论文部分内容阅读
摘要：本文基于传热学理论，通过构建数学模型研究了高温作业专用服装的设计问题。我们将服装简化由三层织物材料构成，记为工、Ⅱ、Ⅲ层，第Ⅲ层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为Ⅳ层。首先，将热传递过程视为一根均匀同性杆的传热，考虑热传导和对流两种方式，再基于能量守恒和傅里叶定律，对前三层材料建立了一阶热传导偏微分方程的数学模型;对第Ⅳ层，建立了一阶耦合热传导对流方程的偏微分方程的数学模型，利用热传导方程的有限差分法求数值解。在环境温度为75℃、Ⅱ层厚度为6mm、Ⅳ层厚度为5mm、工作时间为90分钟的情况下，通过估计参数和一些已知的数据，利用MATLAB仿真出每一层的温度变化分布图，求得假人皮肤外侧的温度;在环境温度为65℃、Ⅳ层的厚度为5. 5mm，确保工作60分钟，皮肤外侧温度不超过47℃，且超过44℃的时间不超过5分钟情况下，基于反问题的基本理论，在热传导模型基础上，建立优化模型，再利用遗传算法，求出第Ⅱ层的厚度在区间[5，25]上达到要求。最后，在环境温度为80℃，确保工作30分钟，皮肤外侧温度不超过47℃，且超过44℃的时间不超过5分钟的前提下，利用相同模型求出第Ⅱ层的厚度在[11，12.8]和第Ⅳ层的厚度在[3.5，6]区间上达到要求，通过构造初始函数，得到了与真实数据吻合的结论。
关键词：一阶热传导方程;一阶耦合热传导对流方程;有限差分方法;遗传算法
1引言
在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服裝以避免灼伤。因此，本文以专用服装的设计为目的，构建数学模型，以较低成本研发出合格的服装，这对保护工作人员的生命安全有着十分重要的意义。
2 问题重述（略）
3 模型假设
1）热传递垂直于皮肤方向进行，故可视为一维的;
2）服装材料只考虑传热方式，第Ⅳ层为热传导和空气的对流两种方式;不考虑湿传递，即忽略水汽、汗液的影响;
3）热传导热传递到织物的过程中是均匀的，且热防护材料没有发生溶解;
4）专业服装材料内部无水分，各层材料之间没有空气层，而且是均匀各向同性的，即考虑成一根均匀同性杆的热传导。
4 模型的建立与求解
4.1 热传导模型
在固定的环境温度、时间、已知Ⅱ、Ⅳ层的厚度等情况下，该过程类似一根均匀同性杆的热传导[1]。因此，可将其温度分布简化为图1所示。
热量守恒定律可表示为
温度变化吸收的热量一通过边界流入的热十热源放出的热量，根据傅里叶热传导定律有[2]
其中热传导系数k假设是常量，热量公式为
Q= cmu
（2）
取材料内任一点处垂直于皮肤方向的微元线段L，微元上t1，t2时刻各点温度分别表示为u（x，t1），u（x，t2），则L内温度变化的热量Q满足
4.2热传导模型的求解
首先由题设，可得出定解条件和初值条件分别为
u（0，0）=ua
u（x，0）=φ（x）
（10）其中φ（x）是连续函数，但该函数目前很难估计。为解决问题，我们假设所建立的偏微分方程的解一定存在。
定理（解的存在性）[3]若（φ（x）连续，则存在常数M>0和A>0使
u（x，0）=φ（x）
（11）成立，则方程（8）满足初值条件的解存在。
由解的存在定理，我们取
|φ（x）|≤MeAr2
（12）
以保证解存在，初步的计算后，得到（8）式解的结果，见图2，同时根据题目中的测量值，给出温度变化情况，见图3。
由图可得，曲线的凸性是相反的。为改变凸性，利用曲线关于直线y=x对称及平移的原理[4]，对（4）式求反函数及平移，得
基于文献中的有限差分法[5]，以及附件中的数据，适当选取模型中的参数（见表1）。
4.3耦合热传导对流模型
由于第Ⅲ层与皮肤之间存在气体，故第Ⅳ层在原本的热传导方程上，增加对流的情况，建立耦合热传导对流模型
对于第Ⅳ层，由参考文献[6]，当厚度不超过6.4mm时，对流形式的热传递影响是很小的，因此，忽略对流的影响，利用MATLAB求解得到了第Ⅳ层温度分布，如图6。
4.5优化模型
当环境温度为65℃，Ⅳ层厚度为5. 5mm时，需确定第Ⅱ层最优厚度，确保工作60分钟，假人皮肤不超过47℃，且超过44℃的时间不超过5分钟。作为热传导的反问题，由于反问题具有非线性、不适定性等特点，使反问题的求解比正问题复杂得多[7]。在反问题中，将材料的边界条件或物性参数作为优化变量，把正问题得到的计算值作为目标函数求极值。因此，我们将反问题的目标函数设计为热传导模型（16），第Ⅱ层材料的厚度为极值点。于是，目标函数为
