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摘要：Kriging法是一项估计技术，相比传统插值技术，有两方面的优点[1]：第一，模型的建立只使用估计点附近的部分信息，而不是采用所有的信息对未知信息进行模拟；第二，Kriging法同时具有局部和全局的统计特性，这使得它可以分析、预测己知信息的趋势。本文将Kriging模型作为响应面函数，采用拉丁超立方抽样进行初始样本试验设计，应用ANSYS建立参数化有限元模型，结合MATLAB软件，用基于Kriging的改进响应面法计算结构可靠度，并通过算例验证了方法的高效性和精确性。
关键词：可靠度；kriging；响应面；拉丁超立方抽样
中图分类号：U443.2 文献标志码： A
引言
结构可靠性包括：安全性、适用性和耐久性，即结构在规定时间内，在规定条件下，完成预定功能的能力。度量可靠性的指标叫可靠度。可靠度常用计算方法有FORM、SORM、MC法、响应面法等。FORM是近似计算可靠度指标最简单的方法，只需考虑随机变量的均值和标准差、功能函数泰勒级数展开式的常数项和一次项。SORM在计算失效概率过程中考虑极限状态曲面在验算点附近的曲率变化，将功能函数在验算点处展开成泰勒级数，并取至二次项，以此二次函数曲面来代替原失效面，但其计算过程繁琐，不利于工程实际应用。MC法又称为统计实验法，计算机的发展为其提供了高效的计算手段，使其应用范围越来越广。响应面法是用一个简单的显示函数去逼近实际的隐式的极限状态函数，先假设一个包括一些未知参数的极限状态方程，然后用插值方法来确定表达式中的未知参数，确定显式的响应面方程。响应面方程有多项式响应面方程和其它形式的响应面方程。多项式模拟的响应面方法能在一定程度能反映极限状态方程的非线性，但如果隐式极限状态方程是高于二次的，精度是很低的，甚至可能得出错误的结果。针对这些问题，人们开始寻找能替代多项式表达式的其他响应面法，如神经网络模拟响应面法，基于支持向量机的响应面法和基于Kriging的响应面法。
基于Kriging的可靠度计算
Kriging是线性回归分析的一种改进的技术，它包含了线性回归部分和非参数部分，其中非参数部分被视作随机分布的实现，其模型组成形式见下式（1）：
(1)
可以理解为线性组合的多项式形式，为随机分布过程，随机过程的存在就是Kriging法与传统响应面法的不同之处。
(2)
式中：为线性回归系数；为变量的多项式函数，为的数目。相当于响应面法中的多项式形式，为模型建立提供模拟的全局近似。建立好Kriging模型后，可以另取样本点来验证模型的精度，以保证模型的有效性。Kriging模型建立与预测的原理详见参考文献[2]。
拉丁超立方抽样
拉丁超立方体抽样给出的试验点带有随机性，其理论依据是使试验点对输出变量的总均值提供一个无偏估值，且方差较小，本质是控制抽样点位置，避免抽样点在小邻域内重合，相对于单纯的分层抽样，其最大优势就在于任何大小的抽样数目都能容易地产生，其步骤是：
（1） 将每一维分成互不重迭的m个区间，使得每个区间有相同的概率 。
（2） 在每一维里的每一个区间中随机的抽取一个点；
（3） 再从每一维里随机抽出（2）中选取的点，将它们组成向量。
基于Kriging的改进响应面法
通过拉丁超立方体抽样得到一系列输入参数，将输入参数进行ANSYS有限元分析，可以得到输入对应的输出。采用DACE工具箱建立Kriging模型，得到了响应面方程，再结合FORM、SORM和MC抽样的方法计算结构的可靠度指标。但实际应用中，我们常需要增加训练样本数量以提高模拟精度。为了解决这问题，将建立的Kriging模型与MC 法结合，进行迭代循环求解可靠度，即：先采用MC法抽取分布均匀的少量训练样本点，进行有限元分析。用Kriging法将输入与输出模拟成响应面模型，并预测50万个测试点的响应值。再从这些测试点选取少数对真实的响应面模型贡献较大的点作为新增训练点来更新模型，使得响应面模型能够快速接近真实极限状态方程曲线。这些对响应面模型贡献较大的点的选取，是根据测试点的概率密度函数和测试点与极限状态方程的接近程度来确定。我们从所有测试点中选出最小的点，作为新增的训练样本点，使训练样本点迅速地落到真实失效面附近，构建出比较真实的失效面[3]。这整个过程在MATLAB中进行，在matlab中调用ANSYS软件，进行循环迭代，省去了许多的人工操作过程，节省大量的计算时间。
