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摘 要:人教版九年级:“用函数观点看一元二次方程”,是代数与几何知识有机结合的亮点;是初、高中数学知识的衔接点,是初中数学的重要内容,是学业水平考试的重点考察内容之一。用函数观点看一元二次方程要把握以下两点:一是用函数思想看方程;二是用方程思想看函数。
关键词:二次函数;一元二次方程;数学思想方法
二元一次方程是初中阶段最重要的一个代数知识,对二次函数与一元二次的教学,许多教师都感到难以把握,综合其原因主要有如下两点:一是本节教学内容牵扯到了的知识点较多,有相当数量的学生对旧的知识点掌握本身就不是特别牢固,教师对教学的深浅度不太容易把握;二是本节运用了各种教学方法,有函数、方法、类比、分类讨论、数形结合思想等,这都是初中数学中对学生所要培养的重要思想。可以说本节内容是初中代数各种知识与思想的集中展现,是初中代数内容的一个总结。
“用函数观点看一元二次方程”,是代数与几何知识有机结合的一个亮点,是初中、高中知识的一个衔接点,是初中数学的重要内容,是初中学业水平考试重点考察的内容之一,因此,全面掌握二次函数的基础知识和基本技能,并能分析和解决有关二次函数的综合问题,合理利用他们之间代数关系是学生必备知识。
一、二次函数与一元二次方程的联系
方程和函数有着不可分割的联系,用函数观点看一元二次方程要把握好以下两点:1、用函数的思想看方程;即函数值y=0(即图像上的点在x轴上),函数即转化为一元二次方程方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标。2、用方程的思想看函数;即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,这两点间的距离AB=|x1-x2|,另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A|(A为其中一点的横坐标;当b2-4ac=0,图像与轴只有一个交点;当b2-4ac<0,图像与x轴没有交点,当a>0时,图像落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图像落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0。
二、还需要掌握用待定系数法求二次函数的解析式
(一)当题给条件为已知图像经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0)。
(二)当题给条件为已知图像的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)2+k。
(三)当题给条件为已知图像与轴的两个交点坐标时,可设解析式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
二次函数知识很容易与其他知识综合应用,形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是初中学业水平考试的热点考题,往往以压轴题的形式出现。
三、二次函数与一元二次方程的综合解题
初中代数中的二次函数与一元二次方程的关系十分密切。我们在教学学习时,以熟练地蒋这两部份知识相互转化。二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0从形式上看十分相似,但两者之间既有联系又有区别。当抛物线的y的值为0时,就得到一元二次方程。抛物线与x轴是否有交点就取决于一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况。
例1、求抛物线y=x2+6x+9与x轴的两个交点。
【分析】令y=0,根据y=x2+6x+9的根来确定抛物线与x轴的交点的横坐标。
解:令y=0,则x2+6x+9=0的解方程得:x1=3,x2=-3
∴抛物线y=x2+6x+9与x轴的两个交点坐标为:(3,0)(-3,0)
例2、已知二次函数
(1)y=x2+2x+k-1若抛物线与x轴有两个不同的交点,求k的取值范围。
(2)若抛物线的顶点在x轴上,求k的取值。
【分析】此题的关键是利用二次函数与一元二次方程的关系来解,当抛物线与轴有两个不同的交点,可利用b2-4ac>0来确定k的取值范围。当抛物线的顶点在x轴上,说明抛物线与x轴只有一个交点,可利用b2-4ac=0来确定k的取值。解: x2+2x+k-1=0
(1)△=22-4(k-1)=4-4 k+4=8-4 k>0
∴当k<2时,抛物线与x轴有两个不同的交点。
(2)△=8-4 k=0 ∴当k=2时,抛物线的顶点在x轴上。
例3、已知函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+2=0的根的情况( )
A、无实数根 B、 有两个相等的实数根C、 有两个异号实数根 D、有两个同号不等实数根
【解析】因为ax2+bx+c+2=0
所以 ax2+bx+c=-2,设y1=ax2+bx+c, y2=-2,因为 y1=ax2+bx+c,的图像如图2,-3<-2<0,所以 x1>0, x2>0 且 x1≠x2
所以方程ax2+bx+2=0有两个同号不等的实数根。选D。
评析:本题解题的关键是通过把方程ax2+bx+2=0与抛物线y1=ax2+bx+c比较后,把已知方程转化为两个函数值相等的形式,再利用这两个函数图像的交点的横坐标就是这个方程的解的关系,来判别方程两实数根的情况。
总之,教学和学习这节内容,要充分运用以下两种思想方法:一是函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图像和性质等更高层次的提练和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出带有观念的指导方法;二是数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化、几何问题可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。在学生理解二次函与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图像、性质去解决现实生活中一些问题。进一步培养学生综合解题的能力,在整个这个章节学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学数学的重要意义。是教学难点,相信通过教师采取积极的教学策略,定会取得满意的教学效果。
参考文献:
[1]数学教师用书九年级(人民教育出版社).
