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阅读理解型问题以内容丰富、构思新颖别致、题样多变为特点.知识的覆盖面较大，它可以是阅读课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础之上，理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质、理解实质的基础上作出回答.这类问题的主要题型有：阅读特殊范例，推出一般结论；阅读解题过程，总结解题思路和方法；阅读新知识，研究新问题等.这类试题要求学生能透彻理解课本中的所学知识内容，善于总结解题规律，并能够准确阐述自己的思想和观点，主要考查学生对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等.因此，在平时的学习和复习中应透彻理解所学内容.搞清楚知识的来龙去脉，不仅要学会数学知识，更要掌握在研究知识的过程中体现出的思想的方法.下面就阅读理解型常见题型举例分析如下：
一、 阅读解题过程，总结解题思路和方法
例1 阅读：解方程组x2－3xy+2y2=0 ①x2+y2=10 ②.
解 （第一步）由①，得?摇（x－y）（x－2y）=0，
∴ x－y=0或x－2y=0.
（第二步）因此，原方程组可化为两个方程组：
x－y=0x2+y2=10； x－2y=0x2+y2=10.
分别解这两个方程组，得原方程组的解为
x1=y1=； x2=-y2=-；
x3=2y3=2； x4=-2y4=-2.
填空：第一步中，运用 法将方程①化为两个二元一次方程，达到了 的目的.由第一步到第二步，将原方程组化为两个由一个二元一次方程和一个一元二次方程组成的方程组，体现了 的数学思想.第二步中，两个方程组都是运用了 法，达到了 目的，从而使方程组得以求解.
分析 本题主要是根据给定的特例阅读理解其中的解题过程，理解方程组解法中体现的数学思想，然后总结解题方法.紧扣教材内容，学生易想、易总结.
略解：从左至右依次填入：因式分解；降次；转化；代入；消元.
点评：解决这类问题，在阅读解题过程中，根据题目中给定的条件，结合解答过程中使用的方法，加以概括归纳，总结解题的思路，从而将研究问题的方法一般化，进行推广应用，达到学以致用.这类问题能考查学生获取信息后的抽象概括能力.
二、 阅读新知识，研究新问题
例2 问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（x+）（x＞0）．
探索研究
（1） 我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+（x＞0）的图象性质．
① 填写下表，画出函数的图象：
② 观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③ 在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y=x+（x＞0）的最小值．
解决问题
（2） 用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
分析 本题构思巧妙，利用类比将所需研究的函数问题通过具体的函数分析研究方法加以推广.在对给定函数分析后再进行类比研究新函数，探索研究问题③的解决利用①、②的方法.
略解：（1） ① ，，，2，，，．
函数y=x+（x>0）的图象如图．
② 本题答案不唯一，下列解法供参考．
当01时，y随x增大而增大；当x=1时函数y=x+（x>0）的最小值为2．
③ y=x+
=（）+（）
=（）+（）－2•+2•
=（－）+2
当－=0，即x=1时，函数y=x+（x>0）的最小值为2．
（2） 当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为4．
点评：这是一道典型的探究性试题，仅靠平时对概念、结论的简单记忆和接受是无论如何也解答不出来的.解决这类问题更重要的是从阅读题目中提供的有关信息开始，通过自主探究和动手实践，归纳或猜想出一般的结论，通过建模，加强知识的灵活运用.这类问题对学生建模能力，决策判断能力的培养起到很大作用.
三、 阅读特殊范例，推出一般结论
例3 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图123中的一种）．
设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1） 在图1中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
（2） 在图2中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（3） 在图3中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
分析 本题要求学生先从特殊题例入手阅读本题，然后在理解上述解法的基础之上解决一般问题.从特殊推广到一般.融合方程与函数的基本知识，学生在阅读理解的基础之上进行方法的归纳与总结，然后再加以应用.
略解：（1）当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC= = 4-x，
∴ x（4-x）=3．解得，x=1或3．
（2） 当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，BC=，矩形框架ABCD的面积S=x•=-x+4x．当x=-=时，S=3．
∴ 当x=时时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米．
（3） 当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC=，矩形框架ABCD的面积S=x•=-x2+x．当x=-=时，S=
∴当x=时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为平方米
点评：这类题特点鲜明,内容丰富,超越常规,源于课本又高于课本,不仅考查学生的阅读能力,而且综合考查学生的信息处理能力、知识迁移能力,对学生的数学意识、数学思维能力和创新意识有较高要求.要求学生在研读所给内容后，创造性地加以应用，可以较好地考查考生的创新意识和创新能力，强化学生的数学应用意识，优化学生的思维品质，提高学生的数学思维能力，培养学生的个性品质具有重要意义.
