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数学中的很多问题由于学生思维的片面性会被误解，甚至是漏解，这种思维的片面性即使是优秀的学生也不例外，所以在教学中培养学生缜密的思维品质，帮助其克服思维的片面性很有必要。
一、产生思维片面性的原因分析
1.概念不清
很多学生在学习数学的过程中，往往只注重怎样解题，对概念的学习不够重视，特别是对概念的内涵和外延的理解肤浅，造成解题时思维的片面性。
【例1】m为非负数，试判断关于x的方程4mx2-4mx+m-3=0的根的情况。
解：∵△=（-4m）2-4×4m（m-3）=48m
又∵m为非负数
∴m>0
∴△=（-4m）2-4×4m（m-3）=48m>0
∴原方程有两个不相等的实数根
这里，学生把“非负数”理解为“正数”，概念不清，缩小了概念的外延，m的值还可以为0。数学中这样易错的概念还有很多，如把“不大于”理解为“小于”，把“点不在圆内”理解为“点在圆外”等。
2.忽略定理、公式成立的条件
数学中的许多定理、公式总是在一定的条件下成立的，忽略了它们成立的条件就会误解或漏解。
【例2】若关于x的一元二次方程2x2-2x+3m-1=0有两个实数根x1、x2，且x1·x2>x1+x2-4，求实数m的取值范围。
解：∵x1+x2=1，x1·x2=
∴ >1-4
∴m>
此时，学生忽略根与系数关系成立的前提为一元二次方程要有实数根，根的判别式△=（-2）2-4×2（3m-1）≥0，即m≤，所以正确的结果应为 3.思维定势的负面影响
所谓思维定势，就是指在解决问题的过程中所形成的比较固定的思维方式。思维定势在问题解决的过程中一般起限制作用，它限制着形成假设的范围，并使所尝试的问题解决方法固定化。
【例3】关于x的方程2kx2+（8k+1）x+8k=0有两个不相等的实根，求k的取值范围。
解：由Δ=（8k+1）2-4×2k×8k>0
得k>
出错原因是受思维定势的影响，认为方程中出现x2项就是一元二次方程的一种思维准备状态，忽略了二次项系数k≠0。同样受分配律m（a+b）=ma+mb的思维方式的负迁移，学生经常认为式子sin（x+y）=sinx+siny，lg（x+y）=lgx+lgy都是成立的，数学中的此类问题在学生中屡见不鲜。
4.缺乏解后反思的习惯
波利亚指出：“即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证后，他就会合上书本，找点别的事来做。这样，他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面。通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检验这个结果和得出这个结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力。”可见解后反思的重要性。另一方面，解后反思还可以发现和检验解题的完备性、是否漏解，有助于培养缜密的思维品质。
【例4】已知⊙O1与⊙O2相交于A、B，两圆的半径分别为13cm和15cm，公共弦AB=24cm，求两圆的圆心距O1O2的长。
大部分学生只考虑两圆的圆心在公共弦两侧的情形（如图1），解出O1O2=14cm，往往不假思索认为问题已经解决了，却忽视了两圆的圆心在公共弦的同侧的情形（如图2），造成了漏解。
很多几何问题由于图形位置的变化，若不注意解后多反思解答的完备性，丢解现象则在所难免。
二、培養学生缜密思维的几点做法
1.加强概念的教学
概念是思维的基本单位，概念是否清晰、理解是否透彻对学生学习数学的影响很大。概念是对事物本质属性的概括，具有较强的抽象性，学生不易掌握。所以教师在概念教学中要让学生进行充分的自主活动，使他们有机会经历概念产生的过程，了解概念产生的条件，把握概念形成的规律，在分化和比较的基础上，引导学生及时对各个刺激模式中的共同属性进行抽象，并从共同特征中抽象出本质属性。及时对概念的本质特征进行抽象概括，有利于学生更加准确、迅速地掌握概念，否则就有可能使无关特征得到强化，使学生将无关特征当成本质特征，从而产生对概念的错误理解。
