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两数之间的倍比关系，主要包括：整数倍、小数倍、分数（表示率）、百分数、比等，是小学数学教学的重点也是难点。这类教学要高效，必建模。下边，我以人民教育出版社小学数学三年级《倍的认识》的第一课时为例，谈“倍”的建模教学。
人民教育出版社小学数学三年级《倍的认识》的第一课时是“整数倍”的学习，是学生第一次学习两数之间的倍比关系。今后学习的小数倍、分数（表示率）、百分数、比等内容，都可以看作是本节课的教学内容的扩展。所以，这个课时的建模教学是两数之间的倍比关系建模教学的基础，决定着这个知识网络建构的成败。我将从本节课教学过程中的课堂实施、素材选择、基本模型的表述设计三个方面谈“倍”的建模教学。
合适的学习起点、明确的操作要求、清晰的思维方法、足够的模型表象、科学的比较辨析是建模教学的重要手段，下面，通过三年级《倍的认识》的第一课时“整数倍”的课堂实施谈这些手段的落实方法：
一、用旧模型建立新模型，找准模型建设的起点
孩子们在一年级学习“比多比少”的时候，掌握了比较两数的方法，也建立了“同样多”的模型。此学习方法和模型与倍的认识一脉相承，我们选择从这里起步。
二、教给操作方法，实现全员获得基本活动经验的目标
“同样多”的复习，主要是为帮助学生初步感知标准，并回忆比较的方法。上图显示的环节则是教给学生操作方法，并在教师引领下第一次通过口述，经历模型建设的四步曲：1. 花蝴蝶的数量和黑蝴蝶比；2.花蝴蝶有3只，以花蝴蝶的数量为1份；3.通过圈一圈，知道黑蝴蝶里有“2个3只”；4.黑蝴蝶的只数是花蝴蝶的2倍。
这样的操作、口述设计，让观察、比较方法变成显性，便于学生自查和模仿，更有利于全员积累基本的活动经验。操作是为了发现规律，为避免学生成为“操作工”，我们在一开始通过言传身教、同学榜样的方法让学生以表述为抓手，为将基本活动经验内化思想方法迈出坚实的一步。
其后，花蝴蝶的只数不变，黑蝴蝶的数量叠加至9只、12只，让孩子们通过“自己划一划，圈一圈，想一想”和“同桌互相说一说你的做法和发现”的练习，让学生独立思考、同位互助，再历两次基本模型的构建过程。花蝴蝶和黑蝴蝶数量的3次比较，学生初步感知2、3、4倍的意义。
三、设计一定数量的基础训练，为“倍”的模型积累表象
以上3道练习都是基础练习，我们从具体情境走向了不同的图形，从第一行的图形和第二行的图形相同，走向第一行的图形和第二行的图形不相同，从按几个几分开排列到间距相等的图形分开排列的，旨在丰富感性材料的变化，让学生通过操作、表述，从多侧面、多维度、全方位感知两组数量间的倍数关系，为“倍”的模型的准确构建提供可能。
四、类比辨析，抽象模型
这是基础练习后的的类比辨析环节，其目的是要在具体素材中初步抽象出“倍“的模型。我们从2个2、2个3、2个4，拓展到2个5，2个6，……，从具体的、能数出来的图形到以集合的形式表示的图形，让学生在大概5分钟内经历了小组讨论、师生互动，最后让学生体会：
通过类比辨析，学生从不断变化的素材、数量、形式等感性材料中找到不变的规律，半具体、半抽象模型雏形逐步抽象出来。
五、对比辨析，凸显实质
学生在解决两数之间的倍比关系的问题时，我们经常责怪学生审题不认真，总被纷繁复杂的素材所迷惑而找错标准。但是，错误产生的根源是教学本身。回顾这类课的教学，在“倍”建模之初，我们表征模型时总是给学生大量似是而非的规律。如标准量都摆在第一行，物体的摆放按“几个几”组合、甚至总结出“大数÷小数=倍数”等。基于此，我们在课堂的后半段，基本模型逐渐建立起来的时候，设计三个不同层次练习，通过制造冲突，让学生的思维受到碰撞，使模型经历了一次又一次更深层次打磨，实现去其表面，凸显实质的目标。
本题的设计，在排列和组合上都作出了变化：不再是简单的第二行和第一行比；不再是有几个组合，结果就说一个量是另一个量的几倍。解决问题二时出现了一个珍贵的错例：桃子的个数是梨的（6）倍，因为看到桃子有6堆（6个3），就说桃子的个数是梨的（6）倍。这正凸显了我们前面的教学设计的问题：素材的排列组合一直有着这样的规律，这是一个“伪真理”。
