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解题是学生学习数学、掌握数学基础知识和基本技能的必要途径，也是检验学生掌握知识、运用知识的一种主要形式。如何有效地提高学生数学解题能力，是每个数学老师所不可回避的问题。下面就该问题谈谈我的一些观点。
一、要重视审题在解题中的重要作用，培养学生的审题能力。
审题是解题过程的首要步骤。审题能力如何，直接影响到解题的成败。审题就是要弄清题目的条件和结论，对一些简单的题目，弄清题意并不困难。然而对于某些综合性或灵活性较强的题目，审题的要求就比较高了，这类题目的特点是条件复杂、较隐蔽、较不直接，因而我们需要对条件进行认真分析，进行更深的挖掘。而对于结论，有些需要通过分析而转换成其他各种等价表达形式，因而提高学生的审题能力主要是培养学生分析隐蔽条件的能力，培养学生转化已知和未知的能力。如：已知方程x2- x=k在区间（-1，1）内没有实数根，求k的取值范围。本题可直接进行分类讨论求k的取值范围，如果我们对条件更深入分析后可发现，题目中的k也可看成是x的函数，则本题的解决方法可避开分类讨论而直接先求二次函数k=x2- x在x∈（-1，1）内的值域，而原题k的取值范围即为所求值域的补集。再如：已知方程：（SinB-SinC）x2+（SinC-SinA）x+（SinA-SinB）=0有两个相等的实根，A、B、C为△ABC的三个内角，求证：△ABC的三边成等差数列。由题中条件，很自然想到判别式，再利用正弦定理把角化为边，最后化简式子的证明方法。如果在审题时更深入去分析、挖掘条件，可发现方程中各项系数之和为零。因而方程两相等实根为1，所以由韦达定理可得 =2， 再由正弦定理可得 =2，即a+c=2b，从而证得△ABC三边a、b、c成等差数列。由以上两个例子可见，审题时把条件和结论分析得透彻是发现解法的前提，是提高解题灵活性的先决条件。因而，提高学生的审题能力就必须要强调审题的重要性，并且有意识地培养学生认真审题的习惯。
二、培养学生的数学思维能力，是提高数学解题能力的根本保证。
在平时的教学中，我们一方面要注重基本知识的教学，另一方面要注意学生能力的培养、思维的训练，因为任何一个教师都不可能把所有的题型讲完，也不可能把所有的解法都讲到位。因而，在教学中应激发学生的思维，积极引导学生从不同角度去思考、分析问题，充分挖掘学生的潜能，从而进一步提高学生分析解决问题的能力。
例如：求证方程（x-a）（x-a-b）=1有两个实数根，并且其中一个根大于a，另一根小于a。
依题意本题可直接证明如下：
将方程化为一般形式：
x2-（2a+b）x+a（a+b）-1=0
∵△=（2a+b）2-4[a（a+b）-1]=b2+4>0
∴方程有两个实数根
设方程两根分别为x1和x2，则
x1= =a+ >a
x2= =a- 在教学中，我们还可以通过引导学生深入分析题意，从而得到两根一个根大于a，另一个根小于a，即等价于两个根与a的差为异号，因而第二部分可如下证明：
设方程两根分别为x1和x2，由韦达定理可得：
x1+x2=2a+b， x1x2=a（a+b）-1
∵（x1-a）（x2-a）= x1x2-a（x1+x2）+a2
= a（a+b）-1-a（2a+b）+ a2
= -1<0
∴x1-a与x2-a异号
因而得到两根一个根大于a，另一个根小于a。
如果对第二种证明方法再深入分析，则我们还可以先进行简单换元再证明具体如下：
设y=x-a，则原方程可化为：
y（y-b）=1
即y2-by-1=0
∵b2+4>0，∴方程有两个实数根y1和y2
∵y1和y2=-1<0，∴方程的两根异号
因而可得原方程有两个实根，其中一个根大于a。另一个根小于a。若能结合二次函数图像分析，则还可证明如下：