算例
算例1 图1所示三跨连续梁，L=5m，三跨连续梁挠度最大允许值为，建立极限状态函数[4]：
(4-1)
式中，其中为分布荷载，为弹性模量，为惯性矩，基本随机变量相互独立，其分布参数见表1。
图1 三跨连续梁简图(单位：m)
表1 算例1随机变量的统计参数
本算例采用基于Kriging的响应面法拟合极限状态方程后，采用FORM、SORM和MC法计算出可靠度指标，结果与精确解比较接近，见表2。
表2 算例1计算结果表
可靠度计算方法 失效概率( ×10-4) β
FORM[4] 7.543 3.173
MC[5] 8.960 3.123
SVM的响应面法[4] FORM 8.378 3.142
MC 8.653 3.133
基于Kriging的响应面法 FORM 8.603 3.135
SORM 7.350 3.181
MC 6.900 3.199
基于Kriging的改进响应面法 MC 6.900 3.199
算例2 矩形截面悬臂梁受均匀分布荷载作用，梁的自由端的最大竖向位移不能超过允许变形，其功能函数是，其中分别是弹性模量、均布荷载、惯性矩以及梁的宽和长。m，MPa，其极限状态函数表示为[6]：
(2-54)
图2 悬臂梁简图
表3随机变量的统计参数
是正态分布随机变量，统计参数见表3。用FORM，SORM和MC法计算可靠度指标，与改进的方法进行比较，结果见下表4。两个算例结果表明Kriging能够精确地模拟高次非线性的极限状态曲线，改进的响应面法拟合效果更佳。
表4 算例2计算结果表
小结
将Kriging法与MC 法结合起来，通过进行迭代循环构造出高精度的响应面模型，提高了计算精度的同时，还大大减少了有限元计算的次数。同时将MATLAB与ANSYS很好的结合到一起，实现了自动进行有限元分析与构建响应面方程的循环迭代，大大提高了计算效率，减少了大量时间。
参考文献：
[1] 张崎, 李兴斯. 基于Kriging模型的结构可靠性分析[J]. 计算力学学报, 2006(2):175-179.
[2] Lophaven S, Nielsen H, Sondergaard J. DACE-A MATLAB Kriging Toolbox[M/OL].
[3] 賈布裕. 组合梁斜拉桥的可靠度分析[D]. 华南理工大学土木与交通学院, 2011.
[4] 李洪双. 结构可靠性分析的支持向量机方法[J]. 应用数学和力学, 2006,27(10).
关键词：可靠度；kriging；响应面；拉丁超立方抽样
中图分类号：U443.2 文献标志码： A
引言
结构可靠性包括：安全性、适用性和耐久性，即结构在规定时间内，在规定条件下，完成预定功能的能力。度量可靠性的指标叫可靠度。可靠度常用计算方法有FORM、SORM、MC法、响应面法等。FORM是近似计算可靠度指标最简单的方法，只需考虑随机变量的均值和标准差、功能函数泰勒级数展开式的常数项和一次项。SORM在计算失效概率过程中考虑极限状态曲面在验算点附近的曲率变化，将功能函数在验算点处展开成泰勒级数，并取至二次项，以此二次函数曲面来代替原失效面，但其计算过程繁琐，不利于工程实际应用。MC法又称为统计实验法，计算机的发展为其提供了高效的计算手段，使其应用范围越来越广。响应面法是用一个简单的显示函数去逼近实际的隐式的极限状态函数，先假设一个包括一些未知参数的极限状态方程，然后用插值方法来确定表达式中的未知参数，确定显式的响应面方程。响应面方程有多项式响应面方程和其它形式的响应面方程。多项式模拟的响应面方法能在一定程度能反映极限状态方程的非线性，但如果隐式极限状态方程是高于二次的，精度是很低的，甚至可能得出错误的结果。针对这些问题，人们开始寻找能替代多项式表达式的其他响应面法，如神经网络模拟响应面法，基于支持向量机的响应面法和基于Kriging的响应面法。
基于Kriging的可靠度计算
Kriging是线性回归分析的一种改进的技术，它包含了线性回归部分和非参数部分，其中非参数部分被视作随机分布的实现，其模型组成形式见下式（1）：
(1)
可以理解为线性组合的多项式形式，为随机分布过程，随机过程的存在就是Kriging法与传统响应面法的不同之处。
(2)
