论文部分内容阅读
题目：已知正比例函数y=ax与反比例函数y=kx的图象有一个交点A（1，2）.
（1）分别写出这两个函数的解析.
（2）这两个函数的图象还有几个不同于点A的交点？请找出并说明理由.
一、题目分析
1.题目涉及的知识点与数学思想
本题涉及正比例函数和反比例函数的图象与性质、待定系数法、交点的意义、反比例函数图象的对称性知识点等.涉及的数学思想有方程与函数的关系、转化思想（函数图象的交点转化为方程组的解），以及数形结合思想.
2.题目的课标背景
（1）课程标准在第三部分内容标准中对二次函数的学习提出了具体的要求：①会利用待定系数法确定一次函数的表达式.②能根据已知条件确定反比例函数的表达式.③能画出一次函数的图象，④能画出反比例函数的图象，⑤体会一次函数与二元一次方程的关系.
（2）课程标准的总体目标的第一条明确要求：通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.
（3）课程标准在对总目标具体阐述时又明确要求：让学生获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识；学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.
3.设计意图
（1）本题在考查老双基的同时也考查了基本数学思想和基本活动经验，符合新课标“双基”变“四基”的理念.
（2）以把握数学问题本质为基础形成的基本经验是跳出题海的有效途径.本题意在引导教师在教学过程中立足课本，在夯实双基的同时，渗透数学思想，帮助学生总结并形成经验，放弃题海战术.
4.题目出处和演变
本题可以看作课本习题的改编.
原型1：（九上第159页“做一做”第2题）正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，23）.（1）分别写出这两个函数的表达式.（2）你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？与同伴交流.
原型2：（九上第161页联系拓广的第3题）正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的一个交点是（1，3）.（1）写出这两个函数的表达式，并确定这两个函数图象的另一个交点坐标.（2）画出草图，并据此写出使反比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围.
三题比较：同类问题、问法不同.原型1：你能求出点B的坐标吗？原型2：确定这两个函数图象的另一个交点坐标.本题：这两个函数的图象还有几个不同于点A的交点？
设问特点分析：原型1和原型2的设问直奔主题，适合作为初学者的学习型题目.本题的设问更开放，能激活学生更多的思维活动，适合作为具备一定学习经验后的考试型题目.
5.教学中的地位
（1）本题是一个数学综合题，涉及正比例函数与反比例函数.
（2）涵盖知识相当广，方法多样，对本章知识具有提纲挈领的作用.
（3）对学生学习相关函数知识的融会贯通起着促进作用，其典型性和代表性不言而喻.
二、解题策略
分析：两个函数交点的坐标满足这两个函数关系式，因此将交点的坐标分别代入反比例函数关系式和一次函数关系式即可求得待定的系数.
方法1：分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.画出草图，结合图形分析.“形”的特征决定了“数”的关系，是本题运用数形结合思想解决问题的根本原理.
思路形成的关键：对中心对称的熟练掌握；对以往学习经验的借鉴.
经验借鉴来源：（前一节课本习题第5题）观察如图1函数的图象，回答下列问题：（1）写出A，A’两点的坐标：A（，），A’（，）.（2）分别过点A和A’作x轴的垂线，垂足分别是B和B’，则下列关系正确吗？为什么？
A.OA=OA’
B.∠AOB=∠A’OB’
C.点A，O，A’在同一条直线上.
借鉴作用：通过本题，可以进一步理解反比例函数图象是以原点为中心的中心对称图形，并感悟中心对称图形的数学含义.其思维互逆，本题可以看作是铺垫，为后续学习积累经验.
方法2：分析：确定两个函数图象的交点坐标，相当于求相应的方程组的解；解一个方程组相当于确定相应函数图象的交点坐标.转化思想的典型体现，“求交点”转化为“解方程”.
方法点评：这里出现了化为二次方程的分式方程，而课标只要求能求解可化为一元一次方程的分式方程.因此，这种方法超标了.但我认为，在教学中，可以让学生掌握，能够加深学生对函数与方程的关系的理解，提高学生对数形结合和转化思想的认识.另外，化成的一元二次方程并不复杂，学生要掌握并不困难.因此，把这道题放在平时的练习中或单元测试中都是可以的.至于是否放进中考题可以再商榷.
思路形成的关键：对交点意义的准确理解；对以往学习经验的借鉴.
经验借鉴来源：通过“二元一次方程与一次函数”的学习，学生已经掌握以下知识与方法：确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点坐标.因此，求两直线的交点可以迁移到求直线与双曲线的交点.
方法3：分析：列表、描点、连线、画出准确图，从图象中确定交点的坐标.解略.
思路形成的关键：对交点意义的准确理解；对以往学习经验的借鉴.
