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摘要：函数与方程两部分内容的知识结构是一致的：数学建模与数学对象性質的研究，从外部世界到数学内部世界，再到外部世界，体现数学的来源与目的。从教学的角度看，既可以从一元二次方程讲到二次函数，也可以从二次函数讲到一元二次方程。由此，还可以串联很多相关知识，从而理解教材思路，感悟数学思想。得到的教学启示是：精致练习是必要的，但不一定是充分的;思想、方法和观点要化成有层次的引导性问题，让学生在训练中更好地掌握。
关键词：教育数学二次函数一元二次方程数学建模知识结构
函数与方程是数学的两大主题，也是中学数学的重点和难点内容。两者的知识结构是一致的：数学建模与数学对象性质的研究，从外部世界到数学内部世界，再到外部世界，体现数学的来源与目的。从教学的角度看，既可以从一元二次方程讲到二次函数，也可以从二次函数讲到一元二次方程。这是两种互补的角度。由此，还可以串联很多相关知识，从而理解教材思路，感悟数学思想。
一、数学建模
数学建模搭建了数学与外部世界的联系，也是数学产生的动力。一元二次方程和二次函数都是数学建模的产物。这两部分内容都是落实数学建模核心素养的重要载体。具体的解方程、研究函数性质则是数学建模过程中的副产品。
人教版初中数学教材中，这两部分内容的知识结构图分别如图1、图2所示。从中可以看出，两者的学习流程是一样的：发现和提出问题—建立和求解模型—检验和完善模型—分析和解决问题。这其实是科学研究的基本流程：开创性的问题—解决问题的模型或方法—有意义的结论。
函数考察的是两个量之间的动态依存关系，是在一个范围内考虑问题，更多地关注最值、优化等问题;方程是联系未和和已知的桥梁，是在一个点处“执果索因”。这是函数建模求解与方程建模求解的一点区别。方程建模问题往往可以用函数建模来处理。
教材对一元一次函数、一元一次方程、反比例函数、分式方程、三角函数等内容的编写都渗透了数学建模的思想。这样的编排，使学生看到了数学知识与外部世界的关系，认识到数学模型在科学、社会、工程、技术等方面的诸多使用。因此，在数学教学中渗透STEM教育，即科学（Science）、技术（Technology）、工程（Engineering）、数学（Mathematics）综合教育，是完全有可能的。
二、数学对象性质的研究
对数学对象性质的研究，是在数学内部的研究，已有一套成熟的路子：首先从最基本的对象出发，然后对最基本的对象在几何上进行拓展，最后走向一般代数形式。
（一）确定基本对象
对于二次函数而言，最基本的对象是y=x2。这个基本的对象已经孕育了一般二次函数的全部特征：定义域、值域、对应关系、单调性、最值、对称性等。通过一个相似变换，y=x2就变成了y=ax2（a≠0）。教材就是从这里起步进行研究的。
研究y=ax2的特定状态y0=ax2，就变成了研究方程，即已知结果状态y0，要求原因所在。从函数图像上讲，就是已知函数y=y0与y=ax2有交点，要求交点在横坐标轴上的投影。教材就是从x2=p开始研究一元二次方程的。因此，教师往往强调要把系数进行单位化处理。
（二）对基本对象进行几何变换
对基本的对象y=ax2进行上（下）、左（右）平移，得到y=a（x-h）2+k。按照同样的程序，研究此函数的性质。
研究y=a（x-h）2+k的特定状态y0=a（x-h）2+k，其实就是用配方法解一元二次方程。
（三）走向一般代数形式
把“几何形式”y=a（x-h）2+k化成一般代数形式，得到y=ax2+bx+c。这种形式强调符号语言的一般性：无论多少个常数项，都可以用一个字母来表示。对于一般形式的二次函数，也要按照同样的程序，研究它的性质。
研究y=ax2+bx+c的特定状态y0=ax2+bx+c，其实就是研究一般的一元二次方程的求解。若从函数的角度看一元二次方程，确立二次函数和一元二次方程的对应关系，则方程求解过程的内在逻辑就看得很清楚了：本来是为了求解一般的一元二次方程，为何要从最简单的一元二次方程谈起？为何要用配方法？化归思想方法的内在逻辑理据也已经非常明白了，就是从上面一步一步的拓展中来的。
值得一提的是，这种方法还可以延伸到从一次函数到一元一次方程的学习中，如表1所示。
形式一次函数一元一次方程变换基本型y=xy0=xy=axy0=ax相似变换平移型y=a（x-h）+ky0=a（x-h）+k平移变换一般式y=kx+by0=kx+b（四）二次函数几何模型与零积一元二次方程
