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傅立叶是谁
“傅立叶级数”,远比傅立叶有名,不过法国多事之秋中的数学家傅立叶其人,也有不少故事。
傅立叶(Jean-Baptiste Joseph Fourier,1768-1830),出生于离巴黎不远的小城欧塞尔(Auxerre)的一个裁缝之家。九岁成了孤儿之后,进入本笃会(Benedictines)修道院,又在本地的一所军事学校继续读书,开始爱上了数学。他在教室里到处捡人家丢弃的蜡燭头,晚上好接着钻研数学。十三四岁的时候,他已经自学完了贝祖定理,成了校中的学霸,不要说数学,连歌唱都拿了奖,他的理想是凭成绩进入军事学校学工程。不过,这个快乐、敏捷的孩子十六岁之后患上了哮喘病,不得不花整整一年的时间休养。此外,军事学校要求必须出身贵族才能继续学习军事工程,这样,他被军事学校狠狠地拒绝了,“哪怕他是第二个牛顿”,官员这样说。
军事学校的路子被堵死了,但二十出头的傅立叶找到机会在欧塞尔的一所修道院里教数学。当时的法国修道院往往是教育、科研的场所,有些修道院在后来的法国大革命中被关闭,也有的因为拥有雄厚的教育实力而幸免于难。傅立叶所在的修道院就是这样,平安度过了动乱期,只是他在这里并不开心。当时,在家长们的要求下,拉丁文已经渐渐让位给数学,虽然是数学控,但傅立叶很不满意学校放弃拉丁文,他终生都爱读人文书籍。此外,他在写给朋友的信中还不断抱怨,本来是要献身于研究和信仰,不料每天面对的都是鸡毛蒜皮和种种摩擦。他每天的生活很有规律,但没什么自己的生活。日日无书可读,他曾经就用一本残缺的蒙田来消磨时日。他在日记中写道:“昨天是我二十一岁生日,牛顿和帕斯卡已经成就斐然的年纪。”
一七九二年,法国大革命处在高潮,人心惶惶,不过安静的小城欧塞尔并没有受到很大的影响。后来形势突变,欧塞尔不再宁静,傅立叶突然决定投身本地的政治,而此时过了九月,革命又进入恐怖时期。他萌生了退意,但为时已晚,很难抽身了。他被派到奥尔良执行任务,中间卷入了一些冲突,细节并没有太多记录,但他在日记中说:“绝对没有违背大革命的原则。” 到底什么是大革命的原则呢?这即使在雅各宾派的核心之内也有异议。在王后和一些吉伦特派成员被送上断头台之后的高压环境里,傅立叶处境危险,幸好有人力保才没有被当作敌人。此时人人自危,命如草芥,断头台下前仆后继。
而后傅立叶回到了欧塞尔,当上了欧塞尔革命委员会的头领,拥有了那么一点点自保的特权。大革命爆发的这两年里,近二十万法国公民在《嫌疑犯法令》(Law Of Suspects)之下被捕,一万七千多人被处死。一七九四年十月,傅立叶也被逮捕了,有人说他“不适合公职”。他被释放后又被重新逮捕,罪名起源是在奥尔良的一次运动中,他站队到无裤党(Sans-culottes,又称“无套裤汉”,原意指法国下层阶级老百姓,也指大革命早期的激进主义者)那边,被罗伯斯庇尔的人视为威胁。此时恐怖气氛愈演愈烈,杀人如割韭菜,二十六岁的他,在死亡恐惧中度日如年。万幸的是,几天以后罗伯斯庇尔自己被送上了断头台。消息抵达欧塞尔之后,包括傅立叶在内的许许多多身处危险的人都松了口气。又煎熬了一个月,他才被释放。
此时傅立叶虽然仍然有政治职务在身,但终于当上了欧塞尔学院的数学教授。不过,后来他被法国师范学院(那时还不叫高等师范学院)录取,就来到了恐怖气氛未除的巴黎。进了学校,傅立叶如鱼得水,他遇到了拉普拉斯、拉格朗日、蒙日这些一流数学家。
在这里,他总算是远离政治,并且恨不得把“革命”的过往从自己身上洗清了。可他毕竟是革命委员会的前主席,人家可没忘记旧账。有消息传来,说因为恐怖时期跟权力相联系的过往,他可能会被学校开除。不久,他果然再次被捕。他要求公审,并申明自己在欧塞尔任职期间,从未加害于人,从未允许和参与恐怖的屠杀;相反,他自己倒险些被极端的革命者送上断头台。他救过不少无辜者,当然,不可避免地,也签署过很多人的逮捕证。他申辩说,他们以为以我的位置,可以拯救所有人。讽刺的是,现在指控他的人,有一些属于他支持的无裤党,不久前傅立叶还因为他们而入狱。最终,他又被糊里糊涂地给放了出来。回学校教书的时候,中央公共工程学院(?cole centrale des travaux publics)已更名为巴黎综合理工学院(?cole Polytechnique)。他自然继续夹起尾巴做人,这位前雅各宾派热血青年闭口不再提革命。
一七九八年,拿破仑将军要出征埃及(并且有着“科学考察”的目的),征召了一批科学家、学者甚至艺术家,仅仅巴黎综合理工学院就有不少人,傅立叶也作为数学家应征。士兵去了三万人,一共出动十八艘船。顺便说一下,混血的骑兵军官托马·亚历山大·仲马也在其中,他是贵族和黑奴的孩子,一生跌宕传奇,而他的儿子,就是写了《基度山伯爵》的大仲马。
话说这开往埃及的海路极为漫长,拿破仑每每不晕船的时候,都会召人来谈谈科学问题,后来演变成一个“开罗学会”,傅立叶任秘书。旅途极为艰苦危险,一度与大陆断了联系。种种坎坷之中,拿破仑仍然定期跟学会的人见面。这个学会不仅是为推进关于埃及的研究,某种程度上也是拿破仑的智囊团,讨论的问题从在当地酿啤酒到造风车,无所不包。科学家和学者对这种生活深感兴奋,比如傅立叶听到传闻说要撤离开罗的时候,直追着蒙日等人到大街上理论;同行者中却也有人追着拿破仑苦苦央求带他回法国。