例如，在学习角的正弦的概念时，可先引导学生运用三角形相似的知识得出角的对边与斜边之比为一个常数，它与角的大小有关而与角的对边与斜边的长度无关，由此抽象出角的正弦本质上是一个比值，是以角为自变量的一个函数。学生深刻理解这个概念后，辅以适当的练习，类似sin（x+y）=sinx+siny的错误则会大量减少。
2.理清定理、公式的来龙去脉
数学中很多定理、公式往往都有它成立的条件和适用的范围，有的教师在教学中喜欢把这些知识慷慨地奉送给学生，在学生还没有搞清楚它们的来龙去脉时就急于让他们应用这些定理、公式解决问题，导致学生知其然而不知其所以然，造成误解或漏解。
例如，前述例3中a0=1使用的条件为a≠0，教材中给出此公式时，规定0的零次方无意义，学生并不理解这一规定，甚至有的教师也不求甚解。实际上，该公式的源头为同底数幂的除法am÷an=am-n（a≠0），当m=n时即为a0=1，a=0时分母为零没有意义，a0=1就不成立了。
3.发挥定势的积极作用，克服定势的消极影响
由于思维定势是指向对象的一种动力准备状态，是因为教师过分强调求同思维而形成的，所以在数学概念和规律的应用时，要加强“变式”教学，善于从不同的角度、不同的方向寻找解决问题的方法和途径，强调“一题多解”“一题多变”，在不断寻求变化中培养学生的求异思维。教师既要培养学生解决类似问题的心理导向，又要引导学生遇到用习惯方法难以解决或解决不全面的有关问题时积极尝试换其他角度思考。
4.培养学生解后反思的习惯
学生解题往往得到答案就万事大吉了，很少有解后反思的习惯，教师应加强引导让学生逐步形成解后反思的习惯。笔者认为解后可反思更佳解法，反思解题所用的思想方法，反思问题是否可引申和一般化，反思解题是否完备。特别是对解题完备性的反思可有效防止漏解，增加思维的严密性。
例如，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠P=40°，若M是⊙O上异于A、B的一个动点，求∠AMB的度数。这个问题很多学生习惯上都会得出∠AMB=70°，如果学生能反思一下，既然M是动点，就让它动起来，在圆周上运动一周是否还有别的可能情形，则会得出M在劣弧AB上时∠AMB=110°。大多数的几何问题只要有反思的习惯，多变换图形的位置，就可顺利解决。
一、产生思维片面性的原因分析
1.概念不清
很多学生在学习数学的过程中，往往只注重怎样解题，对概念的学习不够重视，特别是对概念的内涵和外延的理解肤浅，造成解题时思维的片面性。
【例1】m为非负数，试判断关于x的方程4mx2-4mx+m-3=0的根的情况。
解：∵△=（-4m）2-4×4m（m-3）=48m
又∵m为非负数
∴m>0
∴△=（-4m）2-4×4m（m-3）=48m>0
∴原方程有两个不相等的实数根
这里，学生把“非负数”理解为“正数”，概念不清，缩小了概念的外延，m的值还可以为0。数学中这样易错的概念还有很多，如把“不大于”理解为“小于”，把“点不在圆内”理解为“点在圆外”等。
2.忽略定理、公式成立的条件
数学中的许多定理、公式总是在一定的条件下成立的，忽略了它们成立的条件就会误解或漏解。
【例2】若关于x的一元二次方程2x2-2x+3m-1=0有两个实数根x1、x2，且x1·x2>x1+x2-4，求实数m的取值范围。
解：∵x1+x2=1，x1·x2=
∴ >1-4
∴m>
此时，学生忽略根与系数关系成立的前提为一元二次方程要有实数根，根的判别式△=（-2）2-4×2（3m-1）≥0，即m≤，所以正确的结果应为
所谓思维定势，就是指在解决问题的过程中所形成的比较固定的思维方式。思维定势在问题解决的过程中一般起限制作用，它限制着形成假设的范围，并使所尝试的问题解决方法固定化。
【例3】关于x的方程2kx2+（8k+1）x+8k=0有两个不相等的实根，求k的取值范围。
解：由Δ=（8k+1）2-4×2k×8k>0
得k>
出错原因是受思维定势的影响，认为方程中出现x2项就是一元二次方程的一种思维准备状态，忽略了二次项系数k≠0。同样受分配律m（a+b）=ma+mb的思维方式的负迁移，学生经常认为式子sin（x+y）=sinx+siny，lg（x+y）=lgx+lgy都是成立的，数学中的此类问题在学生中屡见不鲜。
