利用二次型的有定性，可求多元函数的极值.
　　设ｎ元函数ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）在ｘ０ ＝ （ｘ１０，ｘ２０，…，ｘｎ０）的某邻域中有一阶二阶连续偏导数．
　　矩阵Ｈ（ｘ０） = ｆ１１（ｘ０） ｆ１２（ｘ０） … ｆ１ｎ（ｘ０）ｆ２１（ｘ０） ｆ２２（ｘ０） … ｆ２ｎ（ｘ０）… …… … ｆｎ１（ｘ０） ｆｎ２（ｘ０） … ｆｎｎ（ｘ０），则有如下判别法：
　　（１）当｜Ｈｋ（ｘ０）｜ ＞ ０（ｋ ＝ １，２，…，ｎ）时，则ｆ（ｘ０）为ｆ（ｘ）的极小值．
　　（２）当（－１）ｋ｜Ｈｋ（ｘ０）｜ ＞ ０（ｋ ＝ １，２，…，ｎ）时，则ｆ（ｘ０）为ｆ（ｘ）的极大值.
　　（３）Ｈ（ｘ０）为不定矩阵ｆ（ｘ０）非极值.
　　例１ 求函数ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） ＝ ３ｘ１２ ＋ ６ｘ１ｘ３ ＋ ｘ２２ － ４ｘ２ｘ３ ＋ ８ｘ３２的极值．
　　解 f1 = 6x1 + 6x3 = ０，
　　ｆ２ ＝ ２ｘ２ － ４ｘ３ ＝ ０，
　　ｆ３ ＝ １６ｘ３ ＋ ６ｘ１ － ４ｘ２ ＝ 0.
　　解方程组得驻点ｘ０ ＝ （０，０，０）.
　　f11 = 6，f12 = 0，f13 = 6，
　　f21 = 0，f22 = 2，f23 = -4，
　　f31 = 6，f32 = -4，f33 = 16，
　　函数ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）在点（０，０，０）处的赫斯矩阵为
　　H（x0） = ６０ ６０２ －４６－４ １６.
　　因为｜Ｈ１（ｘ０）｜ ＝ ６ ＞ ０，
　　｜Ｈ２（ｘ０）| =６００２ = 12 > 0，
　　｜Ｈ3（ｘ０）| = ６０ ６０２ －４６－４ １６ ＝ ２４ ＞ ０，
　　故ｆ（０，０，０） = 0为ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）的极小值．
　　例２ ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ ｘ１ ＋ ｘ２ ＋ ｘ３ － e■- e■－ e■.
　　ｆ１ ＝ １ － e■， ｆ２ ＝ １ － e■， ｆ３ ＝ １ － e■.
　　得驻点ｘ０ ＝ （０，０，０）.
　　ｆ11 = -e■，ｆ12 = 0， f13 = 0，
　　f21 = 0， f22 = -e■， f23 = 0，
　　f31 = 0， f32 = 0，f33 = － e■.
　　ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）在（０，０，０）处的赫斯矩阵为
　　Ｈ（ｘ０） = -1 0 0 0 -100 0 1.
　　|H1（x0）| = -1 ＜ ０，|H2（x0）| = 1 ＞ ０，|H3（x0）| = -1 ＜ ０.
　　故H（x0）为负定矩阵．
　　∴ ｆ（０，０，０） = -3为ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）的极大值.
　　
　　【参考文献】
　　［1］同济大学数学教研室.（线性代数）.北京：高等教育出版社，1991（8）.
　　［2］赵树嫄.经济数学基础（线性代数）.北京：中国人民大学出版社，1998（3）.