最终,他们还是狼狈兮兮地返回了法国。这次探险在历史上留下了许多话柄,比如给当地人带来了巨大灾难,再比如拿破仑也损失惨重,还抛弃了官兵自己秘密逃回法国,留下个烂摊子。他曾经许诺让每位士兵带回六亩地的财产,其实最终能幸运回去的人,能带回一些“传说”和一点战利品就不错了。而拿破仑此行,对埃及古文化、象形文字的研究、“埃及学”的创立所作的贡献,倒是彪炳后世。傅立叶在这里的时光,从表面看只是履行使命,认真整理开罗当地的地理和文物资料,日后出版了一册详细的《埃及记叙》(Description de l'?gypte)。今天的科学学生们,谁能想到数学家傅立叶竟然是“埃及学”的创始人之一。 三年后,三十三岁的傅立叶被拿破仑任命为伊泽尔省(Isère)的省长(Prefect,当时的法国共有八十三个省),可他本来是打算回师范学院继续当数学教师的。没有办法,他只得硬着头皮上任,工作很多很杂,从城市的排水到修路,还在省会格诺伯勒成立了“艺术与科学学会”,政绩极出色。正是从这段时间开始,他对热传导产生了兴趣。他身体不好,总要待在温暖的房间里,而从炎热的埃及回到寒冷的伊泽尔省之后,健康更加糟糕,他得尽力维持房间的温度。大约是出于这样的原因,热在固体中的传导、扩散一直是他喜欢思考的问题。一八○七年,这位年轻省长的政绩中,居然增添了一篇记载于史册的热学论文—《热在固体中的传播》。这是他一生看重的热传导研究的开始。
在成功的仕途中,傅立叶并不快乐。他的数学家师友们大多在巴黎,他们都知道傅立叶渴望回归数学圈子,也都尽力建议拿破仑放傅立叶回学校教书,但拿破仑充耳不闻。很多人悄悄猜测,大约傅立叶曾经力挺过拿破仑的一个政敌。看上去,傅立叶得在伊泽尔省做到退休了。
命运却出现了转折。一八一四年,普鲁士、俄国等国的盟军攻入巴黎,拿破仑打了败仗(此时距上次外国军队攻入巴黎已经有二十年了),伊泽尔省被奥地利军队围困。而此时,拿破仑在被流放到厄尔巴岛的路上,正好要途经这里。这可尴尬了,作为省长不能不迎接,但怎么面对失势的旧主呢?躲起来不站队也不可能。傅立叶没有好办法,懊丧地等待那一刻。不过到了那一天,消息突然传来,拿破仑绕道而行,不经过这里了。傅立叶终于松了口气。不过有人发现,其实这是傅立叶自己“争取”到的福利,他试着放风给拿破仑,说欢迎人群可能太多,有些危险云云。
这段时间里,被砍头的路易十六的弟弟,从大革命时期就流亡在外的路易十八已经回到法国,波旁王朝复辟。风头突变,谁都摸不准形势。一八一五年二月,傅立叶突然收到邻省省长来信,拿破仑又带着一千多人来格勒诺布尔了。怎么办呢?傅立叶这次不能再躲了,赶紧跟市民申明“必须跟国王一条心”,违者必究。最后,拿破仑还是让人强行打开大门,此时傅立叶已经从另一个门消失掉了,给拿破仑留下一封信,说实在无奈,必须对国王尽忠,希望旧主海涵。后来,拿破仑从厄尔巴岛逃回,建立了“百日王朝”。拿破仑对傅立叶记恨不浅,把他伊泽尔省长的职务停掉,并派他到里昂。不久,傅立叶就在官员们的人际斗争中落败、辞职。拿破仑给了傅立叶一笔退休金,让他告老还乡了事。
傅立叶终于摆脱了案牍劳形的生活,回到巴黎,跟数学家拉普拉斯、蒙日等人再次聚首。此时风云再变,拿破仑战败,法国又复辟成了波旁王朝,傅立叶的退休金被废止。恐怖时期又開始了,只是换了个方向:前雅各宾派、拿破仑党都受到保皇党的迫害。最后,在一个熟人,也是埃及之行的同僚之一的帮助下,傅立叶争取到小笔收入,就是在塞纳的统计局获得一份监管之职。而忠诚地跟随拿破仑出征埃及,后来又兢兢业业为法国高等教育尽力的蒙日,则没那么幸运。他被驱逐出科学院,死于潦倒。
傅立叶此时希望自己能逐渐恢复在科学界的地位,比如进入法兰西科学院,另外申请一份比较舒服的待遇,起码恢复拿破仑批准的退休金,这些都被国王无情地否决了。虽然,他当年卷入雅各宾派的污点没有遭到“再度曝光”,但他在拿破仑百日王朝这段时间对旧主有所支持,虽然最终与拿破仑反目,但新国王显然更反感他,傅立叶就这样被两方唾弃。为了争取一份体面的待遇,他经历了一场痛苦的拉锯战。傅立叶在写给法国内政部的信中指出,自己当年主持《埃及记叙》的编订,耗尽心力也没拿到报酬;在伊泽尔省为了排水工程自掏腰包也没有报销。拖到一八一六年,傅立叶似乎有机会进入法兰西科学院,却被国王无情地否决了,之后傅立叶不断地申诉,他的朋友也不断地向国王请求、解释。又过了一年,科学院的物理分支有了个空缺,傅立叶在五十票中获得四十七票,再加上朋友大力活动、推荐,终于进来了。至此,他终于拿到了一笔稳定的收入,也算正式进入了科学圈子,这才可以全心全意地工作了。
一八二二年,法兰西科学院的永久秘书长去世,傅立叶众望所归,当选为新秘书长。不久,拉普拉斯去世。此时法国数学界依然活跃,除了身居高位的泊松,还有江湖之外的高人柯西、伽罗华和阿贝尔。科学界虽然有不少名位之争,大师有时也会打压异己,但法国在如此乱世之中取得的科学成就十分惊人,如今一个普通的工程、科学类高中生、大学生在教科书中都会屡屡遭遇那个时代的法国科学家的名字,从微积分到概率论,从电流单位到复数概念。
傅立叶终身未婚,似乎也无心属之人,后人只在他的信件中读到他多次提及自学成才的数学家索菲亚·热尔曼(Marie-Sophie Germain,1776-1831)。在一封写给法兰西学院推荐索菲亚的信中,他说:“这位罕见的优秀又美丽的女士配得上您对她的关注。我温柔地爱着她,并且深深感激您为她所做的一切。”这些蛛丝马迹,就是傅立叶存世的全部浪漫史。
一八三○年,他当选为瑞典皇家科学院外籍院士,也陆续获得了很多荣誉,但身体愈加糟糕,类风湿愈加严重,几乎不能出门,只能裹着厚厚的毛衣待在家里,后来连呼吸都愈加困难。在最后的日子里,他得把自己包裹得像个大匣子,只有头和胳膊伸出来,才能工作。只要有可能,他还是疯狂地工作。当年这个有野心的年轻人在日记里写道:“昨天是我二十一岁生日,是牛顿和帕斯卡已经成就斐然的年纪。” 现在一切都不同了,他的时光已经耗尽。