二次函数最直观的几何模型是正方形的面积，正方形压缩（拉伸）后可以变成矩形。矩形面积模型y=x（x-p）和y=（x-x1）（x-x2），蕴含着二次函数的交点式。研究它们的特殊状态x（x-p）=0和（x-x1）（x-x2）=0，就是研究零积方程。这在教材中就是用因式分解法解一元二次方程。
研究y=x（x-p）的特定状态y0=x（x-p），可以引出中国古代算学家的“开带从平方法”。而由交点式y=a（x-x1）（x-x2）出发，可以得到二次函数的牛顿插值公式：y=y1（x-x2）（x-x3）（x1-x2）（x1-x3）+y2（x-x1）（x-x3）（x2-x1）（x2-x3）+y3（x-x1）（x-x2）（x3-x1）（x3-x2）。这就从纯粹的知识和技巧走向了计算思维之门。其问题是：已知不在同一直线上的三点，确定一个二次函数。即已知f（x1）=y1，f（x2）=y2，f（x3）=y3，试确定此二次函数的表达式。
三、沟通相关知识的内部联系
人教版教材现在对函数内容的编排是：正比例函数—一次函数—二次函数—反比例函数—三角函数。而以前的编排是：正比例函数—反比例函数—一次函数—二次函数—三角函数。这里，如何认识反比例函数在编排体系中的变化？ 对同一物理规律，采用不同的变量控制法，其数学表现形式，可以是正比例函数，也可以是反比例函数。比如路程、时间和速度的关系，压力、面积和压强的关系，电压、电流和电阻的关系，功、时间和功率的关系。从物理学的角度看，正比例函数和反比例函数是同一物理规律的不同表现形式，其关系更密切。因此，可以把正比例函数和反比例函数安排在一起——其实，小学教材就是同时讲正比例关系和反比例关系的。
但是，从数学的角度看，一次函数是直线，二次函数是抛物线;反比例函数是双曲线，相对于直线和抛物线而言，不常见一些。把常见的安排在前面，把不常见的安排在后面，也合乎学生的认知心理。
此外，从数学知识内部把一元二次方程ax2+bx+c=0的两根看成两个函数图像交点的横坐标，变形就有ax+b=-cx，这样左边是直线，右边就是双曲线。即从函数的角度看一元二次方程，可以得到反比例函数，这样能使反比例函数很容易进入教学。而且，再变一下形，还有ax+cx=-b，就得到了我们熟悉的“双勾函数”。
事实上，教材从小学阶段起就在渗透函数思想以及函数和方程的转化。比如，在圆的周长公式中渗透的是正比例函数，在矩形的面积公式中渗透的是二元函数，在梯形的面积公式中渗透的是三元函数，在圆的面积公式中渗透的是二次函數。而方程本质上是函数的逆运算：寻求使函数值符合一定要求的自变量就是解方程。函数思想和方程方法是一个事物的两面，贯穿于数学的所有领域。
四、教学启示
作为完整的数学教学，既要注重数学与外部世界的联系，也要注重数学内部之间的关联。在现实背景下，数学教学更多地在关注数学内部之间的关联，较少关注数学与外部世界的联系。但是，即使是关注数学内部之间的关联，数学教学也需要从理论上提高认识。
（一）精致练习是必要的，但不一定是充分的
根据理性思维的调控特征理论（Adaptive Character of ThoughtRational），知识、技能都需要通过艰苦的学习而获得和巩固。精致练习、变式学习是熟能生巧、走向理解、走向迁移的必要条件之一。这一点在现实的课堂教学中，已经运用得相当娴熟了，学生往往经历了大量的训练，也取得了一定的效果。但是，若执着于此，只会把学生引向茫茫题海。人工智能机器是“举十反一”，通过训练集逐步习得模式，但是学生不是机器，不能过量采取这种“举十反一”的做法，还需要能够对已学习的内容做多角度的解读。教育数学在这方面的工作是开创性的，强调前后知识之间的“一线串”，强调知识的“前瞻”与“后顾”，让学生越学越简单。
（二）思想、方法和观点要化成有层次的引导性问题，让学生在训练中更好地掌握
教材内容往往蕴含着一些原则性的思考方法。这些方法要化为学生的技能，进入学生的头脑，需要一些精心编制的习题，让学生能“举一反三”（人还是比人工智能机器高明的）。好的习题往往凝聚了命题者对课程内容、学生学习基础的理解。这就是现在理论界正在讨论的核心素养如何考的问题。精致练习讲究思维的细密性、一步一个台阶，而有层次的引导性问题则强调思维的全面性与深刻性。这是两种不同层次的训练。经历这两种训练之后，知识或技能才能真正形成“产生式”。
参考文献：
[1] 张景中.感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们[J].人民教育，2017（18）.
