛硬币的实验呢？
我们做这个实验，不是要刻意地追求概率是50%的结果，而是要体验50%的大概存在，体验这个实验的过程。因为这个概率50%是由这个实验的本质所决定的：只要把同一枚硬币从同一个高度抛，在空中有足够多的翻滚次数，这个实验本身就决定了硬币正、反面出现的概率是50%。而我们做实验时，记录的只是硬币正、反面出现的频率，这个频率是可以经过实验统计而得到的，这个频率只是这个概率50%的外在表现形式，这个频率也只是表现这个实验的本质。所以，我们做实验统计的只是频率，通过这个统计到的频率去推测概率，感知概率，而不是去证明它。
对于硬币正、反面出现的概率问题，还应该这样理解：这个实验的本身就决定了50%的概率，如图1中的那条表示[12]的横线，而我们做抛硬币出现的正、反面的概率，就是围绕这条[12]的横线上下波动的一条毫无规律的曲线，这条曲线在局部看时，可能会波动比较大，但做的实验次数更多时，从整体看，这条曲线就会钝化，波动也就没有那么剧烈了，就会更接近于50%了。图2的这条股票K线，当交易日较少时，看起来波动的范围比较大，而当交易日比较多时，此时就要看股票月K线，就感觉波动不大了，所以我们在总结实验结论时，不能说成是当抛硬币的次数越多，概率就越接近50%，因为如果这样表述，画出的图像就应该是图3这样，这是不符合这个实验的本意的。
另外，在累加學生的实验次数之后，再与历史上的数学家所做的实验进行对比，这样做科学吗？科学家也是在做抛硬币实验，但他们用的硬币与我们所用的硬币是一样的吗？我们之所以用硬币来做抛投实验，就是因为取材方便，场地要求也不高。但我们都知道，硬币只是近似的矮圆柱体，但每个国家硬币的底面直径和高度都不同，在硬币上雕刻的花纹也不同，不同硬币的重心会稍微有些不同，这样做出来的实验结果当然不同。所以，在抛不同硬币时，有些硬币正面出现的概率可能会比50%稍微多一些，而有些硬币正面出现的概率就会比50%少些。从理论上来说，抛不同的硬币，就属于不同的实验，是不具有可比性的。
三、实验的再处理
为了让学生更好地体验这个实验的本质，我们可以重新处理这个实验过程。
全班用统一的硬币。我国现行常用的硬币有1元和5角两种，其中5角硬币偏轻、偏小，相比较，全班统一用1元硬币较为合适。
先猜测实验的结果。根据生活经验，学生能猜到硬币正、反面出现的概率是相等的。
让学生自己设计抛硬币实验的方案。有了猜测，就必须用实验来验证。如何做这个实验呢？教师可以让学生自己设计和讨论。学生在讨论中，就会出现各种抛硬币的方法，通过比较和辨析，明确要求把硬币举到统一高度（例如40 cm），再往上抛，让硬币有充分多的翻滚次数，这样才能体现这个实验的随机性;学生也会认识到，做一次实验不具有代表性，做的次数越多就越具有统计意义，但要在课堂上做比较多的次数，时间又有限，于是，学生分组做10次实验后，各组再把结果累加。学生在讨论实验方案过程中，就已经初步感知这个实验的目的就是要突出随机性，也知道要证明猜测的正确性，实验方法必须正确，而且要有大量的实验数据来验证，这也培养了学生理性的科学精神，学生体会到正确的实验方法的重要性，为今后的学习和研究渗透了良好的科学研究精神和态度。
为了让学生更好地体会随机性，教师可以利用表2。从表中可以看出，在每次抛硬币之前，教师都要求学生猜测结果，再与每次的实验结果进行对比。增加这个猜测环节，可以让学生充分感受到这个实验的结果是很难猜测到的，是不受人为控制的，是无序的，从而更深刻地体会硬币正、反面出现的随机性，从而更好地感受可能性的本质。
这个实验，不需要教师把结论告诉学生，而是要让学生在自己实验的基础上发现规律和总结规律，让学生自己把实验过程中的感受说出来，这才是这个实验最需要得到的东西。
教师还可以让学生在课后做同时抛两枚硬币的实验，记录实验结果。让学生思考：各会出现什么情况？每种情况出现的频率大概是多少？让学生在实验中发现规律、总结规律，学生也会很热衷于做这样有趣的实验。
从以上可以看出，学生在这个抛硬币的实验过程中，不应只是一个按教师指令进行抛硬币的操作者，也不是一个被告知结果的接受者，而应该是一个具有充分自主学习能动性的实验者和探究者。丰富的实验内容可以让学生在实验过程中有更充分的探究和体验。经过这样的实验过程，学生对于随机性、可能性的感受将会更加深刻，也更能理解概率的概念，同时还能培养严谨的科学研究精神，提升数学综合素养。
（作者单位：江西省南昌市铁路第一小学 江西师范大学数学与统计科学学院）
投稿邮箱：405956706@qq.com