minu（x，t）
（17）
约束条件为：
1）当时间t为0≤t≤55时，温度应满足
u（x，t）≤44
（18）
2）当时间f为0
u（x，t）≤47
（19）
从而可建立优化模型
minu（x，t）
（20）
根据（21）式，可确定极小值点，即第Ⅱ层的厚度。
当环境温度为80℃，确定第Ⅱ层和第Ⅲ层的最优厚度，确保工作30分钟，假人皮肤外侧温度不超过47℃，超过44的时间不超过5分钟，增加了一个变量，可以用与（21）式相似的方法建立模型并求解。
同理，在新的约束条件
4.6优化模型求解
关键词：一阶热传导方程;一阶耦合热传导对流方程;有限差分方法;遗传算法
1引言
在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服裝以避免灼伤。因此，本文以专用服装的设计为目的，构建数学模型，以较低成本研发出合格的服装，这对保护工作人员的生命安全有着十分重要的意义。
2 问题重述（略）
3 模型假设
1）热传递垂直于皮肤方向进行，故可视为一维的;
2）服装材料只考虑传热方式，第Ⅳ层为热传导和空气的对流两种方式;不考虑湿传递，即忽略水汽、汗液的影响;
3）热传导热传递到织物的过程中是均匀的，且热防护材料没有发生溶解;
4）专业服装材料内部无水分，各层材料之间没有空气层，而且是均匀各向同性的，即考虑成一根均匀同性杆的热传导。
4 模型的建立与求解
4.1 热传导模型
在固定的环境温度、时间、已知Ⅱ、Ⅳ层的厚度等情况下，该过程类似一根均匀同性杆的热传导[1]。因此，可将其温度分布简化为图1所示。
热量守恒定律可表示为
温度变化吸收的热量一通过边界流入的热十热源放出的热量，根据傅里叶热传导定律有[2]
其中热传导系数k假设是常量，热量公式为
Q= cmu
（2）
取材料内任一点处垂直于皮肤方向的微元线段L，微元上t1，t2时刻各点温度分别表示为u（x，t1），u（x，t2），则L内温度变化的热量Q满足
4.2热传导模型的求解
首先由题设，可得出定解条件和初值条件分别为
u（0，0）=ua
u（x，0）=φ（x）
（10）其中φ（x）是连续函数，但该函数目前很难估计。为解决问题，我们假设所建立的偏微分方程的解一定存在。
定理（解的存在性）[3]若（φ（x）连续，则存在常数M>0和A>0使
u（x，0）=φ（x）
（11）成立，则方程（8）满足初值条件的解存在。
由解的存在定理，我们取
|φ（x）|≤MeAr2
（12）
以保证解存在，初步的计算后，得到（8）式解的结果，见图2，同时根据题目中的测量值，给出温度变化情况，见图3。
由图可得，曲线的凸性是相反的。为改变凸性，利用曲线关于直线y=x对称及平移的原理[4]，对（4）式求反函数及平移，得
基于文献中的有限差分法[5]，以及附件中的数据，适当选取模型中的参数（见表1）。
4.3耦合热传导对流模型
由于第Ⅲ层与皮肤之间存在气体，故第Ⅳ层在原本的热传导方程上，增加对流的情况，建立耦合热传导对流模型
对于第Ⅳ层，由参考文献[6]，当厚度不超过6.4mm时，对流形式的热传递影响是很小的，因此，忽略对流的影响，利用MATLAB求解得到了第Ⅳ层温度分布，如图6。
4.5优化模型
当环境温度为65℃，Ⅳ层厚度为5. 5mm时，需确定第Ⅱ层最优厚度，确保工作60分钟，假人皮肤不超过47℃，且超过44℃的时间不超过5分钟。作为热传导的反问题，由于反问题具有非线性、不适定性等特点，使反问题的求解比正问题复杂得多[7]。在反问题中，将材料的边界条件或物性参数作为优化变量，把正问题得到的计算值作为目标函数求极值。因此，我们将反问题的目标函数设计为热传导模型（16），第Ⅱ层材料的厚度为极值点。于是，目标函数为
minu（x，t）
（17）
约束条件为：
1）当时间t为0≤t≤55时，温度应满足
u（x，t）≤44
（18）
2）当时间f为0
u（x，t）≤47
（19）
从而可建立优化模型
minu（x，t）
（20）
根据（21）式，可确定极小值点，即第Ⅱ层的厚度。
当环境温度为80℃，确定第Ⅱ层和第Ⅲ层的最优厚度，确保工作30分钟，假人皮肤外侧温度不超过47℃，超过44的时间不超过5分钟，增加了一个变量，可以用与（21）式相似的方法建立模型并求解。
同理，在新的约束条件
4.6优化模型求解