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LDPC（Low Density Parity Check）码作为一种高效的线性分组纠错码，最初由Gallager发现，故亦称Gallager码。当时由于计算机处理能力较差，相关理论基础也比较薄弱，该线性分组码没有引起人们的重视。直到1996年，MacKay和Neal重新发现了它，并证明它在运用BP（Belief-Propagation）算法译码时具有逼近Shannon限的性能。对于二元输入的AWGN信道，当码长为107，R=1/2时，在BPSK调制下的性能距Shannon限只差0.0045dB，是目前距Shannon限最近的纠错码。
多进制LDPC码作为LDPC码的一种特殊形式，有实验表明，多进制LDPC码的误比特率性能优于二进制LDPC码，其抗突发错误能力相比二进制LDPC码也有较大程度的改善，尤其适用于卫星通信。虽然与二进制LDPC码相比，多进制LDPC码有上述优势，但是它也存在自己的缺点，即计算复杂度远远大于二进制LDPC码。为解决这一难题，本文提出一种低复杂度的多进制LDPC码的编码算法。
令啄是GF（q）的非零元素，那么琢啄的位置矢量z（琢啄）是啄的位置矢量z（啄）的右循环移一位。构成一个GF（q）上的（q-1）×（q-1）矩阵A，以啄，琢啄，琢2啄，…，琢q-2啄的位置矢量作为行。这样A是一个循环置换矩阵，其每一行是由上面一行右循环移位得到，第一行是最下面一行右循环移位得到。A被称为域元素啄的二维q-1对折散布矩阵。很明显，0元素的散布矩阵是（q-1）×（q-1）的全0矩阵。
把大小为（q-1）×（q-1）的循环置换矩阵作为Hd的子矩阵，如式（1）所示：
以下分别对不同码长、不同有限域的码字进行MATLAB仿真，同时将多个仿真结果的误比特性能进行比较。首先分别构造具有准循环结构的信息位矩阵，具体参数如下：①m=252，n=504，q=64；②m=378，n=756，q=64；③m=762，n=1524，q=128；④m=1016，n=2032，q=128；校验位矩阵部分采用双对角线结构；其次对其采用差分编码方法；最后在高斯信道下，采用BPSK调制，BP译码算法，译码迭代次数取100。不同码长、不同有限域的LDPC码误比特性能的比较如图1所示。
仿真结果显示，当误比特率为10-3时，基于GF（64）的（378，756）LDPC码的信噪比优于（252，504）LDPC码0.1dB，当误比特率为10-5时，基于GF（128）的（1016，2032）LDPC码的信噪比优于（762，1524）LDPC码0.15dB。这样的结果表明，在一定的码长范围内下，基于同一有限域的LDPC码长码要比短码的性能略优。
4结论
本文介绍了一种基于有限域构造LDPC校验矩阵的方法，信息位矩阵采用准循环构造方法，校验位矩阵采用双对角线结构，在信息位矩阵的构造中，提出一种利用等差数列确定指数矩阵的方法，运用此方法构造出的LDPC码不存在4环。仿真结果表明了多进制LDPC码性能的优异，信噪比在2.5dB时，基于GF（128）的（762，1524）码和（1016，2032）码的误比特率可达到10-5以下。但是，本文的算法也有一定的局限性，即码长的大小要与有限域相匹配，不能够随意取值，这是本文算法还有待改进的地方。
多进制LDPC码作为LDPC码的一种特殊形式，有实验表明，多进制LDPC码的误比特率性能优于二进制LDPC码，其抗突发错误能力相比二进制LDPC码也有较大程度的改善，尤其适用于卫星通信。虽然与二进制LDPC码相比，多进制LDPC码有上述优势，但是它也存在自己的缺点，即计算复杂度远远大于二进制LDPC码。为解决这一难题，本文提出一种低复杂度的多进制LDPC码的编码算法。
令啄是GF（q）的非零元素，那么琢啄的位置矢量z（琢啄）是啄的位置矢量z（啄）的右循环移一位。构成一个GF（q）上的（q-1）×（q-1）矩阵A，以啄，琢啄，琢2啄，…，琢q-2啄的位置矢量作为行。这样A是一个循环置换矩阵，其每一行是由上面一行右循环移位得到，第一行是最下面一行右循环移位得到。A被称为域元素啄的二维q-1对折散布矩阵。很明显，0元素的散布矩阵是（q-1）×（q-1）的全0矩阵。
把大小为（q-1）×（q-1）的循环置换矩阵作为Hd的子矩阵，如式（1）所示：
以下分别对不同码长、不同有限域的码字进行MATLAB仿真，同时将多个仿真结果的误比特性能进行比较。首先分别构造具有准循环结构的信息位矩阵，具体参数如下：①m=252，n=504，q=64；②m=378，n=756，q=64；③m=762，n=1524，q=128；④m=1016，n=2032，q=128；校验位矩阵部分采用双对角线结构；其次对其采用差分编码方法；最后在高斯信道下，采用BPSK调制，BP译码算法，译码迭代次数取100。不同码长、不同有限域的LDPC码误比特性能的比较如图1所示。
仿真结果显示，当误比特率为10-3时，基于GF（64）的（378，756）LDPC码的信噪比优于（252，504）LDPC码0.1dB，当误比特率为10-5时，基于GF（128）的（1016，2032）LDPC码的信噪比优于（762，1524）LDPC码0.15dB。这样的结果表明，在一定的码长范围内下，基于同一有限域的LDPC码长码要比短码的性能略优。
4结论
本文介绍了一种基于有限域构造LDPC校验矩阵的方法，信息位矩阵采用准循环构造方法，校验位矩阵采用双对角线结构，在信息位矩阵的构造中，提出一种利用等差数列确定指数矩阵的方法，运用此方法构造出的LDPC码不存在4环。仿真结果表明了多进制LDPC码性能的优异，信噪比在2.5dB时，基于GF（128）的（762，1524）码和（1016，2032）码的误比特率可达到10-5以下。但是，本文的算法也有一定的局限性，即码长的大小要与有限域相匹配，不能够随意取值，这是本文算法还有待改进的地方。