在辨析真伪的过程中，学生重新经历解决倍比问题的四步曲：一是去除无关信息，找到比较的两个量，二是明确以多少为一份，三是观察第二个量有几个这样的一份，四是确定第二个量就是标准量的几倍。在这里，我们重点做两个对比：错例与正解对比，体会：找准“1份数” 很重要，不要轻易受表象所迷惑；问题二与问题一的解决过程做对比，学生体会：问题在变化，但是解决问题的方法不变。这是“倍”的模型的第二次抽象，解决问题的思想方法在比较中逐步凸显。
以上这题练习旨在去除排列组合的限制，帮助学生丢掉“划一划，圈一圈”的拐棍，直接通过观察、比较、思考，经历一次“倍”的模型建设的内部运动。实践证明，经过几轮的冲击，模型建立也牢固起来了，大部分学生掌握了解决问题的基本步骤，在看起来杂乱无章的素材中，按照以上描述的“四部曲”顺利地解决了问题。
上面这组练习已经是应用模型解决问题的训练，“倍”的模型的呈现正尝试突破排列、突破数量、突破形式去呈现求几倍量和标准量的问题，在解决不断变化的问题中使用建立起来的“倍”的模型，使学生进一步熟悉模型，为以后用“不变的模型”去解决“万变的问题”做好准备。
为保证课堂实施的有效性，我们还在素材的选择和思想方法的表述方面进行了再设计。
素材组织方面，我们以《爸爸去哪儿》为主线，以游览蝴蝶谷、图形王国、百果园、糖果乐园来贯穿全课；素材的选择方面：新授部分以红蝴蝶、蓝蝴蝶数量比较为素材，基础练习部分以圆、五角星、三角形、正方形的数量比较为素材，变式练习部分以苹果、梨、桃、香蕉等水果的数量比较为素材，应用部分则以画小棒为素材，放弃了人教版教材中南方孩子不熟悉的素材，旨在避免不必要的干扰，为调动学生学习积极性，提高课堂教学效率、夯实“倍”的模型建设奠定了基础。
模型是抽象的，模型的建设过程是隐性的。学生需要“抓手”，借以在数学活动中获得经验，内化提升；教师需要“抓手”，及时检测建模教学，调整教学策略。我们选择了表述解决问题的思想方法作为“抓手”。表述做到了“三接轨：与操作过程接轨、与学生的话语系统接轨、与小学阶段的倍比关系这个学习系统接轨。我们的表述方式是：（〓）和（〓） 比，以 （〓）的数量为1份，（〓）里有（〓）个（〓），就说（〓） 是（〓）的（〓）倍。比如，“蓝蝴蝶3只，红蝴蝶6只，红蝴蝶是蓝蝴蝶的几倍”，可以说：（红蝴蝶）和（蓝蝴蝶）比，以（蓝蝴蝶）的数量为1份，红蝴蝶里有（2）个（3只），就说红蝴蝶是蓝蝴蝶的（2）倍。这样的表述可以帮助学生找到思维轨迹，使无痕的思想方法变得有迹可循，对帮助学困生尤为重要。
责任编辑〓龙建刚
人民教育出版社小学数学三年级《倍的认识》的第一课时是“整数倍”的学习，是学生第一次学习两数之间的倍比关系。今后学习的小数倍、分数（表示率）、百分数、比等内容，都可以看作是本节课的教学内容的扩展。所以，这个课时的建模教学是两数之间的倍比关系建模教学的基础，决定着这个知识网络建构的成败。我将从本节课教学过程中的课堂实施、素材选择、基本模型的表述设计三个方面谈“倍”的建模教学。
合适的学习起点、明确的操作要求、清晰的思维方法、足够的模型表象、科学的比较辨析是建模教学的重要手段，下面，通过三年级《倍的认识》的第一课时“整数倍”的课堂实施谈这些手段的落实方法：
一、用旧模型建立新模型，找准模型建设的起点
孩子们在一年级学习“比多比少”的时候，掌握了比较两数的方法，也建立了“同样多”的模型。此学习方法和模型与倍的认识一脉相承，我们选择从这里起步。
二、教给操作方法，实现全员获得基本活动经验的目标
“同样多”的复习，主要是为帮助学生初步感知标准，并回忆比较的方法。上图显示的环节则是教给学生操作方法，并在教师引领下第一次通过口述，经历模型建设的四步曲：1. 花蝴蝶的数量和黑蝴蝶比；2.花蝴蝶有3只，以花蝴蝶的数量为1份；3.通过圈一圈，知道黑蝴蝶里有“2个3只”；4.黑蝴蝶的只数是花蝴蝶的2倍。
这样的操作、口述设计，让观察、比较方法变成显性，便于学生自查和模仿，更有利于全员积累基本的活动经验。操作是为了发现规律，为避免学生成为“操作工”，我们在一开始通过言传身教、同学榜样的方法让学生以表述为抓手，为将基本活动经验内化思想方法迈出坚实的一步。
其后，花蝴蝶的只数不变，黑蝴蝶的数量叠加至9只、12只，让孩子们通过“自己划一划，圈一圈，想一想”和“同桌互相说一说你的做法和发现”的练习，让学生独立思考、同位互助，再历两次基本模型的构建过程。花蝴蝶和黑蝴蝶数量的3次比较，学生初步感知2、3、4倍的意义。
三、设计一定数量的基础训练，为“倍”的模型积累表象
