论文部分内容阅读
在处理圆的有关问题时，有些概念容易混淆，若不能理解概念的本质，会导致解题错误. 下面就圆的重要概念加以分析.
一、 弦、弧的概念
例1 如图1，图中有______条弦，______条直径，圆中以A为端点的弧中，优弧有______条，劣弧有______条.
【分析】弦是指连接圆上任意两点之间的线段. 图中圆上共有四个点，连接任意两点均可形成一条弦，所以共有6条弦：弦AB、AC、AD、BC、BD、CD. 我们把经过圆心的弦叫做直径. 这6条弦中有1条弦AB经过圆心，故圆中只有1条直径.可见：直径是弦，但弦不一定是直径. 弧是指圆上任意两点间的部分. 圆上A、B两点之间可形成两条弧，因为AB是直径，所以它们是两条等弧，我们把这两条弧都叫作半圆. 不难发现：半圆是弧，但弧不一定是半圆. 圆上A、C两点和A、D两点之间也都形成两条弧，其中弧ADC、弧ACD大于半圆称之为优弧，弧AC、弧AD小于半圆，称之为劣弧. 而半圆既不是优弧，也不是劣弧. 所以圆中以A为端点的6条弧中，优弧有2条，劣弧有2条，半圆有2个.
例2 下列结论正确的有：______. （填序号）
①长度相等的两条弧是等弧；②同一条弦所对的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆；④周长相等的两个圆是同心圆.
【分析】等弧是指在同圆或等圆中，能够相互重合的弧. 长度相等的两条弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能够重合，只能说明弧长的值相等，故①是错误的. 圆中任意一条弦都对两条弧，直径所对的两条弧是等弧，但非直径的弦所对的两条弧，一条是优弧，一条是劣弧，不能重合，不是等弧，故②是错误的. 等圆是指能够互相重合的两个圆. 当两个圆面积相等时，其半径一定也相等，必然能够重合，故③是正确的. 等弧、等圆的共同特征是“能够互相重合”. 同心圆是指圆心相同，半径不相等的两个圆. 当两圆周长相等时，只能判断出半径相等，其圆心不一定相同，故④是错误的.
二、 圆周角的概念
例3 在下列各图中，图______中的角是圆周角. （填序号）
【分析】顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 我们在判断一个角是否为圆周角时只要抓住这个角是否同时满足圆周角的这两个特征. 图①、图③中的角的顶点分别在圆外和圆内，图④中的角只有一边和圆相交，图⑤中的角两边都不和圆相交，故都不是圆周角. 图②中的角满足圆周角的两个特征，是圆周角.
三、 外接圆、外心、内接三角形的概念
例4 下列命题中正确的是（ ）.
A. 三点确定一个圆
B. 三角形有且只有一个外接圆
C. 三角形的外心是这个三角形任意两角的角平分线的交点
D. 圆有且只有一个内接三角形
【分析】关于“三点确定一个圆”的问题，当这三个点在同一条直线上时，无法确定一个点（圆心），使它到已知三点的距离相等，所以只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆. 故A是错误的.三角形的三个顶点能并且只能确定一个圆，故B是正确的. 三角形的外心是指外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等，所以三角形的外心是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点，故C是错误的. 圆的内接三角形是指三角形在圆的内部，且它的三个顶点都在已知圆上，所以已知圆内可以作无数个内接三角形，故D是错误的.
四、 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
例5 如图2，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，AB=13，CD⊥AB于D，以点C为圆心，5 cm为半径作⊙C，试判断A、D、B三点与⊙C的位置关系.
【分析】这个问题是已知三个定点和一个定圆，要判断定圆与三个定点的位置关系. 此时我们只要求A、D、B三点到圆心C的距离d，再分别与半径（r=5）的大小进行比较，就能方便地确定. 若点在圆内？圳dr. 所以只要求出线段AC、DC、BC的长度即可.
由勾股定理得：BC=■=5，又∵S△ABC=■BC·AC=■CD·AB，
∴CD=■=■=■.
∵AC=12>5，∴点A在⊙C外.
∵CD=■<5，∴点D在⊙C内. ∵BC=5，
∴点B在⊙C上.