当年三月,他突然在楼梯上跌倒,两星期后去世。
什么是傅立叶级数
以上是数学家傅立叶的故事。不过在生命的大部分时段,傅立叶不是专业数学家,而是一个仕途平静的地方官员,爱数学,爱生活,兢兢业业完成各种任务,同时一生受疾病所扰,最终天不假年。他因为时代之故卷入了政治,一生沉浮非己身所能左右,但很幸运地苟全于乱世,最终在数学圈子里获得了教职,跟很多一流数学家都有交流。数学家傅立叶的精神世界,其实远比那个作为军官、政治家的傅立叶要精彩得多。 我们今天生活的方方面面,都没有逃脱傅立叶级数的影响。
让我们以声波为例,介绍傅立叶最重要的数学成就“傅立叶级数”(包括傅立叶变换、傅立叶分析)。大家都知道声音是由物体在媒介(常常是空气)中的振动产生的,声波的几个彼此独立的要素有振动周期(波峰到下一个波峰的时间长度)、频率(每秒振动次数)和振幅(跟响度成正比)。因为现成的正弦和余弦公式完美简洁地表达了周期性,所以人们借用这个工具来描述波形。真正的振动过程是复杂的,比如音乐中的拨弦乐器:
但是,正弦/余弦函数表达的波形,并不能直接画出这个手指拨出的“尖角”,它一定是各种波形复合的产物。所以上图的拨弦,产生的声波如下图(横轴为时间,纵轴为振幅)。
但也有些时候(比如需要取出或者过滤某个频率的声音),频率成为纵坐标。而某个“凌乱”的频率波形终将分解成若干“纯净”的三角函数之和:
f (t) = a0 + a1cosωt + b1sinωt + a2cos2ωt + b2sin2ωt + a3cos3ωt + b3sin3ωt+…
也就是f (t) = a0+∑∞(n=1) (ancosnωt + bnsinnωt)(这里ω是角速度)而a0、a1、b1、a2这些系数都必须求出来。傅立叶提供了十分巧妙优雅的解法(所以这些系数也被称为傅立叶系数),有兴趣的读者可以轻易搜索到它。
关于声波的叠加,这里只举个实际的例子,几种乐器的声波(想象一下,纵轴为频率,横轴为时间):
它们分别是长笛、双簧管和小提琴的声波。为什么三种乐器在演奏同一个音的时候会呈现非常不同的音色?而上述求和公式就告诉我们,每个分量前面那个系数不同,也就是有多少个四百赫兹、多少个六百赫兹、多少个八百赫兹……组合不同,声波的形状就不同,音色也就不同,而占据主导的那个频率,正是我们所说的基音频率,也就是乐器上你正在弹(拨、拉)出的那个音,至于它的泛音,应该是另一篇文章的话题了。
那么,在上述的求和公式f (t)中,正弦和余弦明明是两个相关的函数,为什么不合二为一?感谢天才的瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783),不仅发明了e这个神奇的自然常数,还发现了e、复数和三角函数之间的关系,这就是欧拉公式:
cosθ + isinθ = eiθ
话说复数这个如今高中生也要费点思量去理解的概念,十六世纪的意大利人卡尔达诺(Gerolamo Cardano,1501-1576)就已经提出来了,而它真正完善成我们所知的样子,经历了两百余年。
这样,含有正弦、余弦的求和公式在無限时间域内统一为含有e的表达—
原本是频率的f (x),变成另一个变量ξ的函数,时间变量不复存在,因为它整合进了ξ的函数。当然,这个积分并不容易求,所以渐渐有了各种算法去逼近它。但关键在于,不管你有一个什么样弯弯曲曲的周期连续函数f (x)(哪怕它不是周期函数,也可以在一定条件下用求极限的方式转换为周期函数),都能表达成一个积分(在离散条件下,就是求和)公式,f (x)就这样被“化解”了。在实际应用中,时间域有限,你能用一系列正弦函数和余弦函数的和来逼近这个弯弯曲曲的f (x),而所谓“滤波”、去噪音的过程,都是应用它的结果。而那个谜底f (x),产生傅立叶系列的“原初”连续函数,也可以在合适的条件下用积分还原,所谓逆变换。比较一下上面的公式,两者显示出惊人的对称:
上面说到坐标系,横坐标为时间,纵坐标为频率,但也可以有别的表达方式,比如极坐标系,任何一点都可以通过用它从原点旋转的角度和距原点的距离来表示。如果用它来描述波形运动和傅立叶变换的话,任何一个形状的图案,都可以叠加若干直径的小圆圈(叠加即为向量求和)画出来。下图是一个视频的截图,人脸就是这样画出来的。左上部一团小圆圈,正是运动着勾画出人脸细部的步骤,是傅立叶级数叠加的过程。万物皆圆,多么迷人的过程:
这样一来,许许多多的数据变化形态,都可以被模拟。声音、电流不用说,地震、心跳、血流、股票、气象也都不在话下;任何看上去高低不平的噪音式波形,都可以乖乖地分解成若干个整整齐齐的,带有系数的周期性三角函数波形的叠加,它们也可以组装成原来的样子。这中间会有一些“约等于”造成的信息损耗,不过一般可以达到我们需要的精度。
尽管这些公式初看十分复杂抽象,但其实相对于真实而言,公式都是描摹世界的极简版。你我随便拨一下琴弦、敲一下鼓,在这个世界上造成的变化远比这些公式复杂得多。公式们要么大刀阔斧,对细节视而不见,要么高屋建瓴,对混乱表象只取平均值,才有了我们对世界牙牙学语般的初级认识,也才有了种种粗糙模仿。无数电子设备、电声乐器,都源于此。傅立叶级数帮人分析、模拟音响,也可以创造出自然中不存在的音响,整个电子音乐产业,没有傅立叶级数就不会存在。