设f（x）=（x-a）（x-a-b）-1，其图像是开口向上的抛物线，由于f（a）=-1<0，且抛物线开口向上，于是得抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点位于直线x=a的两侧，因而原方程有两个实数根，且一个根大于a，另一个根小于a。当然如果从图像的平移变换分析，也可容易得到f（x）=（x-a）（x-a-b）-1的图像与x轴交于两点，一点在x=a的左侧，另一点在x=a的右侧，从而得到结论。
在教学中，经常有意识地引导学生从各个方面积极地深入分析思考，可有效提高学生的思维能力和解题能力。
三、重视培养学生的解題后的反思习惯，是提高数学解题能力的有效途径。
反思是对自己认识过程的再认识，培养学生的反思意识，不仅是正确迅速解决问题的需要和保证，而且是优化思维，提高认知能力的有效途径。
引导学生进行反思，不仅是简单的回顾或检验，而且应引导学生根据问题的结构特点，通过对解题思路，解题方法以及题目类型更进一步的思考，从而进一步揭示解决数学问题的思维过程，开发学生的解题智慧，掌握解题规律，从而达到举一反三，解类旁通的目的。
1、引导学生对解题方法、解题思路进行总结。
如：已知a、b、c、d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证ac+bd≤1
证法一：∵2ac≤a2+c2，2bd≤b2+d2
∴2（ac+bd）≤a2+c2+b2+d2=2
∴ac+bd≤1
证法二：根据条件可设a=sinα，b=cosα，c=cosβ，d=sinβ，
于是ac+bd=sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）≤1 证法三：根据ac+bd式子的特点，可利用向量知识证明如下：
设A（a，b），B（c，d），则 =（a，b）， =（c，d）
其中| |= ，| |= =1
则ac+bd= · =| |·| |·COSθ≤1
解完本题后，我们可引导学生对三种证明方法的思路进行比较思考，证法一是由基本不等式想到的一种方法，而证法二的证明思路源于由条件a2+b2=1，c2+d2=1的特点而联想到公式sin2α+cos2α=1，从而想到用换元法进行证明。证法三则是通过分析ac+bd的特点，发现式子结构与向量数量积坐标表示式x1x2+y1y2结构相同而想到的。通过这样对解题后的思考，有助于学生对解题思路的发现。
2、引导学生对题目的引伸和归类。
解完一道题后，可引导学生对题目进行变换，使通过解一个题变成熟悉解一类题，从而达到举一反三的效果，大大提高学习的效率。
如：已知椭圆 + =1的一条弦AB被点M（1，1）平分，求AB所在直线的方程，解完这道题后，可把题目做如下变换：
变换1：将椭圆方程改为 + =1，将点M（1，1）改为M（x0，y0）。
变换2：将椭圆方程改为双曲线方程 - =1或抛物线方程y2=2px，将M（1，1）改为M（x0，y0）。
变换3：将方程改为二次曲线的一般方程Ax2+cy2+Dx+Ey+F=0
相信通过这一系列的变换，学生对该类型题目的解法有更深入的理解，对以后处理类似题目将会是得心应手。
再如：求函数y=x+ （x>0）最值。
做完该题后，我们可引导学生再思考：（1）函数 y=x+ （x<0）的最值。（2） 函数 y=x+ 的最值。（3）函数 y=x- 的最值。（4）函数 y=ax+ 的最值。（5）函数 y=ax+ +d的最值。
通过这一些变换，使学生对这类函数的求最值方法有更全面、更深刻的理解，对学生掌握类似函数的求最值方法有很大的帮助。教学时应要求学生在解完一個题后不要急于去做另一个题，而应每完成一个题目后都要再进一步深入思考。在教学中，强调反思的重要作用，使学生养成题后的反思习惯，对学好数学、提高解题能力有很大的帮助。