总之，阅读能力是学习数学的一个十分重要而又容易被忽略的技能，数学新知识的学习离不开阅读.阅读理解这类试题要求学生能透彻理解所给知识内容，从阅读中理解，在理解中提炼.阅读理解题的基本模式是“材料—问题”.解决这类问题时要善于总结解题规律，准确运用自己发现的规律和方法，体现自己对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力和知识的迁移能力等.因此，在复习中更应透彻理解所学内容，搞清楚知识的来龙去脉，不仅要学会数学知识，更要掌握在研究知识的过程中掌握数学思想和方法，这对促进学生的数学思维发展意义深远.
练 习
1. 先阅读理解下列例题，再按要求完成作业.
例题：解一元二次不等式6x2－x－2>0
解：把6x2－x－2分解因式得：6x2－x－2=（3x－2）（2x+1）
又6x2－x－2>0，所以（3x－2）（2x+1）>0,由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有
（1） 3x－2>02x+1>0 或（2） 3x－2<0+2x+1<0
解不等式组（1）得x>,解不等式组得x<－.
所以（3x－2）（2x+1）>0的解集为x>或x<－.
因此一元二次不等式6x2－x－2>0的解集为x>或x<－.
作业题：（1）.求分式不等式<0的解集
（2） 通过阅读例题和做作业题1，你学会了什么知识和方法？
2. 如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线l上，O1O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O在直线 l上平移时，正方形 EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．
（1） 计算：O1D= ，O2F= ；
（2） 当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= .
（3） 随着中心O2在直线l上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）
3. 请阅读下列材料：
问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段AC.如下图（2）所示：
设路线1的长度为l1，则l12=AC2=AB2+AC2=52+（5π）2=25+25π2
路线2：高线AB + 底面直径BC.如上图（1）所示：
设路线2的长度为l2，则l22=（AB+AC）2=（5+10）2=225
∵?摇l12-l22=25+25π-225=25π2-200=25（π2-8）＞0
∴ l12＞l22 ∴ l1＞l2
所以要选择路线2较短.
（1） 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算：
路线1：?摇l12=AC2= ；
路线2：?摇l12=（AB+AC）2= .
∵?摇l12 l22 ∴ l1 l2?摇（ 填>或<）
所以应选择路线 （填1或2）较短.
（2） 请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.
参考答案
1. （1）-5 2. ：（1） OD=2；OF=1．（2） OO=3．（3） 两个正方形的边长有两个公共点时，1＜OO＜3；无数个公共点时，OO=1；1个公共点时，OO=3；无公共点时，OO＞3或0≤OO＜1.
3. （1） 25+π；49；<；<；1.（2）l=h+（πr），l=（h+2r），l- l=r［（π-4）r-4h］
当r=时，l=l；任选一条路线均可.当r＞时，l＞l；选择l.
当r＜时，l＜l，选择l.
一、 阅读解题过程，总结解题思路和方法
例1 阅读：解方程组x2－3xy+2y2=0 ①x2+y2=10 ②.
解 （第一步）由①，得?摇（x－y）（x－2y）=0，
∴ x－y=0或x－2y=0.
（第二步）因此，原方程组可化为两个方程组：
x－y=0x2+y2=10； x－2y=0x2+y2=10.
分别解这两个方程组，得原方程组的解为
x1=y1=； x2=-y2=-；
x3=2y3=2； x4=-2y4=-2.
填空：第一步中，运用 法将方程①化为两个二元一次方程，达到了 的目的.由第一步到第二步，将原方程组化为两个由一个二元一次方程和一个一元二次方程组成的方程组，体现了 的数学思想.第二步中，两个方程组都是运用了 法，达到了 目的，从而使方程组得以求解.
分析 本题主要是根据给定的特例阅读理解其中的解题过程，理解方程组解法中体现的数学思想，然后总结解题方法.紧扣教材内容，学生易想、易总结.
略解：从左至右依次填入：因式分解；降次；转化；代入；消元.
点评：解决这类问题，在阅读解题过程中，根据题目中给定的条件，结合解答过程中使用的方法，加以概括归纳，总结解题的思路，从而将研究问题的方法一般化，进行推广应用，达到学以致用.这类问题能考查学生获取信息后的抽象概括能力.
二、 阅读新知识，研究新问题
例2 问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（x+）（x＞0）．
探索研究
（1） 我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+（x＞0）的图象性质．
① 填写下表，画出函数的图象：
② 观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③ 在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y=x+（x＞0）的最小值．
解决问题
（2） 用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
分析 本题构思巧妙，利用类比将所需研究的函数问题通过具体的函数分析研究方法加以推广.在对给定函数分析后再进行类比研究新函数，探索研究问题③的解决利用①、②的方法.