[2] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
关键词：教育数学二次函数一元二次方程数学建模知识结构
函数与方程是数学的两大主题，也是中学数学的重点和难点内容。两者的知识结构是一致的：数学建模与数学对象性质的研究，从外部世界到数学内部世界，再到外部世界，体现数学的来源与目的。从教学的角度看，既可以从一元二次方程讲到二次函数，也可以从二次函数讲到一元二次方程。这是两种互补的角度。由此，还可以串联很多相关知识，从而理解教材思路，感悟数学思想。
一、数学建模
数学建模搭建了数学与外部世界的联系，也是数学产生的动力。一元二次方程和二次函数都是数学建模的产物。这两部分内容都是落实数学建模核心素养的重要载体。具体的解方程、研究函数性质则是数学建模过程中的副产品。
人教版初中数学教材中，这两部分内容的知识结构图分别如图1、图2所示。从中可以看出，两者的学习流程是一样的：发现和提出问题—建立和求解模型—检验和完善模型—分析和解决问题。这其实是科学研究的基本流程：开创性的问题—解决问题的模型或方法—有意义的结论。
函数考察的是两个量之间的动态依存关系，是在一个范围内考虑问题，更多地关注最值、优化等问题;方程是联系未和和已知的桥梁，是在一个点处“执果索因”。这是函数建模求解与方程建模求解的一点区别。方程建模问题往往可以用函数建模来处理。
教材对一元一次函数、一元一次方程、反比例函数、分式方程、三角函数等内容的编写都渗透了数学建模的思想。这样的编排，使学生看到了数学知识与外部世界的关系，认识到数学模型在科学、社会、工程、技术等方面的诸多使用。因此，在数学教学中渗透STEM教育，即科学（Science）、技术（Technology）、工程（Engineering）、数学（Mathematics）综合教育，是完全有可能的。
二、数学对象性质的研究
对数学对象性质的研究，是在数学内部的研究，已有一套成熟的路子：首先从最基本的对象出发，然后对最基本的对象在几何上进行拓展，最后走向一般代数形式。
（一）确定基本对象
对于二次函数而言，最基本的对象是y=x2。这个基本的对象已经孕育了一般二次函数的全部特征：定义域、值域、对应关系、单调性、最值、对称性等。通过一个相似变换，y=x2就变成了y=ax2（a≠0）。教材就是从这里起步进行研究的。
研究y=ax2的特定状态y0=ax2，就变成了研究方程，即已知结果状态y0，要求原因所在。从函数图像上讲，就是已知函数y=y0与y=ax2有交点，要求交点在横坐标轴上的投影。教材就是从x2=p开始研究一元二次方程的。因此，教师往往强调要把系数进行单位化处理。
（二）对基本对象进行几何变换
对基本的对象y=ax2进行上（下）、左（右）平移，得到y=a（x-h）2+k。按照同样的程序，研究此函数的性质。
研究y=a（x-h）2+k的特定状态y0=a（x-h）2+k，其实就是用配方法解一元二次方程。
（三）走向一般代数形式
把“几何形式”y=a（x-h）2+k化成一般代数形式，得到y=ax2+bx+c。这种形式强调符号语言的一般性：无论多少个常数项，都可以用一个字母来表示。对于一般形式的二次函数，也要按照同样的程序，研究它的性质。
研究y=ax2+bx+c的特定状态y0=ax2+bx+c，其实就是研究一般的一元二次方程的求解。若从函数的角度看一元二次方程，确立二次函数和一元二次方程的对应关系，则方程求解过程的内在逻辑就看得很清楚了：本来是为了求解一般的一元二次方程，为何要从最简单的一元二次方程谈起？为何要用配方法？化归思想方法的内在逻辑理据也已经非常明白了，就是从上面一步一步的拓展中来的。
值得一提的是，这种方法还可以延伸到从一次函数到一元一次方程的学习中，如表1所示。
形式一次函数一元一次方程变换基本型y=xy0=xy=axy0=ax相似变换平移型y=a（x-h）+ky0=a（x-h）+k平移变换一般式y=kx+by0=kx+b（四）二次函数几何模型与零积一元二次方程
二次函数最直观的几何模型是正方形的面积，正方形压缩（拉伸）后可以变成矩形。矩形面积模型y=x（x-p）和y=（x-x1）（x-x2），蕴含着二次函数的交点式。研究它们的特殊状态x（x-p）=0和（x-x1）（x-x2）=0，就是研究零积方程。这在教材中就是用因式分解法解一元二次方程。