最为有趣的是,虽然傅立叶变换这个数学工具不过存在了两百多年,但自古以来,人耳却一直依靠自己的生理结构顽强地做着“傅立叶变换”,这才有了人类以及多数哺乳动物对音乐、声音的接收。这个结构大概来说就是耳蜗(cochlea)中锥形的基底膜(basilar membrane),不同的“地段”有不同的宽度、厚度和硬度(也就是从硬的一端渐渐变软变细),这些物理性的区别会形成不同的振动,硬的一端频率较高,沿着基底膜递减。膜上有很多毛细胞,它们对不同的振频有不同的反应,把电势能通过神经细胞输送给大脑。膜外也有毛细胞,可以把大脑的取舍、调整反馈回来。注意,基底膜的物理形态就是把声波做出“傅立叶变换”的关键。而大脑那一端对声音的处理就复杂多了,习惯、训练、文化环境都会影响它。
万物有波
傅立叶的名字,最终刻上了埃菲尔铁塔。塔上的七十二个名字中,还有柯西、蒙日、泊松、拉普拉斯、拉格朗日等数学家,他们都经历了法国大革命及拿破仑时代,多少都受到政治的影响。而那时的军事热情也推动了应用数学的发展,从这个角度来说,傅立叶的发现也离不开那个时代。 不过,他最早感兴趣的题目是热传导。他对温度、热传导的话题真是从不疲倦,如今的“温室效应”也是他提出的。他早年最有影响的、获得法兰西科学院大奖的论文就是关于热的解析。所谓傅立叶级数,正是在热传导方程的求解过程中提出来的。傅立叶研究热学的路漫长而曲折,最早因为“观点不够原创,前人已经提出来了”,遭到泊松、拉普拉斯等人的质疑,傅立叶在压力之下不断寻求改进,写出了好几篇重要论文,最后被逼出来最有意义的用三角函数拆解一般函数的结果,为后来的数学发展打开了一扇大门。
当然,如今的傅立叶变换理论,并不完全出自傅立叶之手,许多前人、后人都对它有所贡献,傅立叶本人的论证,甚至有一些错误,但他提出了本质的思想,尤其是解决了波形的一般性表达,故居功至伟。而声波的分解和叠加,是傅立叶变换的典型应用之一,它的精彩之处在于它体现了许许多多事物的核心,以及那种万物归一的力量。常常,在一个用求和来“模拟”波形的过程中,当n=1,2,3的时候,被转换的函数的形状离原函数似乎全不搭界,当n逐渐增加之后,却渐渐如同精细的手工描绘一样逼近。又因为可以双向转化,我们可以把一段音频分解之后,去掉一个高音频再重组。这样看来,声音甚至音乐,反倒一点也不特殊了,至于音乐的电子化、数字化,只是水到渠成而已。傅立叶系列,确实揭示了一部分音樂的秘密,它将声音的传播方式工业化,也改变了音乐工业化的进程。在欧洲文明里,音乐曾经有着那么神圣和根本的地位,而如今对它的模拟和再现都成为可能。音乐和数学,有着天然本质的联系,或许仅仅是因为,数学形式在世上无所不在。
从欧洲的启蒙时代开始,人愈加自信甚至狂妄,因为科学似乎无所不能;可同时人也变谦卑了,因为会更客观地看自身,知道自然并非为取悦人而存在。物理学研究声音,就应该面对各种声音(包括人听不见的振动),而非“好听的声音”,所以科学家的研究,从对和声、和谐的认知变成声学,数学和音乐的分裂已经不可避免。到了二十世纪,学科越来越细,却也越来越多,有一部分就来自传统学科的交叉,所以有了“计算音乐”这么个分支。数学家们发现,一些音乐现象和作品,是可以用数学来解释的,比如音阶的七个音,天然可以用离散傅立叶级数来表达;许多计算音乐领域内的论文,直接涉及音乐分析,比如一些音乐中能量和情感爆发的状态,在数学上也能够观察和预测,并体现数学意义。尤其是二十一世纪,用傅立叶分析来研究音乐的方向相当红火,并非危言耸听,作曲家真的可以从空间、几何等方面认知吸收一些灵感了。
幸好,科学能解构、能建构、能分解、能模拟,人世却是动态的,算法之网恢恢,人尚有逃逸的空间。傅立叶变换并未将声音尤其是音乐的秘密一网打尽。人脑仍然会给声音施加生理和文化的影响,比如对音乐会“脑补”出一些并不存在的频率,有时人耳感觉最舒服的未必是数学预测最完美的,等等,更不要提倾听习惯软化困难的力量。尤其是,数学细节之美,尚未普遍内化为大脑的快乐,“远古大脑”们仍然高高兴兴地拥抱故事、图像、旋律等感性的幸福,科学苦口婆心也未必能说服它。科学在进步,AI在扩张,我们不断发现自己可以控制和模拟的事物,同时也不断发现新死角,两者竞赛,即便前者胜券在握,后者只剩被围剿的命运,人类的“龟爬”尚有时日残喘吧。
参考文献:
Joseph Fourier: The Man and the Physicist, by John Herivel, Oxford University Press, 1975;
Measured Tones: The Interplay of Physics and Music, by Ian Johnston, CRC Press, 2009;
Music Through Fourier Space: Discrete Fourier Transform in Music Theory, by Emmanuel Amiot, Springer, 2016;
Music: A Mathematical Offering, by David Benson, Cambridge University Press, 2013;
Physics and Music: The Science of Musical Sound, by Harvey E. White, Dover Publications, 2014;
Who Is Fourier? A Mathematical Adventure, by Transitional College of LEX, Language Research Foundation, 2012.
