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江苏泰州中学附属初中225300
摘要:为说明极坐标在解题中的应用,本文归类介绍了极坐标法在证明三线段倒数成等差数列中的应用,供中学数学教师教学阅读时参考.
关键词:极坐标;等差数列;应用
[⇩]应用经过两个已知点P1(ρ1,θ1)和P2(ρ1,θ1)的直线方程:
=+(ρ1≠0,ρ2≠0)证明
例1已知菱形ABCD的边长为a,对角线交于O点,过点O作直线EF分别交AB,AD延长线于点E,F.
求证:,,成等差数列.
[F][D][A][E][B][C][x][O][-α][a][a][a][a][α]
图1
证明如图1,以A为极点,AC的延长线为极轴建立极坐标系,设F(f,α)、E(e,-α)、O(acosα,0),则EF:=+. 将O点坐标代入EF方程中得=+.
所以=+,即=+.
所以,,成等差数列.
[⇩]应用圆心坐标为C(a,0),半径为r的圆的方程ρ2-2ρacosθ+a2-r2=0证明
例2 自圆外一点P向圆引割线交圆于点R,S,又作切线PA,PB,AB与PR交于Q,求证:,,成等差数列.
[S][A][Q][P][R][D][C][x][B]
图2
证明如图2,以P为极点,P点与圆心C的连线的延长线为极轴建立极坐标系. 设C(a,0),且⊙C的半径为r,则⊙C的方程为ρ2-2ρacosθ+a2-r2=0,PR,PS是关于ρ的一元二次方程的两根,所以由韦达定理,得+==. 再设∠APC=α,点A为⊙C的切点,则PQ==PAcosα·==,其中sinα=.
所以PQ=a1-
·. 所以=. 所以+==.
故,,成等差数列.
[⇩]应用圆锥曲线方程ρ=证明
例3 已知椭圆+=1(a>b>0)上三点的横坐标成等差数列,求证:所对应的同一焦点的三条焦半径也成等差数列.
[y][x][Q][N][M][F][O]
图3
证明 如图3,以椭圆的左焦点F为极点,Fx为极轴建立极坐标系,则椭圆的方程为ρ=,即ρcosθ=-p.
所以椭圆上任意一点的横坐标x=ρcosθ-FO=-(p+FO). 设M,N,Q为椭圆上三点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3,极坐标分别为(ρ1,θ1),(ρ2,θ2),(ρ3,θ3),且x1,x2,x3成等差数列,则2x2=x1+x3. 所以2
-(ρ+FO)=+-2(ρ+FO),化简得ρ1+ρ3=2ρ2. 因此这三点所对应的焦半径也成等差数列.
特别地,由椭圆的对称性可知:对右焦点该结论也成立.
综上所述可知,应用极坐标法证明a,b,c的倒数成等差数列,关键在于根据图形特点选择好极坐标系,设置好相关点的坐标,再运用相关公式和方程列出关系式,最后通过三角函数的运算化简得到+=,即命题获证.
教学实践证明,引导学生学习高中选修内容,并对其应用进行研究,有利于帮助学生全面理解高中平面解析几何的知识,有利于培养学生的探索精神和创新意识,这既符合新课程改革关于“以课程标准为指导,以教材为基础,合理使用课本,加强教学科研”的理念要求,又能指导学生感悟数学、掌握基础知识和基本技能及方法,提高综合解题水平,启发思维、开阔视野,帮助学生提高数学思维能力和综合运用知识解题的能力.
总之,我们要重视对这一新内容的研究,并通过专题讲座的形式,使学生更加热爱数学,对数学产生浓厚的兴趣.
故笔者建议,教师应加强对极坐标新内容的研究,以弥补高中解析几何中原有课程知识点的不足.
摘要:为说明极坐标在解题中的应用,本文归类介绍了极坐标法在证明三线段倒数成等差数列中的应用,供中学数学教师教学阅读时参考.
关键词:极坐标;等差数列;应用
[⇩]应用经过两个已知点P1(ρ1,θ1)和P2(ρ1,θ1)的直线方程:
=+(ρ1≠0,ρ2≠0)证明
例1已知菱形ABCD的边长为a,对角线交于O点,过点O作直线EF分别交AB,AD延长线于点E,F.
求证:,,成等差数列.
图1
证明如图1,以A为极点,AC的延长线为极轴建立极坐标系,设F(f,α)、E(e,-α)、O(acosα,0),则EF:=+. 将O点坐标代入EF方程中得=+.
所以=+,即=+.
所以,,成等差数列.
[⇩]应用圆心坐标为C(a,0),半径为r的圆的方程ρ2-2ρacosθ+a2-r2=0证明
例2 自圆外一点P向圆引割线交圆于点R,S,又作切线PA,PB,AB与PR交于Q,求证:,,成等差数列.
图2
证明如图2,以P为极点,P点与圆心C的连线的延长线为极轴建立极坐标系. 设C(a,0),且⊙C的半径为r,则⊙C的方程为ρ2-2ρacosθ+a2-r2=0,PR,PS是关于ρ的一元二次方程的两根,所以由韦达定理,得+==. 再设∠APC=α,点A为⊙C的切点,则PQ==PAcosα·==,其中sinα=.
所以PQ=a1-
·. 所以=. 所以+==.
故,,成等差数列.
[⇩]应用圆锥曲线方程ρ=证明
例3 已知椭圆+=1(a>b>0)上三点的横坐标成等差数列,求证:所对应的同一焦点的三条焦半径也成等差数列.
图3
证明 如图3,以椭圆的左焦点F为极点,Fx为极轴建立极坐标系,则椭圆的方程为ρ=,即ρcosθ=-p.
所以椭圆上任意一点的横坐标x=ρcosθ-FO=-(p+FO). 设M,N,Q为椭圆上三点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3,极坐标分别为(ρ1,θ1),(ρ2,θ2),(ρ3,θ3),且x1,x2,x3成等差数列,则2x2=x1+x3. 所以2
-(ρ+FO)=+-2(ρ+FO),化简得ρ1+ρ3=2ρ2. 因此这三点所对应的焦半径也成等差数列.
特别地,由椭圆的对称性可知:对右焦点该结论也成立.
综上所述可知,应用极坐标法证明a,b,c的倒数成等差数列,关键在于根据图形特点选择好极坐标系,设置好相关点的坐标,再运用相关公式和方程列出关系式,最后通过三角函数的运算化简得到+=,即命题获证.
教学实践证明,引导学生学习高中选修内容,并对其应用进行研究,有利于帮助学生全面理解高中平面解析几何的知识,有利于培养学生的探索精神和创新意识,这既符合新课程改革关于“以课程标准为指导,以教材为基础,合理使用课本,加强教学科研”的理念要求,又能指导学生感悟数学、掌握基础知识和基本技能及方法,提高综合解题水平,启发思维、开阔视野,帮助学生提高数学思维能力和综合运用知识解题的能力.
总之,我们要重视对这一新内容的研究,并通过专题讲座的形式,使学生更加热爱数学,对数学产生浓厚的兴趣.
故笔者建议,教师应加强对极坐标新内容的研究,以弥补高中解析几何中原有课程知识点的不足.