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例1 如图1，甲、乙两球分别位于同一圆柱筒内侧同一高度处，甲由静止开始从[AO]光滑斜面上滑下，乙从光滑圆柱筒内侧由静止滑下，如果[R]远大于[BO]弧长，问哪一个球先到达底端？
错解 由于甲、乙两球下滑过程中各自机械能守恒，故甲、乙两球处于同一相同高度处的速度大小相等，即整段过程的平均速率相等[v甲=v乙]，则下滑时间[t甲=Lv甲]，[t乙=Sv乙].
显然[S>L]，则[t甲 形成错误的原因是，认为两物体在任一相同高度处的速度大小相等，就以为整个过程中的平均速率相等.
正解 设甲滑下的斜面倾角为[θ]，如图2，则
由于乙的运动可近似看成是简谐运动中的单摆模型，则
两种解法好像都有道理.
再看下面的例题，可证明上述错解思维的荒谬性.
例2 两光滑斜面的高度都为[h]，两斜面[AB、AD]总长度都为[L]，只是[AD]斜面由[AC、CD]两部分组成，如图3，将甲、乙两个相同的小球从[AB、AD]斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？
错解 由于两小球下滑过程中各自机械能守恒，下滑至同一相同高度处的速度大小相等，故平均速率相等，两物体运动的路程相同，则[t甲=t乙]，即同时到达底端.
正解 采用[v-t]图象求解，作出物体分别沿[AB、AD]斜面运动的[v-t]图象，如图4. 由题意，因为两斜面总长度都为[L]，则两段图象与横轴所夹的面积应相等，故[t甲>t乙]，即乙先到达底端.
反思 上述思维误区的根源在于：物体在变速运动中，整个过程的平均速率值，不一定等于各无数小段相等路程内平均速率的算术平均值. 以直线运动为例：一物体向某一方向做直线运动，总位移为[S]，假设将物体的总位移分成无数个相等的小段位移[Sn]，在相等小段位移内平均速度分别为[V1、V2、V3、…、Vn]，则物体在这整段位移内的平均速度的算术平均值为
而物体在整段位移的平均速度的实际值为
由数学不等式知识
错解 由于甲、乙两球下滑过程中各自机械能守恒，故甲、乙两球处于同一相同高度处的速度大小相等，即整段过程的平均速率相等[v甲=v乙]，则下滑时间[t甲=Lv甲]，[t乙=Sv乙].
显然[S>L]，则[t甲
正解 设甲滑下的斜面倾角为[θ]，如图2，则
由于乙的运动可近似看成是简谐运动中的单摆模型，则
两种解法好像都有道理.
再看下面的例题，可证明上述错解思维的荒谬性.
例2 两光滑斜面的高度都为[h]，两斜面[AB、AD]总长度都为[L]，只是[AD]斜面由[AC、CD]两部分组成，如图3，将甲、乙两个相同的小球从[AB、AD]斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？
错解 由于两小球下滑过程中各自机械能守恒，下滑至同一相同高度处的速度大小相等，故平均速率相等，两物体运动的路程相同，则[t甲=t乙]，即同时到达底端.
正解 采用[v-t]图象求解，作出物体分别沿[AB、AD]斜面运动的[v-t]图象，如图4. 由题意，因为两斜面总长度都为[L]，则两段图象与横轴所夹的面积应相等，故[t甲>t乙]，即乙先到达底端.
反思 上述思维误区的根源在于：物体在变速运动中，整个过程的平均速率值，不一定等于各无数小段相等路程内平均速率的算术平均值. 以直线运动为例：一物体向某一方向做直线运动，总位移为[S]，假设将物体的总位移分成无数个相等的小段位移[Sn]，在相等小段位移内平均速度分别为[V1、V2、V3、…、Vn]，则物体在这整段位移内的平均速度的算术平均值为
而物体在整段位移的平均速度的实际值为
由数学不等式知识