“傅立叶级数”,远比傅立叶有名,不过法国多事之秋中的数学家傅立叶其人,也有不少故事。
傅立叶(Jean-Baptiste Joseph Fourier,1768-1830),出生于离巴黎不远的小城欧塞尔(Auxerre)的一个裁缝之家。九岁成了孤儿之后,进入本笃会(Benedictines)修道院,又在本地的一所军事学校继续读书,开始爱上了数学。他在教室里到处捡人家丢弃的蜡燭头,晚上好接着钻研数学。十三四岁的时候,他已经自学完了贝祖定理,成了校中的学霸,不要说数学,连歌唱都拿了奖,他的理想是凭成绩进入军事学校学工程。不过,这个快乐、敏捷的孩子十六岁之后患上了哮喘病,不得不花整整一年的时间休养。此外,军事学校要求必须出身贵族才能继续学习军事工程,这样,他被军事学校狠狠地拒绝了,“哪怕他是第二个牛顿”,官员这样说。
军事学校的路子被堵死了,但二十出头的傅立叶找到机会在欧塞尔的一所修道院里教数学。当时的法国修道院往往是教育、科研的场所,有些修道院在后来的法国大革命中被关闭,也有的因为拥有雄厚的教育实力而幸免于难。傅立叶所在的修道院就是这样,平安度过了动乱期,只是他在这里并不开心。当时,在家长们的要求下,拉丁文已经渐渐让位给数学,虽然是数学控,但傅立叶很不满意学校放弃拉丁文,他终生都爱读人文书籍。此外,他在写给朋友的信中还不断抱怨,本来是要献身于研究和信仰,不料每天面对的都是鸡毛蒜皮和种种摩擦。他每天的生活很有规律,但没什么自己的生活。日日无书可读,他曾经就用一本残缺的蒙田来消磨时日。他在日记中写道:“昨天是我二十一岁生日,牛顿和帕斯卡已经成就斐然的年纪。”
一七九二年,法国大革命处在高潮,人心惶惶,不过安静的小城欧塞尔并没有受到很大的影响。后来形势突变,欧塞尔不再宁静,傅立叶突然决定投身本地的政治,而此时过了九月,革命又进入恐怖时期。他萌生了退意,但为时已晚,很难抽身了。他被派到奥尔良执行任务,中间卷入了一些冲突,细节并没有太多记录,但他在日记中说:“绝对没有违背大革命的原则。” 到底什么是大革命的原则呢?这即使在雅各宾派的核心之内也有异议。在王后和一些吉伦特派成员被送上断头台之后的高压环境里,傅立叶处境危险,幸好有人力保才没有被当作敌人。此时人人自危,命如草芥,断头台下前仆后继。
而后傅立叶回到了欧塞尔,当上了欧塞尔革命委员会的头领,拥有了那么一点点自保的特权。大革命爆发的这两年里,近二十万法国公民在《嫌疑犯法令》(Law Of Suspects)之下被捕,一万七千多人被处死。一七九四年十月,傅立叶也被逮捕了,有人说他“不适合公职”。他被释放后又被重新逮捕,罪名起源是在奥尔良的一次运动中,他站队到无裤党(Sans-culottes,又称“无套裤汉”,原意指法国下层阶级老百姓,也指大革命早期的激进主义者)那边,被罗伯斯庇尔的人视为威胁。此时恐怖气氛愈演愈烈,杀人如割韭菜,二十六岁的他,在死亡恐惧中度日如年。万幸的是,几天以后罗伯斯庇尔自己被送上了断头台。消息抵达欧塞尔之后,包括傅立叶在内的许许多多身处危险的人都松了口气。又煎熬了一个月,他才被释放。
此时傅立叶虽然仍然有政治职务在身,但终于当上了欧塞尔学院的数学教授。不过,后来他被法国师范学院(那时还不叫高等师范学院)录取,就来到了恐怖气氛未除的巴黎。进了学校,傅立叶如鱼得水,他遇到了拉普拉斯、拉格朗日、蒙日这些一流数学家。
在这里,他总算是远离政治,并且恨不得把“革命”的过往从自己身上洗清了。可他毕竟是革命委员会的前主席,人家可没忘记旧账。有消息传来,说因为恐怖时期跟权力相联系的过往,他可能会被学校开除。不久,他果然再次被捕。他要求公审,并申明自己在欧塞尔任职期间,从未加害于人,从未允许和参与恐怖的屠杀;相反,他自己倒险些被极端的革命者送上断头台。他救过不少无辜者,当然,不可避免地,也签署过很多人的逮捕证。他申辩说,他们以为以我的位置,可以拯救所有人。讽刺的是,现在指控他的人,有一些属于他支持的无裤党,不久前傅立叶还因为他们而入狱。最终,他又被糊里糊涂地给放了出来。回学校教书的时候,中央公共工程学院(?cole centrale des travaux publics)已更名为巴黎综合理工学院(?cole Polytechnique)。他自然继续夹起尾巴做人,这位前雅各宾派热血青年闭口不再提革命。
一七九八年,拿破仑将军要出征埃及(并且有着“科学考察”的目的),征召了一批科学家、学者甚至艺术家,仅仅巴黎综合理工学院就有不少人,傅立叶也作为数学家应征。士兵去了三万人,一共出动十八艘船。顺便说一下,混血的骑兵军官托马·亚历山大·仲马也在其中,他是贵族和黑奴的孩子,一生跌宕传奇,而他的儿子,就是写了《基度山伯爵》的大仲马。
话说这开往埃及的海路极为漫长,拿破仑每每不晕船的时候,都会召人来谈谈科学问题,后来演变成一个“开罗学会”,傅立叶任秘书。旅途极为艰苦危险,一度与大陆断了联系。种种坎坷之中,拿破仑仍然定期跟学会的人见面。这个学会不仅是为推进关于埃及的研究,某种程度上也是拿破仑的智囊团,讨论的问题从在当地酿啤酒到造风车,无所不包。科学家和学者对这种生活深感兴奋,比如傅立叶听到传闻说要撤离开罗的时候,直追着蒙日等人到大街上理论;同行者中却也有人追着拿破仑苦苦央求带他回法国。