例6 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5 cm，AC=3 cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？
【分析】圆心到直线的距离与半径的大小关系决定了直线与圆的位置关系. 题中给出的条件是一个已知三边大小的定三角形和一个定圆心、半径r可以变化的动圆C，问题是要判断动圆C和定线段AB的位置关系. 如何思考这个问题？我们能观察到：随着半径r的由小变大，⊙C必然会和AB相切. 若设切点为D，则CD⊥AB，此时求出CD的长，则半径r就可知. 相切的位置关系知道了，相离、相交的位置关系就迎刃而解了. 这种方法我们不妨把它叫作“以静制动”的方法.
如图4，作CD⊥AB于点D. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴BC=■=■=4（cm），
又∵S△ABC=■BC·AC=■CD·AB，
∴CD=■=■=2.4（cm）.
∴当0r，⊙C与AB相离；当r=2.4 cm时，d=r，⊙C与AB相切；当r>2.4 cm时，d 例7 （2012·江苏常州）已知两圆半径分别为7、3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为（ ）.
A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 内含
【解析】本题已知两圆半径大小和圆心距的大小，只要对圆与圆的位置关系的判断方法清楚就易解此题. 根据两圆的位置关系的判定：外离？圳d>R+r；外切？圳d=R+r；相交？圳R-r
一、 弦、弧的概念
例1 如图1，图中有______条弦，______条直径，圆中以A为端点的弧中，优弧有______条，劣弧有______条.
【分析】弦是指连接圆上任意两点之间的线段. 图中圆上共有四个点，连接任意两点均可形成一条弦，所以共有6条弦：弦AB、AC、AD、BC、BD、CD. 我们把经过圆心的弦叫做直径. 这6条弦中有1条弦AB经过圆心，故圆中只有1条直径.可见：直径是弦，但弦不一定是直径. 弧是指圆上任意两点间的部分. 圆上A、B两点之间可形成两条弧，因为AB是直径，所以它们是两条等弧，我们把这两条弧都叫作半圆. 不难发现：半圆是弧，但弧不一定是半圆. 圆上A、C两点和A、D两点之间也都形成两条弧，其中弧ADC、弧ACD大于半圆称之为优弧，弧AC、弧AD小于半圆，称之为劣弧. 而半圆既不是优弧，也不是劣弧. 所以圆中以A为端点的6条弧中，优弧有2条，劣弧有2条，半圆有2个.
例2 下列结论正确的有：______. （填序号）
①长度相等的两条弧是等弧；②同一条弦所对的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆；④周长相等的两个圆是同心圆.
【分析】等弧是指在同圆或等圆中，能够相互重合的弧. 长度相等的两条弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能够重合，只能说明弧长的值相等，故①是错误的. 圆中任意一条弦都对两条弧，直径所对的两条弧是等弧，但非直径的弦所对的两条弧，一条是优弧，一条是劣弧，不能重合，不是等弧，故②是错误的. 等圆是指能够互相重合的两个圆. 当两个圆面积相等时，其半径一定也相等，必然能够重合，故③是正确的. 等弧、等圆的共同特征是“能够互相重合”. 同心圆是指圆心相同，半径不相等的两个圆. 当两圆周长相等时，只能判断出半径相等，其圆心不一定相同，故④是错误的.
二、 圆周角的概念
例3 在下列各图中，图______中的角是圆周角. （填序号）
【分析】顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 我们在判断一个角是否为圆周角时只要抓住这个角是否同时满足圆周角的这两个特征. 图①、图③中的角的顶点分别在圆外和圆内，图④中的角只有一边和圆相交，图⑤中的角两边都不和圆相交，故都不是圆周角. 图②中的角满足圆周角的两个特征，是圆周角.
三、 外接圆、外心、内接三角形的概念
例4 下列命题中正确的是（ ）.
A. 三点确定一个圆
B. 三角形有且只有一个外接圆
C. 三角形的外心是这个三角形任意两角的角平分线的交点
D. 圆有且只有一个内接三角形
【分析】关于“三点确定一个圆”的问题，当这三个点在同一条直线上时，无法确定一个点（圆心），使它到已知三点的距离相等，所以只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆. 故A是错误的.三角形的三个顶点能并且只能确定一个圆，故B是正确的. 三角形的外心是指外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等，所以三角形的外心是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点，故C是错误的. 圆的内接三角形是指三角形在圆的内部，且它的三个顶点都在已知圆上，所以已知圆内可以作无数个内接三角形，故D是错误的.