经验借鉴来源：经验来源1：（九上“反比例函数的图象和性质”习题5.2联系拓广第2题）在同一坐标系内作出函数y=2x与函数y=x-1的图象，并利用图象求它们的交点坐标. 经验来源2：（旧版教材八上“二元一次方程与一次函数”例1）用图象法解方程组：x-2y=-22x-y=2
点评：不管是哪一种方法，其思路形成的关键都有两个：一是对数学问题的本质有准确的把握；二是对过往学习经验的有效借鉴.缺少了对数学本质的理解，只能是机械的模仿.缺少了经验的总结，所学知识难以迁移，解题能力难以提高.
三、思想方法与经验
“形”的特征决定了“数”的关系——数形结合思想；“求交点”转化为“解方程”——转化思想；“数”的问题，可以通过“形”来解决；“形”的问题，可以通过“数”来解决.因此，数形结合本身就是一种转化思想，是转化思想在“数”与“形”之间的具体体现.
四、价值与推广
1.已知正比例函数y=ax与反比例函数y=bx的图象有一个公共点A（1，2） .（1）求这两个函数的表达式.（2）画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围.
本题亮点：题目明确规定：“画出草图，根据图象”解决问题，排除了解方程的方法，避开了出现超标分式方程的问题，体现了中考题的规范性.此题与课本原型不同之处在于，没有要求求出另一个交点坐标，而直接问x的取值范围，具有一定的思维跨度.此题的原型在课本，虽然它具有一定的思维跨度，但只要掌握了课本原型，并总结形成经验，要想解决这个问题并不难.因此，此题体现了对学生基本活动经验的考查，对引导师生回归课本、总结经验有很好的教学引导意义.
3.正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象没有公共点，则k1k20.
4.已知反比例函数y=kx（k≠0）和一次函数y=x-6.（1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P（2，m），求m和k的值.（2）当k满足什么条件时，两函数的图象没有交点？
教学反思：这些变式题，其实是基本思想方法没变的同类题，“万变不离其宗”.要突破一类题，关键要抓住其“宗”.要抓住其“宗”，既需要对问题本质的准确把握，又需要在数学实践中积累经验.没有抓住数学本质的重复练习，只能是机械模仿，不可能形成真正的经验.教师要挖掘课本中具有代表性和典型性的习题，善于“借题发挥”，进行一题多解，多题一解，多题组合.教师要引导学生反思数学问题的规律和方法，渗透数学思想，帮助学生抓住问题的本质，形成基本的经验，以达到“做一题、通一类、会一片”的教学效果，让学生走出题海，真正做到轻负高质.
五、总结
立足课本、渗透思想、把握本质、形成经验、走出题海、轻负高质.
（1）分别写出这两个函数的解析.
（2）这两个函数的图象还有几个不同于点A的交点？请找出并说明理由.
一、题目分析
1.题目涉及的知识点与数学思想
本题涉及正比例函数和反比例函数的图象与性质、待定系数法、交点的意义、反比例函数图象的对称性知识点等.涉及的数学思想有方程与函数的关系、转化思想（函数图象的交点转化为方程组的解），以及数形结合思想.
2.题目的课标背景
（1）课程标准在第三部分内容标准中对二次函数的学习提出了具体的要求：①会利用待定系数法确定一次函数的表达式.②能根据已知条件确定反比例函数的表达式.③能画出一次函数的图象，④能画出反比例函数的图象，⑤体会一次函数与二元一次方程的关系.
（2）课程标准的总体目标的第一条明确要求：通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.
（3）课程标准在对总目标具体阐述时又明确要求：让学生获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识；学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.
3.设计意图
（1）本题在考查老双基的同时也考查了基本数学思想和基本活动经验，符合新课标“双基”变“四基”的理念.
（2）以把握数学问题本质为基础形成的基本经验是跳出题海的有效途径.本题意在引导教师在教学过程中立足课本，在夯实双基的同时，渗透数学思想，帮助学生总结并形成经验，放弃题海战术.
4.题目出处和演变
本题可以看作课本习题的改编.
原型1：（九上第159页“做一做”第2题）正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，23）.（1）分别写出这两个函数的表达式.（2）你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？与同伴交流.
原型2：（九上第161页联系拓广的第3题）正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的一个交点是（1，3）.（1）写出这两个函数的表达式，并确定这两个函数图象的另一个交点坐标.（2）画出草图，并据此写出使反比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围.
三题比较：同类问题、问法不同.原型1：你能求出点B的坐标吗？原型2：确定这两个函数图象的另一个交点坐标.本题：这两个函数的图象还有几个不同于点A的交点？
设问特点分析：原型1和原型2的设问直奔主题，适合作为初学者的学习型题目.本题的设问更开放，能激活学生更多的思维活动，适合作为具备一定学习经验后的考试型题目.
5.教学中的地位
（1）本题是一个数学综合题，涉及正比例函数与反比例函数.
（2）涵盖知识相当广，方法多样，对本章知识具有提纲挈领的作用.
（3）对学生学习相关函数知识的融会贯通起着促进作用，其典型性和代表性不言而喻.