最终,他们还是狼狈兮兮地返回了法国。这次探险在历史上留下了许多话柄,比如给当地人带来了巨大灾难,再比如拿破仑也损失惨重,还抛弃了官兵自己秘密逃回法国,留下个烂摊子。他曾经许诺让每位士兵带回六亩地的财产,其实最终能幸运回去的人,能带回一些“传说”和一点战利品就不错了。而拿破仑此行,对埃及古文化、象形文字的研究、“埃及学”的创立所作的贡献,倒是彪炳后世。傅立叶在这里的时光,从表面看只是履行使命,认真整理开罗当地的地理和文物资料,日后出版了一册详细的《埃及记叙》(Description de l'?gypte)。今天的科学学生们,谁能想到数学家傅立叶竟然是“埃及学”的创始人之一。 三年后,三十三岁的傅立叶被拿破仑任命为伊泽尔省(Isère)的省长(Prefect,当时的法国共有八十三个省),可他本来是打算回师范学院继续当数学教师的。没有办法,他只得硬着头皮上任,工作很多很杂,从城市的排水到修路,还在省会格诺伯勒成立了“艺术与科学学会”,政绩极出色。正是从这段时间开始,他对热传导产生了兴趣。他身体不好,总要待在温暖的房间里,而从炎热的埃及回到寒冷的伊泽尔省之后,健康更加糟糕,他得尽力维持房间的温度。大约是出于这样的原因,热在固体中的传导、扩散一直是他喜欢思考的问题。一八○七年,这位年轻省长的政绩中,居然增添了一篇记载于史册的热学论文—《热在固体中的传播》。这是他一生看重的热传导研究的开始。
在成功的仕途中,傅立叶并不快乐。他的数学家师友们大多在巴黎,他们都知道傅立叶渴望回归数学圈子,也都尽力建议拿破仑放傅立叶回学校教书,但拿破仑充耳不闻。很多人悄悄猜测,大约傅立叶曾经力挺过拿破仑的一个政敌。看上去,傅立叶得在伊泽尔省做到退休了。
命运却出现了转折。一八一四年,普鲁士、俄国等国的盟军攻入巴黎,拿破仑打了败仗(此时距上次外国军队攻入巴黎已经有二十年了),伊泽尔省被奥地利军队围困。而此时,拿破仑在被流放到厄尔巴岛的路上,正好要途经这里。这可尴尬了,作为省长不能不迎接,但怎么面对失势的旧主呢?躲起来不站队也不可能。傅立叶没有好办法,懊丧地等待那一刻。不过到了那一天,消息突然传来,拿破仑绕道而行,不经过这里了。傅立叶终于松了口气。不过有人发现,其实这是傅立叶自己“争取”到的福利,他试着放风给拿破仑,说欢迎人群可能太多,有些危险云云。
这段时间里,被砍头的路易十六的弟弟,从大革命时期就流亡在外的路易十八已经回到法国,波旁王朝复辟。风头突变,谁都摸不准形势。一八一五年二月,傅立叶突然收到邻省省长来信,拿破仑又带着一千多人来格勒诺布尔了。怎么办呢?傅立叶这次不能再躲了,赶紧跟市民申明“必须跟国王一条心”,违者必究。最后,拿破仑还是让人强行打开大门,此时傅立叶已经从另一个门消失掉了,给拿破仑留下一封信,说实在无奈,必须对国王尽忠,希望旧主海涵。后来,拿破仑从厄尔巴岛逃回,建立了“百日王朝”。拿破仑对傅立叶记恨不浅,把他伊泽尔省长的职务停掉,并派他到里昂。不久,傅立叶就在官员们的人际斗争中落败、辞职。拿破仑给了傅立叶一笔退休金,让他告老还乡了事。
傅立叶终于摆脱了案牍劳形的生活,回到巴黎,跟数学家拉普拉斯、蒙日等人再次聚首。此时风云再变,拿破仑战败,法国又复辟成了波旁王朝,傅立叶的退休金被废止。恐怖时期又開始了,只是换了个方向:前雅各宾派、拿破仑党都受到保皇党的迫害。最后,在一个熟人,也是埃及之行的同僚之一的帮助下,傅立叶争取到小笔收入,就是在塞纳的统计局获得一份监管之职。而忠诚地跟随拿破仑出征埃及,后来又兢兢业业为法国高等教育尽力的蒙日,则没那么幸运。他被驱逐出科学院,死于潦倒。
傅立叶此时希望自己能逐渐恢复在科学界的地位,比如进入法兰西科学院,另外申请一份比较舒服的待遇,起码恢复拿破仑批准的退休金,这些都被国王无情地否决了。虽然,他当年卷入雅各宾派的污点没有遭到“再度曝光”,但他在拿破仑百日王朝这段时间对旧主有所支持,虽然最终与拿破仑反目,但新国王显然更反感他,傅立叶就这样被两方唾弃。为了争取一份体面的待遇,他经历了一场痛苦的拉锯战。傅立叶在写给法国内政部的信中指出,自己当年主持《埃及记叙》的编订,耗尽心力也没拿到报酬;在伊泽尔省为了排水工程自掏腰包也没有报销。拖到一八一六年,傅立叶似乎有机会进入法兰西科学院,却被国王无情地否决了,之后傅立叶不断地申诉,他的朋友也不断地向国王请求、解释。又过了一年,科学院的物理分支有了个空缺,傅立叶在五十票中获得四十七票,再加上朋友大力活动、推荐,终于进来了。至此,他终于拿到了一笔稳定的收入,也算正式进入了科学圈子,这才可以全心全意地工作了。
一八二二年,法兰西科学院的永久秘书长去世,傅立叶众望所归,当选为新秘书长。不久,拉普拉斯去世。此时法国数学界依然活跃,除了身居高位的泊松,还有江湖之外的高人柯西、伽罗华和阿贝尔。科学界虽然有不少名位之争,大师有时也会打压异己,但法国在如此乱世之中取得的科学成就十分惊人,如今一个普通的工程、科学类高中生、大学生在教科书中都会屡屡遭遇那个时代的法国科学家的名字,从微积分到概率论,从电流单位到复数概念。
傅立叶终身未婚,似乎也无心属之人,后人只在他的信件中读到他多次提及自学成才的数学家索菲亚·热尔曼(Marie-Sophie Germain,1776-1831)。在一封写给法兰西学院推荐索菲亚的信中,他说:“这位罕见的优秀又美丽的女士配得上您对她的关注。我温柔地爱着她,并且深深感激您为她所做的一切。”这些蛛丝马迹,就是傅立叶存世的全部浪漫史。
一八三○年,他当选为瑞典皇家科学院外籍院士,也陆续获得了很多荣誉,但身体愈加糟糕,类风湿愈加严重,几乎不能出门,只能裹着厚厚的毛衣待在家里,后来连呼吸都愈加困难。在最后的日子里,他得把自己包裹得像个大匣子,只有头和胳膊伸出来,才能工作。只要有可能,他还是疯狂地工作。当年这个有野心的年轻人在日记里写道:“昨天是我二十一岁生日,是牛顿和帕斯卡已经成就斐然的年纪。” 现在一切都不同了,他的时光已经耗尽。