以上3道练习都是基础练习，我们从具体情境走向了不同的图形，从第一行的图形和第二行的图形相同，走向第一行的图形和第二行的图形不相同，从按几个几分开排列到间距相等的图形分开排列的，旨在丰富感性材料的变化，让学生通过操作、表述，从多侧面、多维度、全方位感知两组数量间的倍数关系，为“倍”的模型的准确构建提供可能。
四、类比辨析，抽象模型
这是基础练习后的的类比辨析环节，其目的是要在具体素材中初步抽象出“倍“的模型。我们从2个2、2个3、2个4，拓展到2个5，2个6，……，从具体的、能数出来的图形到以集合的形式表示的图形，让学生在大概5分钟内经历了小组讨论、师生互动，最后让学生体会：
通过类比辨析，学生从不断变化的素材、数量、形式等感性材料中找到不变的规律，半具体、半抽象模型雏形逐步抽象出来。
五、对比辨析，凸显实质
学生在解决两数之间的倍比关系的问题时，我们经常责怪学生审题不认真，总被纷繁复杂的素材所迷惑而找错标准。但是，错误产生的根源是教学本身。回顾这类课的教学，在“倍”建模之初，我们表征模型时总是给学生大量似是而非的规律。如标准量都摆在第一行，物体的摆放按“几个几”组合、甚至总结出“大数÷小数=倍数”等。基于此，我们在课堂的后半段，基本模型逐渐建立起来的时候，设计三个不同层次练习，通过制造冲突，让学生的思维受到碰撞，使模型经历了一次又一次更深层次打磨，实现去其表面，凸显实质的目标。
本题的设计，在排列和组合上都作出了变化：不再是简单的第二行和第一行比；不再是有几个组合，结果就说一个量是另一个量的几倍。解决问题二时出现了一个珍贵的错例：桃子的个数是梨的（6）倍，因为看到桃子有6堆（6个3），就说桃子的个数是梨的（6）倍。这正凸显了我们前面的教学设计的问题：素材的排列组合一直有着这样的规律，这是一个“伪真理”。
在辨析真伪的过程中，学生重新经历解决倍比问题的四步曲：一是去除无关信息，找到比较的两个量，二是明确以多少为一份，三是观察第二个量有几个这样的一份，四是确定第二个量就是标准量的几倍。在这里，我们重点做两个对比：错例与正解对比，体会：找准“1份数” 很重要，不要轻易受表象所迷惑；问题二与问题一的解决过程做对比，学生体会：问题在变化，但是解决问题的方法不变。这是“倍”的模型的第二次抽象，解决问题的思想方法在比较中逐步凸显。
以上这题练习旨在去除排列组合的限制，帮助学生丢掉“划一划，圈一圈”的拐棍，直接通过观察、比较、思考，经历一次“倍”的模型建设的内部运动。实践证明，经过几轮的冲击，模型建立也牢固起来了，大部分学生掌握了解决问题的基本步骤，在看起来杂乱无章的素材中，按照以上描述的“四部曲”顺利地解决了问题。
上面这组练习已经是应用模型解决问题的训练，“倍”的模型的呈现正尝试突破排列、突破数量、突破形式去呈现求几倍量和标准量的问题，在解决不断变化的问题中使用建立起来的“倍”的模型，使学生进一步熟悉模型，为以后用“不变的模型”去解决“万变的问题”做好准备。
为保证课堂实施的有效性，我们还在素材的选择和思想方法的表述方面进行了再设计。
素材组织方面，我们以《爸爸去哪儿》为主线，以游览蝴蝶谷、图形王国、百果园、糖果乐园来贯穿全课；素材的选择方面：新授部分以红蝴蝶、蓝蝴蝶数量比较为素材，基础练习部分以圆、五角星、三角形、正方形的数量比较为素材，变式练习部分以苹果、梨、桃、香蕉等水果的数量比较为素材，应用部分则以画小棒为素材，放弃了人教版教材中南方孩子不熟悉的素材，旨在避免不必要的干扰，为调动学生学习积极性，提高课堂教学效率、夯实“倍”的模型建设奠定了基础。
模型是抽象的，模型的建设过程是隐性的。学生需要“抓手”，借以在数学活动中获得经验，内化提升；教师需要“抓手”，及时检测建模教学，调整教学策略。我们选择了表述解决问题的思想方法作为“抓手”。表述做到了“三接轨：与操作过程接轨、与学生的话语系统接轨、与小学阶段的倍比关系这个学习系统接轨。我们的表述方式是：（〓）和（〓） 比，以 （〓）的数量为1份，（〓）里有（〓）个（〓），就说（〓） 是（〓）的（〓）倍。比如，“蓝蝴蝶3只，红蝴蝶6只，红蝴蝶是蓝蝴蝶的几倍”，可以说：（红蝴蝶）和（蓝蝴蝶）比，以（蓝蝴蝶）的数量为1份，红蝴蝶里有（2）个（3只），就说红蝴蝶是蓝蝴蝶的（2）倍。这样的表述可以帮助学生找到思维轨迹，使无痕的思想方法变得有迹可循，对帮助学困生尤为重要。
责任编辑〓龙建刚