四、 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
例5 如图2，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，AB=13，CD⊥AB于D，以点C为圆心，5 cm为半径作⊙C，试判断A、D、B三点与⊙C的位置关系.
【分析】这个问题是已知三个定点和一个定圆，要判断定圆与三个定点的位置关系. 此时我们只要求A、D、B三点到圆心C的距离d，再分别与半径（r=5）的大小进行比较，就能方便地确定. 若点在圆内？圳d
由勾股定理得：BC=■=5，又∵S△ABC=■BC·AC=■CD·AB，
∴CD=■=■=■.
∵AC=12>5，∴点A在⊙C外.
∵CD=■<5，∴点D在⊙C内. ∵BC=5，
∴点B在⊙C上.
例6 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5 cm，AC=3 cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？
【分析】圆心到直线的距离与半径的大小关系决定了直线与圆的位置关系. 题中给出的条件是一个已知三边大小的定三角形和一个定圆心、半径r可以变化的动圆C，问题是要判断动圆C和定线段AB的位置关系. 如何思考这个问题？我们能观察到：随着半径r的由小变大，⊙C必然会和AB相切. 若设切点为D，则CD⊥AB，此时求出CD的长，则半径r就可知. 相切的位置关系知道了，相离、相交的位置关系就迎刃而解了. 这种方法我们不妨把它叫作“以静制动”的方法.
如图4，作CD⊥AB于点D. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴BC=■=■=4（cm），
又∵S△ABC=■BC·AC=■CD·AB，
∴CD=■=■=2.4（cm）.
∴当0
A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 内含
【解析】本题已知两圆半径大小和圆心距的大小，只要对圆与圆的位置关系的判断方法清楚就易解此题. 根据两圆的位置关系的判定：外离？圳d>R+r；外切？圳d=R+r；相交？圳R-r
其他文献
水利工程属于一项关系民生发展的重要工程,在进行施工建设时,既需要考虑到施工成本效益问题,又需要关注其施工质量,确保其在投入使用后可以发挥良好的功能特性,为社会生产和
国家税务总局党组高度重视注册税务师行业党建工作，以开展党的群众路线教育实践活动为契机，认真落实中央关于加强社会组织党的建设要求，全面推进行业党的组织和工作覆盖，取得显著
师资队伍建设是高校运营过程中重要的内容,也是其立校之根本.加强师资队伍建设,不仅能够提升教学质量与效率,还能够有效的提升学校的对外形象,对高校健康发展具有重要的意义.
结合《新编大学德语》的教学实践,在二外德语语音教学方面进行了一些教学实验,即在教学的顺序和主体方面完全以学生为主,放弃了过去以教师带读为主的做法,事实证明效果良好。
扩大教育开放,提高我国教育国际化水平是当前大势所趋。我国的高职教育一直以来都相对封闭,国际化水平较低,国际交流与合作起步较晚。为顺应高等教育国际化发展的趋势,高职院
基于农业产业水平的不断提升,各个地区也在积极研究优化农作物生产工作流程的可行方法.结合国家对农业建设的基本需求来看,最关键的问题就在于水资源的利用环节,基于此,本文
新浪微博已成为国内最重要的公共信息平台。根据新浪官方统计数据显示，截止2013年3月，新浪微博用户达到5.365亿，同比增长65.5%；2013年9月，活跃用户达到6020万，一年半时间增长几乎翻
位于美国加利福尼亚州南部的圣地亚哥( San Diego)是全州仅次于旧金山和洛杉矶的第三大城市.圣地亚哥西临太平洋,全年气候温暖,环境优美,再加上它拥有众多知名的沙滩,港口停
设计行业发展的迅速使学校的培养模式总是跟不上专业发展的脚步。现阶段的教学方式培养不出高素质人才,只有让学生积极主动地去发现去研究,通过自身的学习实践结合才能使学生