当年三月,他突然在楼梯上跌倒,两星期后去世。
什么是傅立叶级数
以上是数学家傅立叶的故事。不过在生命的大部分时段,傅立叶不是专业数学家,而是一个仕途平静的地方官员,爱数学,爱生活,兢兢业业完成各种任务,同时一生受疾病所扰,最终天不假年。他因为时代之故卷入了政治,一生沉浮非己身所能左右,但很幸运地苟全于乱世,最终在数学圈子里获得了教职,跟很多一流数学家都有交流。数学家傅立叶的精神世界,其实远比那个作为军官、政治家的傅立叶要精彩得多。 我们今天生活的方方面面,都没有逃脱傅立叶级数的影响。
让我们以声波为例,介绍傅立叶最重要的数学成就“傅立叶级数”(包括傅立叶变换、傅立叶分析)。大家都知道声音是由物体在媒介(常常是空气)中的振动产生的,声波的几个彼此独立的要素有振动周期(波峰到下一个波峰的时间长度)、频率(每秒振动次数)和振幅(跟响度成正比)。因为现成的正弦和余弦公式完美简洁地表达了周期性,所以人们借用这个工具来描述波形。真正的振动过程是复杂的,比如音乐中的拨弦乐器:
但是,正弦/余弦函数表达的波形,并不能直接画出这个手指拨出的“尖角”,它一定是各种波形复合的产物。所以上图的拨弦,产生的声波如下图(横轴为时间,纵轴为振幅)。
但也有些时候(比如需要取出或者过滤某个频率的声音),频率成为纵坐标。而某个“凌乱”的频率波形终将分解成若干“纯净”的三角函数之和:
f (t) = a0 + a1cosωt + b1sinωt + a2cos2ωt + b2sin2ωt + a3cos3ωt + b3sin3ωt+…
也就是f (t) = a0+∑∞(n=1) (ancosnωt + bnsinnωt)(这里ω是角速度)而a0、a1、b1、a2这些系数都必须求出来。傅立叶提供了十分巧妙优雅的解法(所以这些系数也被称为傅立叶系数),有兴趣的读者可以轻易搜索到它。
关于声波的叠加,这里只举个实际的例子,几种乐器的声波(想象一下,纵轴为频率,横轴为时间):
它们分别是长笛、双簧管和小提琴的声波。为什么三种乐器在演奏同一个音的时候会呈现非常不同的音色?而上述求和公式就告诉我们,每个分量前面那个系数不同,也就是有多少个四百赫兹、多少个六百赫兹、多少个八百赫兹……组合不同,声波的形状就不同,音色也就不同,而占据主导的那个频率,正是我们所说的基音频率,也就是乐器上你正在弹(拨、拉)出的那个音,至于它的泛音,应该是另一篇文章的话题了。
那么,在上述的求和公式f (t)中,正弦和余弦明明是两个相关的函数,为什么不合二为一?感谢天才的瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783),不仅发明了e这个神奇的自然常数,还发现了e、复数和三角函数之间的关系,这就是欧拉公式:
cosθ + isinθ = eiθ
话说复数这个如今高中生也要费点思量去理解的概念,十六世纪的意大利人卡尔达诺(Gerolamo Cardano,1501-1576)就已经提出来了,而它真正完善成我们所知的样子,经历了两百余年。
这样,含有正弦、余弦的求和公式在無限时间域内统一为含有e的表达—
原本是频率的f (x),变成另一个变量ξ的函数,时间变量不复存在,因为它整合进了ξ的函数。当然,这个积分并不容易求,所以渐渐有了各种算法去逼近它。但关键在于,不管你有一个什么样弯弯曲曲的周期连续函数f (x)(哪怕它不是周期函数,也可以在一定条件下用求极限的方式转换为周期函数),都能表达成一个积分(在离散条件下,就是求和)公式,f (x)就这样被“化解”了。在实际应用中,时间域有限,你能用一系列正弦函数和余弦函数的和来逼近这个弯弯曲曲的f (x),而所谓“滤波”、去噪音的过程,都是应用它的结果。而那个谜底f (x),产生傅立叶系列的“原初”连续函数,也可以在合适的条件下用积分还原,所谓逆变换。比较一下上面的公式,两者显示出惊人的对称:
上面说到坐标系,横坐标为时间,纵坐标为频率,但也可以有别的表达方式,比如极坐标系,任何一点都可以通过用它从原点旋转的角度和距原点的距离来表示。如果用它来描述波形运动和傅立叶变换的话,任何一个形状的图案,都可以叠加若干直径的小圆圈(叠加即为向量求和)画出来。下图是一个视频的截图,人脸就是这样画出来的。左上部一团小圆圈,正是运动着勾画出人脸细部的步骤,是傅立叶级数叠加的过程。万物皆圆,多么迷人的过程:
这样一来,许许多多的数据变化形态,都可以被模拟。声音、电流不用说,地震、心跳、血流、股票、气象也都不在话下;任何看上去高低不平的噪音式波形,都可以乖乖地分解成若干个整整齐齐的,带有系数的周期性三角函数波形的叠加,它们也可以组装成原来的样子。这中间会有一些“约等于”造成的信息损耗,不过一般可以达到我们需要的精度。
尽管这些公式初看十分复杂抽象,但其实相对于真实而言,公式都是描摹世界的极简版。你我随便拨一下琴弦、敲一下鼓,在这个世界上造成的变化远比这些公式复杂得多。公式们要么大刀阔斧,对细节视而不见,要么高屋建瓴,对混乱表象只取平均值,才有了我们对世界牙牙学语般的初级认识,也才有了种种粗糙模仿。无数电子设备、电声乐器,都源于此。傅立叶级数帮人分析、模拟音响,也可以创造出自然中不存在的音响,整个电子音乐产业,没有傅立叶级数就不会存在。