略解：（1） ① ，，，2，，，．
函数y=x+（x>0）的图象如图．
② 本题答案不唯一，下列解法供参考．
当0
③ y=x+
=（）+（）
=（）+（）－2•+2•
=（－）+2
当－=0，即x=1时，函数y=x+（x>0）的最小值为2．
（2） 当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为4．
点评：这是一道典型的探究性试题，仅靠平时对概念、结论的简单记忆和接受是无论如何也解答不出来的.解决这类问题更重要的是从阅读题目中提供的有关信息开始，通过自主探究和动手实践，归纳或猜想出一般的结论，通过建模，加强知识的灵活运用.这类问题对学生建模能力，决策判断能力的培养起到很大作用.
三、 阅读特殊范例，推出一般结论
例3 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图123中的一种）．
设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1） 在图1中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
（2） 在图2中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（3） 在图3中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
分析 本题要求学生先从特殊题例入手阅读本题，然后在理解上述解法的基础之上解决一般问题.从特殊推广到一般.融合方程与函数的基本知识，学生在阅读理解的基础之上进行方法的归纳与总结，然后再加以应用.
略解：（1）当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC= = 4-x，
∴ x（4-x）=3．解得，x=1或3．
（2） 当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，BC=，矩形框架ABCD的面积S=x•=-x+4x．当x=-=时，S=3．
∴ 当x=时时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米．
（3） 当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC=，矩形框架ABCD的面积S=x•=-x2+x．当x=-=时，S=
∴当x=时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为平方米
点评：这类题特点鲜明,内容丰富,超越常规,源于课本又高于课本,不仅考查学生的阅读能力,而且综合考查学生的信息处理能力、知识迁移能力,对学生的数学意识、数学思维能力和创新意识有较高要求.要求学生在研读所给内容后，创造性地加以应用，可以较好地考查考生的创新意识和创新能力，强化学生的数学应用意识，优化学生的思维品质，提高学生的数学思维能力，培养学生的个性品质具有重要意义.
总之，阅读能力是学习数学的一个十分重要而又容易被忽略的技能，数学新知识的学习离不开阅读.阅读理解这类试题要求学生能透彻理解所给知识内容，从阅读中理解，在理解中提炼.阅读理解题的基本模式是“材料—问题”.解决这类问题时要善于总结解题规律，准确运用自己发现的规律和方法，体现自己对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力和知识的迁移能力等.因此，在复习中更应透彻理解所学内容，搞清楚知识的来龙去脉，不仅要学会数学知识，更要掌握在研究知识的过程中掌握数学思想和方法，这对促进学生的数学思维发展意义深远.
练 习
1. 先阅读理解下列例题，再按要求完成作业.
例题：解一元二次不等式6x2－x－2>0
解：把6x2－x－2分解因式得：6x2－x－2=（3x－2）（2x+1）
又6x2－x－2>0，所以（3x－2）（2x+1）>0,由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有
（1） 3x－2>02x+1>0 或（2） 3x－2<0+2x+1<0
解不等式组（1）得x>,解不等式组得x<－.
所以（3x－2）（2x+1）>0的解集为x>或x<－.
因此一元二次不等式6x2－x－2>0的解集为x>或x<－.
作业题：（1）.求分式不等式<0的解集
（2） 通过阅读例题和做作业题1，你学会了什么知识和方法？
2. 如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线l上，O1O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O在直线 l上平移时，正方形 EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．
（1） 计算：O1D= ，O2F= ；
（2） 当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= .
（3） 随着中心O2在直线l上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）
3. 请阅读下列材料：
问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段AC.如下图（2）所示：
设路线1的长度为l1，则l12=AC2=AB2+AC2=52+（5π）2=25+25π2
路线2：高线AB + 底面直径BC.如上图（1）所示：
设路线2的长度为l2，则l22=（AB+AC）2=（5+10）2=225
∵?摇l12-l22=25+25π-225=25π2-200=25（π2-8）＞0
∴ l12＞l22 ∴ l1＞l2
所以要选择路线2较短.
（1） 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算：
路线1：?摇l12=AC2= ；
路线2：?摇l12=（AB+AC）2= .
∵?摇l12 l22 ∴ l1 l2?摇（ 填>或<）
所以应选择路线 （填1或2）较短.
（2） 请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.
参考答案
1. （1）-5
3. （1） 25+π；49；<；<；1.（2）l=h+（πr），l=（h+2r），l- l=r［（π-4）r-4h］
当r=时，l=l；任选一条路线均可.当r＞时，l＞l；选择l.
当r＜时，l＜l，选择l.