式中：为线性回归系数；为变量的多项式函数，为的数目。相当于响应面法中的多项式形式，为模型建立提供模拟的全局近似。建立好Kriging模型后，可以另取样本点来验证模型的精度，以保证模型的有效性。Kriging模型建立与预测的原理详见参考文献[2]。
拉丁超立方抽样
拉丁超立方体抽样给出的试验点带有随机性，其理论依据是使试验点对输出变量的总均值提供一个无偏估值，且方差较小，本质是控制抽样点位置，避免抽样点在小邻域内重合，相对于单纯的分层抽样，其最大优势就在于任何大小的抽样数目都能容易地产生，其步骤是：
（1） 将每一维分成互不重迭的m个区间，使得每个区间有相同的概率 。
（2） 在每一维里的每一个区间中随机的抽取一个点；
（3） 再从每一维里随机抽出（2）中选取的点，将它们组成向量。
基于Kriging的改进响应面法
通过拉丁超立方体抽样得到一系列输入参数，将输入参数进行ANSYS有限元分析，可以得到输入对应的输出。采用DACE工具箱建立Kriging模型，得到了响应面方程，再结合FORM、SORM和MC抽样的方法计算结构的可靠度指标。但实际应用中，我们常需要增加训练样本数量以提高模拟精度。为了解决这问题，将建立的Kriging模型与MC 法结合，进行迭代循环求解可靠度，即：先采用MC法抽取分布均匀的少量训练样本点，进行有限元分析。用Kriging法将输入与输出模拟成响应面模型，并预测50万个测试点的响应值。再从这些测试点选取少数对真实的响应面模型贡献较大的点作为新增训练点来更新模型，使得响应面模型能够快速接近真实极限状态方程曲线。这些对响应面模型贡献较大的点的选取，是根据测试点的概率密度函数和测试点与极限状态方程的接近程度来确定。我们从所有测试点中选出最小的点，作为新增的训练样本点，使训练样本点迅速地落到真实失效面附近，构建出比较真实的失效面[3]。这整个过程在MATLAB中进行，在matlab中调用ANSYS软件，进行循环迭代，省去了许多的人工操作过程，节省大量的计算时间。
算例
算例1 图1所示三跨连续梁，L=5m，三跨连续梁挠度最大允许值为，建立极限状态函数[4]：
(4-1)
式中，其中为分布荷载，为弹性模量，为惯性矩，基本随机变量相互独立，其分布参数见表1。
图1 三跨连续梁简图(单位：m)
表1 算例1随机变量的统计参数
本算例采用基于Kriging的响应面法拟合极限状态方程后，采用FORM、SORM和MC法计算出可靠度指标，结果与精确解比较接近，见表2。
表2 算例1计算结果表
可靠度计算方法 失效概率( ×10-4) β
FORM[4] 7.543 3.173
MC[5] 8.960 3.123
SVM的响应面法[4] FORM 8.378 3.142
MC 8.653 3.133
基于Kriging的响应面法 FORM 8.603 3.135
SORM 7.350 3.181
MC 6.900 3.199
基于Kriging的改进响应面法 MC 6.900 3.199
算例2 矩形截面悬臂梁受均匀分布荷载作用，梁的自由端的最大竖向位移不能超过允许变形，其功能函数是，其中分别是弹性模量、均布荷载、惯性矩以及梁的宽和长。m，MPa，其极限状态函数表示为[6]：
(2-54)
图2 悬臂梁简图
表3随机变量的统计参数
是正态分布随机变量，统计参数见表3。用FORM，SORM和MC法计算可靠度指标，与改进的方法进行比较，结果见下表4。两个算例结果表明Kriging能够精确地模拟高次非线性的极限状态曲线，改进的响应面法拟合效果更佳。
表4 算例2计算结果表
小结
将Kriging法与MC 法结合起来，通过进行迭代循环构造出高精度的响应面模型，提高了计算精度的同时，还大大减少了有限元计算的次数。同时将MATLAB与ANSYS很好的结合到一起，实现了自动进行有限元分析与构建响应面方程的循环迭代，大大提高了计算效率，减少了大量时间。
参考文献：
[1] 张崎, 李兴斯. 基于Kriging模型的结构可靠性分析[J]. 计算力学学报, 2006(2):175-179.
[2] Lophaven S, Nielsen H, Sondergaard J. DACE-A MATLAB Kriging Toolbox[M/OL].
[3] 賈布裕. 组合梁斜拉桥的可靠度分析[D]. 华南理工大学土木与交通学院, 2011.
[4] 李洪双. 结构可靠性分析的支持向量机方法[J]. 应用数学和力学, 2006,27(10).