研究y=x（x-p）的特定状态y0=x（x-p），可以引出中国古代算学家的“开带从平方法”。而由交点式y=a（x-x1）（x-x2）出发，可以得到二次函数的牛顿插值公式：y=y1（x-x2）（x-x3）（x1-x2）（x1-x3）+y2（x-x1）（x-x3）（x2-x1）（x2-x3）+y3（x-x1）（x-x2）（x3-x1）（x3-x2）。这就从纯粹的知识和技巧走向了计算思维之门。其问题是：已知不在同一直线上的三点，确定一个二次函数。即已知f（x1）=y1，f（x2）=y2，f（x3）=y3，试确定此二次函数的表达式。
三、沟通相关知识的内部联系
人教版教材现在对函数内容的编排是：正比例函数—一次函数—二次函数—反比例函数—三角函数。而以前的编排是：正比例函数—反比例函数—一次函数—二次函数—三角函数。这里，如何认识反比例函数在编排体系中的变化？ 对同一物理规律，采用不同的变量控制法，其数学表现形式，可以是正比例函数，也可以是反比例函数。比如路程、时间和速度的关系，压力、面积和压强的关系，电压、电流和电阻的关系，功、时间和功率的关系。从物理学的角度看，正比例函数和反比例函数是同一物理规律的不同表现形式，其关系更密切。因此，可以把正比例函数和反比例函数安排在一起——其实，小学教材就是同时讲正比例关系和反比例关系的。
但是，从数学的角度看，一次函数是直线，二次函数是抛物线;反比例函数是双曲线，相对于直线和抛物线而言，不常见一些。把常见的安排在前面，把不常见的安排在后面，也合乎学生的认知心理。
此外，从数学知识内部把一元二次方程ax2+bx+c=0的两根看成两个函数图像交点的横坐标，变形就有ax+b=-cx，这样左边是直线，右边就是双曲线。即从函数的角度看一元二次方程，可以得到反比例函数，这样能使反比例函数很容易进入教学。而且，再变一下形，还有ax+cx=-b，就得到了我们熟悉的“双勾函数”。
事实上，教材从小学阶段起就在渗透函数思想以及函数和方程的转化。比如，在圆的周长公式中渗透的是正比例函数，在矩形的面积公式中渗透的是二元函数，在梯形的面积公式中渗透的是三元函数，在圆的面积公式中渗透的是二次函數。而方程本质上是函数的逆运算：寻求使函数值符合一定要求的自变量就是解方程。函数思想和方程方法是一个事物的两面，贯穿于数学的所有领域。
四、教学启示
作为完整的数学教学，既要注重数学与外部世界的联系，也要注重数学内部之间的关联。在现实背景下，数学教学更多地在关注数学内部之间的关联，较少关注数学与外部世界的联系。但是，即使是关注数学内部之间的关联，数学教学也需要从理论上提高认识。
（一）精致练习是必要的，但不一定是充分的
根据理性思维的调控特征理论（Adaptive Character of ThoughtRational），知识、技能都需要通过艰苦的学习而获得和巩固。精致练习、变式学习是熟能生巧、走向理解、走向迁移的必要条件之一。这一点在现实的课堂教学中，已经运用得相当娴熟了，学生往往经历了大量的训练，也取得了一定的效果。但是，若执着于此，只会把学生引向茫茫题海。人工智能机器是“举十反一”，通过训练集逐步习得模式，但是学生不是机器，不能过量采取这种“举十反一”的做法，还需要能够对已学习的内容做多角度的解读。教育数学在这方面的工作是开创性的，强调前后知识之间的“一线串”，强调知识的“前瞻”与“后顾”，让学生越学越简单。
（二）思想、方法和观点要化成有层次的引导性问题，让学生在训练中更好地掌握
教材内容往往蕴含着一些原则性的思考方法。这些方法要化为学生的技能，进入学生的头脑，需要一些精心编制的习题，让学生能“举一反三”（人还是比人工智能机器高明的）。好的习题往往凝聚了命题者对课程内容、学生学习基础的理解。这就是现在理论界正在讨论的核心素养如何考的问题。精致练习讲究思维的细密性、一步一个台阶，而有层次的引导性问题则强调思维的全面性与深刻性。这是两种不同层次的训练。经历这两种训练之后，知识或技能才能真正形成“产生式”。
参考文献：
[1] 张景中.感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们[J].人民教育，2017（18）.
[2] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.