[2]数学课程标准(人民教育出版社).
[3]云南教育2012年中考面对面(陕西科学技术出版社).
[4]考王——中考部复习(数学)(云南人民出版社).
关键词:二次函数;一元二次方程;数学思想方法
二元一次方程是初中阶段最重要的一个代数知识,对二次函数与一元二次的教学,许多教师都感到难以把握,综合其原因主要有如下两点:一是本节教学内容牵扯到了的知识点较多,有相当数量的学生对旧的知识点掌握本身就不是特别牢固,教师对教学的深浅度不太容易把握;二是本节运用了各种教学方法,有函数、方法、类比、分类讨论、数形结合思想等,这都是初中数学中对学生所要培养的重要思想。可以说本节内容是初中代数各种知识与思想的集中展现,是初中代数内容的一个总结。
“用函数观点看一元二次方程”,是代数与几何知识有机结合的一个亮点,是初中、高中知识的一个衔接点,是初中数学的重要内容,是初中学业水平考试重点考察的内容之一,因此,全面掌握二次函数的基础知识和基本技能,并能分析和解决有关二次函数的综合问题,合理利用他们之间代数关系是学生必备知识。
一、二次函数与一元二次方程的联系
方程和函数有着不可分割的联系,用函数观点看一元二次方程要把握好以下两点:1、用函数的思想看方程;即函数值y=0(即图像上的点在x轴上),函数即转化为一元二次方程方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标。2、用方程的思想看函数;即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,这两点间的距离AB=|x1-x2|,另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A|(A为其中一点的横坐标;当b2-4ac=0,图像与轴只有一个交点;当b2-4ac<0,图像与x轴没有交点,当a>0时,图像落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图像落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0。
二、还需要掌握用待定系数法求二次函数的解析式
(一)当题给条件为已知图像经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0)。
(二)当题给条件为已知图像的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)2+k。
(三)当题给条件为已知图像与轴的两个交点坐标时,可设解析式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
二次函数知识很容易与其他知识综合应用,形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是初中学业水平考试的热点考题,往往以压轴题的形式出现。
三、二次函数与一元二次方程的综合解题
初中代数中的二次函数与一元二次方程的关系十分密切。我们在教学学习时,以熟练地蒋这两部份知识相互转化。二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0从形式上看十分相似,但两者之间既有联系又有区别。当抛物线的y的值为0时,就得到一元二次方程。抛物线与x轴是否有交点就取决于一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况。
例1、求抛物线y=x2+6x+9与x轴的两个交点。
【分析】令y=0,根据y=x2+6x+9的根来确定抛物线与x轴的交点的横坐标。
解:令y=0,则x2+6x+9=0的解方程得:x1=3,x2=-3
∴抛物线y=x2+6x+9与x轴的两个交点坐标为:(3,0)(-3,0)
例2、已知二次函数
(1)y=x2+2x+k-1若抛物线与x轴有两个不同的交点,求k的取值范围。
(2)若抛物线的顶点在x轴上,求k的取值。
【分析】此题的关键是利用二次函数与一元二次方程的关系来解,当抛物线与轴有两个不同的交点,可利用b2-4ac>0来确定k的取值范围。当抛物线的顶点在x轴上,说明抛物线与x轴只有一个交点,可利用b2-4ac=0来确定k的取值。解: x2+2x+k-1=0
(1)△=22-4(k-1)=4-4 k+4=8-4 k>0
∴当k<2时,抛物线与x轴有两个不同的交点。
(2)△=8-4 k=0 ∴当k=2时,抛物线的顶点在x轴上。
例3、已知函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+2=0的根的情况( )
A、无实数根 B、 有两个相等的实数根C、 有两个异号实数根 D、有两个同号不等实数根
【解析】因为ax2+bx+c+2=0
所以 ax2+bx+c=-2,设y1=ax2+bx+c, y2=-2,因为 y1=ax2+bx+c,的图像如图2,-3<-2<0,所以 x1>0, x2>0 且 x1≠x2
所以方程ax2+bx+2=0有两个同号不等的实数根。选D。
评析:本题解题的关键是通过把方程ax2+bx+2=0与抛物线y1=ax2+bx+c比较后,把已知方程转化为两个函数值相等的形式,再利用这两个函数图像的交点的横坐标就是这个方程的解的关系,来判别方程两实数根的情况。
总之,教学和学习这节内容,要充分运用以下两种思想方法:一是函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图像和性质等更高层次的提练和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出带有观念的指导方法;二是数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化、几何问题可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。在学生理解二次函与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图像、性质去解决现实生活中一些问题。进一步培养学生综合解题的能力,在整个这个章节学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学数学的重要意义。是教学难点,相信通过教师采取积极的教学策略,定会取得满意的教学效果。
参考文献:
[1]数学教师用书九年级(人民教育出版社).
[2]数学课程标准(人民教育出版社).
[3]云南教育2012年中考面对面(陕西科学技术出版社).
[4]考王——中考部复习(数学)(云南人民出版社).