最为有趣的是,虽然傅立叶变换这个数学工具不过存在了两百多年,但自古以来,人耳却一直依靠自己的生理结构顽强地做着“傅立叶变换”,这才有了人类以及多数哺乳动物对音乐、声音的接收。这个结构大概来说就是耳蜗(cochlea)中锥形的基底膜(basilar membrane),不同的“地段”有不同的宽度、厚度和硬度(也就是从硬的一端渐渐变软变细),这些物理性的区别会形成不同的振动,硬的一端频率较高,沿着基底膜递减。膜上有很多毛细胞,它们对不同的振频有不同的反应,把电势能通过神经细胞输送给大脑。膜外也有毛细胞,可以把大脑的取舍、调整反馈回来。注意,基底膜的物理形态就是把声波做出“傅立叶变换”的关键。而大脑那一端对声音的处理就复杂多了,习惯、训练、文化环境都会影响它。
万物有波
傅立叶的名字,最终刻上了埃菲尔铁塔。塔上的七十二个名字中,还有柯西、蒙日、泊松、拉普拉斯、拉格朗日等数学家,他们都经历了法国大革命及拿破仑时代,多少都受到政治的影响。而那时的军事热情也推动了应用数学的发展,从这个角度来说,傅立叶的发现也离不开那个时代。 不过,他最早感兴趣的题目是热传导。他对温度、热传导的话题真是从不疲倦,如今的“温室效应”也是他提出的。他早年最有影响的、获得法兰西科学院大奖的论文就是关于热的解析。所谓傅立叶级数,正是在热传导方程的求解过程中提出来的。傅立叶研究热学的路漫长而曲折,最早因为“观点不够原创,前人已经提出来了”,遭到泊松、拉普拉斯等人的质疑,傅立叶在压力之下不断寻求改进,写出了好几篇重要论文,最后被逼出来最有意义的用三角函数拆解一般函数的结果,为后来的数学发展打开了一扇大门。
当然,如今的傅立叶变换理论,并不完全出自傅立叶之手,许多前人、后人都对它有所贡献,傅立叶本人的论证,甚至有一些错误,但他提出了本质的思想,尤其是解决了波形的一般性表达,故居功至伟。而声波的分解和叠加,是傅立叶变换的典型应用之一,它的精彩之处在于它体现了许许多多事物的核心,以及那种万物归一的力量。常常,在一个用求和来“模拟”波形的过程中,当n=1,2,3的时候,被转换的函数的形状离原函数似乎全不搭界,当n逐渐增加之后,却渐渐如同精细的手工描绘一样逼近。又因为可以双向转化,我们可以把一段音频分解之后,去掉一个高音频再重组。这样看来,声音甚至音乐,反倒一点也不特殊了,至于音乐的电子化、数字化,只是水到渠成而已。傅立叶系列,确实揭示了一部分音樂的秘密,它将声音的传播方式工业化,也改变了音乐工业化的进程。在欧洲文明里,音乐曾经有着那么神圣和根本的地位,而如今对它的模拟和再现都成为可能。音乐和数学,有着天然本质的联系,或许仅仅是因为,数学形式在世上无所不在。
从欧洲的启蒙时代开始,人愈加自信甚至狂妄,因为科学似乎无所不能;可同时人也变谦卑了,因为会更客观地看自身,知道自然并非为取悦人而存在。物理学研究声音,就应该面对各种声音(包括人听不见的振动),而非“好听的声音”,所以科学家的研究,从对和声、和谐的认知变成声学,数学和音乐的分裂已经不可避免。到了二十世纪,学科越来越细,却也越来越多,有一部分就来自传统学科的交叉,所以有了“计算音乐”这么个分支。数学家们发现,一些音乐现象和作品,是可以用数学来解释的,比如音阶的七个音,天然可以用离散傅立叶级数来表达;许多计算音乐领域内的论文,直接涉及音乐分析,比如一些音乐中能量和情感爆发的状态,在数学上也能够观察和预测,并体现数学意义。尤其是二十一世纪,用傅立叶分析来研究音乐的方向相当红火,并非危言耸听,作曲家真的可以从空间、几何等方面认知吸收一些灵感了。
幸好,科学能解构、能建构、能分解、能模拟,人世却是动态的,算法之网恢恢,人尚有逃逸的空间。傅立叶变换并未将声音尤其是音乐的秘密一网打尽。人脑仍然会给声音施加生理和文化的影响,比如对音乐会“脑补”出一些并不存在的频率,有时人耳感觉最舒服的未必是数学预测最完美的,等等,更不要提倾听习惯软化困难的力量。尤其是,数学细节之美,尚未普遍内化为大脑的快乐,“远古大脑”们仍然高高兴兴地拥抱故事、图像、旋律等感性的幸福,科学苦口婆心也未必能说服它。科学在进步,AI在扩张,我们不断发现自己可以控制和模拟的事物,同时也不断发现新死角,两者竞赛,即便前者胜券在握,后者只剩被围剿的命运,人类的“龟爬”尚有时日残喘吧。
参考文献:
Joseph Fourier: The Man and the Physicist, by John Herivel, Oxford University Press, 1975;
Measured Tones: The Interplay of Physics and Music, by Ian Johnston, CRC Press, 2009;
Music Through Fourier Space: Discrete Fourier Transform in Music Theory, by Emmanuel Amiot, Springer, 2016;
Music: A Mathematical Offering, by David Benson, Cambridge University Press, 2013;
Physics and Music: The Science of Musical Sound, by Harvey E. White, Dover Publications, 2014;
Who Is Fourier? A Mathematical Adventure, by Transitional College of LEX, Language Research Foundation, 2012.