总之，数学解题能力的提高是一件复杂的系统工程，它不能仅寄希望于通过做几份练习或听老师讲几道题就可以明显提高，而是需要学生扎扎实实地学好数学基础知识，并通过长期的思维训练、方法的积累及养成良好的数学学习习惯，只有这样才能达到理想的效果。
一、要重视审题在解题中的重要作用，培养学生的审题能力。
审题是解题过程的首要步骤。审题能力如何，直接影响到解题的成败。审题就是要弄清题目的条件和结论，对一些简单的题目，弄清题意并不困难。然而对于某些综合性或灵活性较强的题目，审题的要求就比较高了，这类题目的特点是条件复杂、较隐蔽、较不直接，因而我们需要对条件进行认真分析，进行更深的挖掘。而对于结论，有些需要通过分析而转换成其他各种等价表达形式，因而提高学生的审题能力主要是培养学生分析隐蔽条件的能力，培养学生转化已知和未知的能力。如：已知方程x2- x=k在区间（-1，1）内没有实数根，求k的取值范围。本题可直接进行分类讨论求k的取值范围，如果我们对条件更深入分析后可发现，题目中的k也可看成是x的函数，则本题的解决方法可避开分类讨论而直接先求二次函数k=x2- x在x∈（-1，1）内的值域，而原题k的取值范围即为所求值域的补集。再如：已知方程：（SinB-SinC）x2+（SinC-SinA）x+（SinA-SinB）=0有两个相等的实根，A、B、C为△ABC的三个内角，求证：△ABC的三边成等差数列。由题中条件，很自然想到判别式，再利用正弦定理把角化为边，最后化简式子的证明方法。如果在审题时更深入去分析、挖掘条件，可发现方程中各项系数之和为零。因而方程两相等实根为1，所以由韦达定理可得 =2， 再由正弦定理可得 =2，即a+c=2b，从而证得△ABC三边a、b、c成等差数列。由以上两个例子可见，审题时把条件和结论分析得透彻是发现解法的前提，是提高解题灵活性的先决条件。因而，提高学生的审题能力就必须要强调审题的重要性，并且有意识地培养学生认真审题的习惯。
二、培养学生的数学思维能力，是提高数学解题能力的根本保证。
在平时的教学中，我们一方面要注重基本知识的教学，另一方面要注意学生能力的培养、思维的训练，因为任何一个教师都不可能把所有的题型讲完，也不可能把所有的解法都讲到位。因而，在教学中应激发学生的思维，积极引导学生从不同角度去思考、分析问题，充分挖掘学生的潜能，从而进一步提高学生分析解决问题的能力。
例如：求证方程（x-a）（x-a-b）=1有两个实数根，并且其中一个根大于a，另一根小于a。
依题意本题可直接证明如下：
将方程化为一般形式：
x2-（2a+b）x+a（a+b）-1=0
∵△=（2a+b）2-4[a（a+b）-1]=b2+4>0
∴方程有两个实数根
设方程两根分别为x1和x2，则
x1= =a+ >a
x2= =a- 在教学中，我们还可以通过引导学生深入分析题意，从而得到两根一个根大于a，另一个根小于a，即等价于两个根与a的差为异号，因而第二部分可如下证明：
设方程两根分别为x1和x2，由韦达定理可得：
x1+x2=2a+b， x1x2=a（a+b）-1
∵（x1-a）（x2-a）= x1x2-a（x1+x2）+a2
= a（a+b）-1-a（2a+b）+ a2
= -1<0
∴x1-a与x2-a异号
因而得到两根一个根大于a，另一个根小于a。
如果对第二种证明方法再深入分析，则我们还可以先进行简单换元再证明具体如下：
设y=x-a，则原方程可化为：
y（y-b）=1
即y2-by-1=0
∵b2+4>0，∴方程有两个实数根y1和y2
∵y1和y2=-1<0，∴方程的两根异号
因而可得原方程有两个实根，其中一个根大于a。另一个根小于a。若能结合二次函数图像分析，则还可证明如下：
