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摘要：习题的不同呈现方式能激起学生各种不同的学习策略。设计操作型习题、探究型习题、应用型习题习题等，是实现学生知识建构、促进学生发展的重要手段，是广大数学教师完成数学课程任务的重要环节。
关键词：数学习题；设计；建构；发展
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）11-0082
《数学课程标准》指出，义务教育阶段数学课程应实现：人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学。提倡现实的、有教育价值的数学，应以“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的基本模式展开内容，让学生经历“数学化”与“再创造”的过程，形成自己对数学的理解。本文就数学习题的设计谈一些笔者的拙见。
一、设计操作型习题
绝大多数学生反映，初中数学枯燥无味，事实也是如此。以本为本的课堂教学方法有时很难激起学生的学习兴趣。我们在解决这个问题时，可以以教材为载体，通过对教学内容的加工、处理和再创造，设计操作性习题，让每个学生都积极参与学习数学的精神、思想和方法。
例如“线段的垂直平分线”这一节，我们可以选在了室外做练习，划定一条“线段”，让每个学生去找一个“到线段两端点距离相等的点”站上，全班学生站完后，很明显他们都站在了同一条直线上。这条直线就是这条线段的垂直平分线。仅用10分钟左右的时间，就使学生理解了“到一条线段两端点相等的点在这条线段的垂直平分线上”这个定理。还有像“对称”“轨迹”“函数的图像”这些知识的传授都可以设计这种操作性课堂。
这些数学习题的优越性是显而易见的。首先调动了学生参与的积极性，体现了学生的主体地位。学生能较顺利地实现知识建构。其次是创设的问题情境充分调动学生的形象思维，所学知识非常容易理解和记忆。第三是教师学生都是教学的组织者和参与者，通过这种主动学习，有利于后进生的发展。
二、设计探究型习題
以建构主义理论为指导的数学课程标准，要求数学课堂开展必要的建构性探究活动，这样有利于学生把握知识系统和建构知识网络，形成良好的认知结构。
例如习题：已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形.求证：AN=BM.
请同学们研究这个题目的特征，探究是否可以适当改变题目的条件，问题的结论会发生什么变化？并体会蕴涵其中的数学规律。
情境思路：在直接证明原问题后，可以探究改变题目的条件，使图形发生变化。在运动变化中观察相关的图形的变化，发现隐含其中的不变量，从中发现规律。
可以探究点C位置的变化；等边△ACM、△CBN与线段AB相对位置的变化；三角形图形的变化，如变化为正方形、正五边形、正六边形，或变化为等腰三角形等；从有公共顶点的两个等边三角形到任意正多边形的旋转变化等。
还可以从上述各种情况的组合上进行变化，探究其对题目的结论的影响。
探究方案1 点C的位置发生变化。
（1）点C为线段AB延长线上的一点，△ACM、△CBN是等边三角形，且在线段AB的同侧。
（2）点C为线段AB外一点，△ACM、△CBN是等边三角形，且在线段AB的同侧。
探究方案2 由等边三角形到正多边形的变化。
探究性习题能引导学生开展探究性学习，是实现学生学习方式转变的最直接的策略。其重要程度不言而喻。
三、设计应用型习题
著名数学教育家弗罗登塔尔认为：数学是现实世界的抽象反映和人类经验的总结，数学教育应该源于现实，用于现实，应该通过具体的问题来教抽象的数学内容，应该从学习者的经历所接触的客观实际中提出问题，然后升华归结为数学概念，运算法则或数学思想。新教材特别注重了这些问题，我们认为实际问题也可以由教师收集设计，例如在教学一次函数的性质，我们设计了下例：
为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费。设某户每月用水量为x（立方米），应交水费为y（元）
（1）分别写出用水未超过7立方米和多于7立方米时，y与x的函数关系式。
（2）如果某幢楼共有用户50户，某月共交水费541.6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有多少户？
此题的背景是日常生活中的交水费问题，学生非常熟悉。解决此题的关键是如何从具体的问题中抽象出数学内容，数学地思考问题，并用数学识模、析模、建模、解模和验模：
①当x≤7时，y=（1.0 0.2）x 即y=1.2x
当x>7时，y=（1.5 0.4）（x-7） （1.0 0.2）×7 即 y=1.9x-4.9
②设这个月用水未超过7立方米的用户最多为x户，根据题意得：
50×7×（1 0.2） （50-x）（10-7）×1.9=541.6
解得 x=29
像上例的应用性习题设计，能使学生体会到数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用的信心。
总之，数学能力是通过解决数学问题体现出来的，数学问题又是数学知识的载体，好的数学习题更是数学教学中“创新”的载体。贴近生活、贴近实际、具有时代感，这不仅仅是一种教学理念，也是设计数学习题的一种理念、教师应从学生的实际出发，根据《数学课程标准》设计习题，引导学生通过实践、探索、交流，获得知识，形成能力，发展思维。