二、解题策略
分析：两个函数交点的坐标满足这两个函数关系式，因此将交点的坐标分别代入反比例函数关系式和一次函数关系式即可求得待定的系数.
方法1：分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.画出草图，结合图形分析.“形”的特征决定了“数”的关系，是本题运用数形结合思想解决问题的根本原理.
思路形成的关键：对中心对称的熟练掌握；对以往学习经验的借鉴.
经验借鉴来源：（前一节课本习题第5题）观察如图1函数的图象，回答下列问题：（1）写出A，A’两点的坐标：A（，），A’（，）.（2）分别过点A和A’作x轴的垂线，垂足分别是B和B’，则下列关系正确吗？为什么？
A.OA=OA’
B.∠AOB=∠A’OB’
C.点A，O，A’在同一条直线上.
借鉴作用：通过本题，可以进一步理解反比例函数图象是以原点为中心的中心对称图形，并感悟中心对称图形的数学含义.其思维互逆，本题可以看作是铺垫，为后续学习积累经验.
方法2：分析：确定两个函数图象的交点坐标，相当于求相应的方程组的解；解一个方程组相当于确定相应函数图象的交点坐标.转化思想的典型体现，“求交点”转化为“解方程”.
方法点评：这里出现了化为二次方程的分式方程，而课标只要求能求解可化为一元一次方程的分式方程.因此，这种方法超标了.但我认为，在教学中，可以让学生掌握，能够加深学生对函数与方程的关系的理解，提高学生对数形结合和转化思想的认识.另外，化成的一元二次方程并不复杂，学生要掌握并不困难.因此，把这道题放在平时的练习中或单元测试中都是可以的.至于是否放进中考题可以再商榷.
思路形成的关键：对交点意义的准确理解；对以往学习经验的借鉴.
经验借鉴来源：通过“二元一次方程与一次函数”的学习，学生已经掌握以下知识与方法：确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点坐标.因此，求两直线的交点可以迁移到求直线与双曲线的交点.
方法3：分析：列表、描点、连线、画出准确图，从图象中确定交点的坐标.解略.
思路形成的关键：对交点意义的准确理解；对以往学习经验的借鉴.
经验借鉴来源：经验来源1：（九上“反比例函数的图象和性质”习题5.2联系拓广第2题）在同一坐标系内作出函数y=2x与函数y=x-1的图象，并利用图象求它们的交点坐标. 经验来源2：（旧版教材八上“二元一次方程与一次函数”例1）用图象法解方程组：x-2y=-22x-y=2
点评：不管是哪一种方法，其思路形成的关键都有两个：一是对数学问题的本质有准确的把握；二是对过往学习经验的有效借鉴.缺少了对数学本质的理解，只能是机械的模仿.缺少了经验的总结，所学知识难以迁移，解题能力难以提高.
三、思想方法与经验
“形”的特征决定了“数”的关系——数形结合思想；“求交点”转化为“解方程”——转化思想；“数”的问题，可以通过“形”来解决；“形”的问题，可以通过“数”来解决.因此，数形结合本身就是一种转化思想，是转化思想在“数”与“形”之间的具体体现.
四、价值与推广
1.已知正比例函数y=ax与反比例函数y=bx的图象有一个公共点A（1，2） .（1）求这两个函数的表达式.（2）画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围.
本题亮点：题目明确规定：“画出草图，根据图象”解决问题，排除了解方程的方法，避开了出现超标分式方程的问题，体现了中考题的规范性.此题与课本原型不同之处在于，没有要求求出另一个交点坐标，而直接问x的取值范围，具有一定的思维跨度.此题的原型在课本，虽然它具有一定的思维跨度，但只要掌握了课本原型，并总结形成经验，要想解决这个问题并不难.因此，此题体现了对学生基本活动经验的考查，对引导师生回归课本、总结经验有很好的教学引导意义.
3.正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象没有公共点，则k1k20.
4.已知反比例函数y=kx（k≠0）和一次函数y=x-6.（1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P（2，m），求m和k的值.（2）当k满足什么条件时，两函数的图象没有交点？
教学反思：这些变式题，其实是基本思想方法没变的同类题，“万变不离其宗”.要突破一类题，关键要抓住其“宗”.要抓住其“宗”，既需要对问题本质的准确把握，又需要在数学实践中积累经验.没有抓住数学本质的重复练习，只能是机械模仿，不可能形成真正的经验.教师要挖掘课本中具有代表性和典型性的习题，善于“借题发挥”，进行一题多解，多题一解，多题组合.教师要引导学生反思数学问题的规律和方法，渗透数学思想，帮助学生抓住问题的本质，形成基本的经验，以达到“做一题、通一类、会一片”的教学效果，让学生走出题海，真正做到轻负高质.
五、总结
立足课本、渗透思想、把握本质、形成经验、走出题海、轻负高质.