设f（x）=（x-a）（x-a-b）-1，其图像是开口向上的抛物线，由于f（a）=-1<0，且抛物线开口向上，于是得抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点位于直线x=a的两侧，因而原方程有两个实数根，且一个根大于a，另一个根小于a。当然如果从图像的平移变换分析，也可容易得到f（x）=（x-a）（x-a-b）-1的图像与x轴交于两点，一点在x=a的左侧，另一点在x=a的右侧，从而得到结论。
在教学中，经常有意识地引导学生从各个方面积极地深入分析思考，可有效提高学生的思维能力和解题能力。
三、重视培养学生的解題后的反思习惯，是提高数学解题能力的有效途径。
反思是对自己认识过程的再认识，培养学生的反思意识，不仅是正确迅速解决问题的需要和保证，而且是优化思维，提高认知能力的有效途径。
引导学生进行反思，不仅是简单的回顾或检验，而且应引导学生根据问题的结构特点，通过对解题思路，解题方法以及题目类型更进一步的思考，从而进一步揭示解决数学问题的思维过程，开发学生的解题智慧，掌握解题规律，从而达到举一反三，解类旁通的目的。
1、引导学生对解题方法、解题思路进行总结。
如：已知a、b、c、d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证ac+bd≤1
证法一：∵2ac≤a2+c2，2bd≤b2+d2
∴2（ac+bd）≤a2+c2+b2+d2=2
∴ac+bd≤1
证法二：根据条件可设a=sinα，b=cosα，c=cosβ，d=sinβ，
于是ac+bd=sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）≤1 证法三：根据ac+bd式子的特点，可利用向量知识证明如下：
设A（a，b），B（c，d），则 =（a，b）， =（c，d）
其中| |= ，| |= =1
则ac+bd= · =| |·| |·COSθ≤1
解完本题后，我们可引导学生对三种证明方法的思路进行比较思考，证法一是由基本不等式想到的一种方法，而证法二的证明思路源于由条件a2+b2=1，c2+d2=1的特点而联想到公式sin2α+cos2α=1，从而想到用换元法进行证明。证法三则是通过分析ac+bd的特点，发现式子结构与向量数量积坐标表示式x1x2+y1y2结构相同而想到的。通过这样对解题后的思考，有助于学生对解题思路的发现。
2、引导学生对题目的引伸和归类。
解完一道题后，可引导学生对题目进行变换，使通过解一个题变成熟悉解一类题，从而达到举一反三的效果，大大提高学习的效率。
如：已知椭圆 + =1的一条弦AB被点M（1，1）平分，求AB所在直线的方程，解完这道题后，可把题目做如下变换：
变换1：将椭圆方程改为 + =1，将点M（1，1）改为M（x0，y0）。
变换2：将椭圆方程改为双曲线方程 - =1或抛物线方程y2=2px，将M（1，1）改为M（x0，y0）。
变换3：将方程改为二次曲线的一般方程Ax2+cy2+Dx+Ey+F=0
相信通过这一系列的变换，学生对该类型题目的解法有更深入的理解，对以后处理类似题目将会是得心应手。
再如：求函数y=x+ （x>0）最值。
做完该题后，我们可引导学生再思考：（1）函数 y=x+ （x<0）的最值。（2） 函数 y=x+ 的最值。（3）函数 y=x- 的最值。（4）函数 y=ax+ 的最值。（5）函数 y=ax+ +d的最值。
通过这一些变换，使学生对这类函数的求最值方法有更全面、更深刻的理解，对学生掌握类似函数的求最值方法有很大的帮助。教学时应要求学生在解完一個题后不要急于去做另一个题，而应每完成一个题目后都要再进一步深入思考。在教学中，强调反思的重要作用，使学生养成题后的反思习惯，对学好数学、提高解题能力有很大的帮助。
总之，数学解题能力的提高是一件复杂的系统工程，它不能仅寄希望于通过做几份练习或听老师讲几道题就可以明显提高，而是需要学生扎扎实实地学好数学基础知识，并通过长期的思维训练、方法的积累及养成良好的数学学习习惯，只有这样才能达到理想的效果。