（作者单位：浙江省乐清市柳市镇第一中学 325600）
关键词：数学习题；设计；建构；发展
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）11-0082
《数学课程标准》指出，义务教育阶段数学课程应实现：人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学。提倡现实的、有教育价值的数学，应以“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的基本模式展开内容，让学生经历“数学化”与“再创造”的过程，形成自己对数学的理解。本文就数学习题的设计谈一些笔者的拙见。
一、设计操作型习题
绝大多数学生反映，初中数学枯燥无味，事实也是如此。以本为本的课堂教学方法有时很难激起学生的学习兴趣。我们在解决这个问题时，可以以教材为载体，通过对教学内容的加工、处理和再创造，设计操作性习题，让每个学生都积极参与学习数学的精神、思想和方法。
例如“线段的垂直平分线”这一节，我们可以选在了室外做练习，划定一条“线段”，让每个学生去找一个“到线段两端点距离相等的点”站上，全班学生站完后，很明显他们都站在了同一条直线上。这条直线就是这条线段的垂直平分线。仅用10分钟左右的时间，就使学生理解了“到一条线段两端点相等的点在这条线段的垂直平分线上”这个定理。还有像“对称”“轨迹”“函数的图像”这些知识的传授都可以设计这种操作性课堂。
这些数学习题的优越性是显而易见的。首先调动了学生参与的积极性，体现了学生的主体地位。学生能较顺利地实现知识建构。其次是创设的问题情境充分调动学生的形象思维，所学知识非常容易理解和记忆。第三是教师学生都是教学的组织者和参与者，通过这种主动学习，有利于后进生的发展。
二、设计探究型习題
以建构主义理论为指导的数学课程标准，要求数学课堂开展必要的建构性探究活动，这样有利于学生把握知识系统和建构知识网络，形成良好的认知结构。
例如习题：已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形.求证：AN=BM.
请同学们研究这个题目的特征，探究是否可以适当改变题目的条件，问题的结论会发生什么变化？并体会蕴涵其中的数学规律。
情境思路：在直接证明原问题后，可以探究改变题目的条件，使图形发生变化。在运动变化中观察相关的图形的变化，发现隐含其中的不变量，从中发现规律。
可以探究点C位置的变化；等边△ACM、△CBN与线段AB相对位置的变化；三角形图形的变化，如变化为正方形、正五边形、正六边形，或变化为等腰三角形等；从有公共顶点的两个等边三角形到任意正多边形的旋转变化等。
还可以从上述各种情况的组合上进行变化，探究其对题目的结论的影响。
探究方案1 点C的位置发生变化。
（1）点C为线段AB延长线上的一点，△ACM、△CBN是等边三角形，且在线段AB的同侧。
（2）点C为线段AB外一点，△ACM、△CBN是等边三角形，且在线段AB的同侧。
探究方案2 由等边三角形到正多边形的变化。
探究性习题能引导学生开展探究性学习，是实现学生学习方式转变的最直接的策略。其重要程度不言而喻。
三、设计应用型习题
著名数学教育家弗罗登塔尔认为：数学是现实世界的抽象反映和人类经验的总结，数学教育应该源于现实，用于现实，应该通过具体的问题来教抽象的数学内容，应该从学习者的经历所接触的客观实际中提出问题，然后升华归结为数学概念，运算法则或数学思想。新教材特别注重了这些问题，我们认为实际问题也可以由教师收集设计，例如在教学一次函数的性质，我们设计了下例：
为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费。设某户每月用水量为x（立方米），应交水费为y（元）
（1）分别写出用水未超过7立方米和多于7立方米时，y与x的函数关系式。
（2）如果某幢楼共有用户50户，某月共交水费541.6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有多少户？
此题的背景是日常生活中的交水费问题，学生非常熟悉。解决此题的关键是如何从具体的问题中抽象出数学内容，数学地思考问题，并用数学识模、析模、建模、解模和验模：
①当x≤7时，y=（1.0 0.2）x 即y=1.2x
当x>7时，y=（1.5 0.4）（x-7） （1.0 0.2）×7 即 y=1.9x-4.9
②设这个月用水未超过7立方米的用户最多为x户，根据题意得：
50×7×（1 0.2） （50-x）（10-7）×1.9=541.6
解得 x=29
像上例的应用性习题设计，能使学生体会到数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用的信心。
总之，数学能力是通过解决数学问题体现出来的，数学问题又是数学知识的载体，好的数学习题更是数学教学中“创新”的载体。贴近生活、贴近实际、具有时代感，这不仅仅是一种教学理念，也是设计数学习题的一种理念、教师应从学生的实际出发，根据《数学课程标准》设计习题，引导学生通过实践、探索、交流，获得知识，形成能力，发展思维。
（作者单位：浙江省乐清市柳市镇第一中学 325600）