因为：方差的公式是S2=1n[（x1-
　　）2+（x2-）2+…+（xn-
　　）2]，所以由公式得方差有隐藏的两个性质，①任何一组数据的方差是一个非负数，②若一组实数的方差为零，则该组数据均相等，且都等于该组数据的平均数.
　　性质的运用如下.
　　例1已知x+y=8，xy-z2=16，求x+y+z的值.
　　解：因为x+y=8，
　　所以：x和y的平均数为12（x+y）=4.
　　又因为：xy-z2=16，
　　所以：xy=16+z2.
　　则：x和y的方差是S2=12[（x-4）2+（y-4）2]
　　=12[x2+y2-8（x+y）+32]
　　=
　　12[（x+y）2-2xy-8（x+y）+32]
　　=
　　12[64-2（16+z2）-64+32]
　　=-z2.
　　由性质①得：S2是一个非负数
　　所以S2≥0，
　　即：-z2≥0.
　　则：z2≤0，
　　所以：z=0.
　　由性质②得：x=y=4，
　　所以：x+y+z=4+4+0=8.
　　例2已知a+b+c=6， a2+b2+c2=12， 求a+2b+2c的值.
　　解：因为a+b+c=6，
　　所以a，b，c的平均数为a+b+c3=
　　63=2.
　　则a，b，c的方差是S2=
　　13[（a-2）2+（b-2）2+（c-2）2]
　　=13[（a2+b2+c2）-4（a+b+c）+12]
　　=13[12-24+12]
　　=0.
　　由性质②得：a=b=c=2.
　　所以：a+2b+2c=2+2×2+2×2=10.
　　例3（2005年全国初中数学竞赛试题）已知a+b+c=3，a2+b2+c2=3，求a2005+b2005+c2005的值.
　　解：因为a+b+c=3，
　　所以a，b，c的平均数为a+b+c3=33=1.
　　因为a2+b2+c2=3.
　　则a，b，c的S2=
　　13[（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2]
　　=
　　13[（a2+b2+c2）-2（a+b+c）+3]
　　=
　　13[3-2×3+3]
　　=0.
　　由性质②得：a=b=c=1.
　　所以a2005+b2005+c2005=3.
　　例4（加拿大第七届中学生数学竞赛试题）确定x的最大实数，使得实数y，z满足x+y+z=5，xy+yz+xz=3.
　　解：由x+y+z=5得y+z=5-x，
　　由xy+yz+xz=3得yz+x（y+z）=3.
　　所以x2+y2+z2=19， y+z=5-x， y2+z2=19-x2.
　　设y与z的平均数为k， 则 y+z=2k， k=12（y+z）.
　　设y与z的方差为S2=12（ y2+z2-2k2） ≥0.
　　即y2+z2-2k2≥0.
　　因为 y2+z2=19-x2，y+z=5-x， k=12（y+z）.
　　所以19-x2-2×14（y+z）2≥0.
　　19-x2-
　　12（5-x）2≥0.
　　38-2x2-25+10x-x2≥0.
　　3x2-10x-13≤0.
　　解得-1　　133.
　　则x的最大实数值是
　　133.
　　例5（第七届美国中学生数学竞赛试题）已知a，b，c，d，e是满足a+b+c+d+e=8， a2+b2+c2+d2+e2=16的实数，求e的最大值.
　　解：因为a，b，c，d的方差为
　　S2=14（ a2+b2+c2+d2-4k2）≥0.
　　所以a2+b2+c2+d2-4k2≥0
　　a2+b2+c2+d2=16-e2
　　k=a+b+c+d4=8-e4.
　　所以16-e2-（
　　8-e4）2≥0.
　　5e2-16e≤0，
　　解得0≤e≤165.
　　所以e的最大值为165.
　　[贵州省沿河县沙子镇初级中学 （565302）]