4.缺乏解后反思的习惯
波利亚指出：“即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证后，他就会合上书本，找点别的事来做。这样，他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面。通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检验这个结果和得出这个结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力。”可见解后反思的重要性。另一方面，解后反思还可以发现和检验解题的完备性、是否漏解，有助于培养缜密的思维品质。
【例4】已知⊙O1与⊙O2相交于A、B，两圆的半径分别为13cm和15cm，公共弦AB=24cm，求两圆的圆心距O1O2的长。
大部分学生只考虑两圆的圆心在公共弦两侧的情形（如图1），解出O1O2=14cm，往往不假思索认为问题已经解决了，却忽视了两圆的圆心在公共弦的同侧的情形（如图2），造成了漏解。
很多几何问题由于图形位置的变化，若不注意解后多反思解答的完备性，丢解现象则在所难免。
二、培養学生缜密思维的几点做法
1.加强概念的教学
概念是思维的基本单位，概念是否清晰、理解是否透彻对学生学习数学的影响很大。概念是对事物本质属性的概括，具有较强的抽象性，学生不易掌握。所以教师在概念教学中要让学生进行充分的自主活动，使他们有机会经历概念产生的过程，了解概念产生的条件，把握概念形成的规律，在分化和比较的基础上，引导学生及时对各个刺激模式中的共同属性进行抽象，并从共同特征中抽象出本质属性。及时对概念的本质特征进行抽象概括，有利于学生更加准确、迅速地掌握概念，否则就有可能使无关特征得到强化，使学生将无关特征当成本质特征，从而产生对概念的错误理解。
例如，在学习角的正弦的概念时，可先引导学生运用三角形相似的知识得出角的对边与斜边之比为一个常数，它与角的大小有关而与角的对边与斜边的长度无关，由此抽象出角的正弦本质上是一个比值，是以角为自变量的一个函数。学生深刻理解这个概念后，辅以适当的练习，类似sin（x+y）=sinx+siny的错误则会大量减少。
2.理清定理、公式的来龙去脉
数学中很多定理、公式往往都有它成立的条件和适用的范围，有的教师在教学中喜欢把这些知识慷慨地奉送给学生，在学生还没有搞清楚它们的来龙去脉时就急于让他们应用这些定理、公式解决问题，导致学生知其然而不知其所以然，造成误解或漏解。
例如，前述例3中a0=1使用的条件为a≠0，教材中给出此公式时，规定0的零次方无意义，学生并不理解这一规定，甚至有的教师也不求甚解。实际上，该公式的源头为同底数幂的除法am÷an=am-n（a≠0），当m=n时即为a0=1，a=0时分母为零没有意义，a0=1就不成立了。
3.发挥定势的积极作用，克服定势的消极影响
由于思维定势是指向对象的一种动力准备状态，是因为教师过分强调求同思维而形成的，所以在数学概念和规律的应用时，要加强“变式”教学，善于从不同的角度、不同的方向寻找解决问题的方法和途径，强调“一题多解”“一题多变”，在不断寻求变化中培养学生的求异思维。教师既要培养学生解决类似问题的心理导向，又要引导学生遇到用习惯方法难以解决或解决不全面的有关问题时积极尝试换其他角度思考。
4.培养学生解后反思的习惯
学生解题往往得到答案就万事大吉了，很少有解后反思的习惯，教师应加强引导让学生逐步形成解后反思的习惯。笔者认为解后可反思更佳解法，反思解题所用的思想方法，反思问题是否可引申和一般化，反思解题是否完备。特别是对解题完备性的反思可有效防止漏解，增加思维的严密性。
例如，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠P=40°，若M是⊙O上异于A、B的一个动点，求∠AMB的度数。这个问题很多学生习惯上都会得出∠AMB=70°，如果学生能反思一下，既然M是动点，就让它动起来，在圆周上运动一周是否还有别的可能情形，则会得出M在劣弧AB上时∠AMB=110°。大多数的几何问题只要有反思的习惯，多变换图形的位置，就可顺利解决。