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【摘要】 数学教学中关系映射反演原则是非常重要的数学思想，通过反演思维能够把复杂问题映射到简单问题中，从而达到化繁为简、化难为易的目的。它在“数与代数”领域中应用广泛，在数的运算、概念教学、解决问题中都起到培养学生逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
【关键词】 RMI原则 数与代数 小学数学
【中图分类号】 G623.5 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2020）09-076-02
RMI原则是一种实用的数学原则，它是巧妙的把需要解决的复杂问题转化为较简单或者好理解的问题，从而达到解决原来问题的目的。简单来说就是通过问题到问题的映射，从而得到化繁为简，化难为易的目的。可以用思维图来说明如下：
一、RMI原则在小学“数与代数”中的必要性
在小学数学“数与代数”领域中，存在大量的数的运算的学习。可是现如今虽然从小学一年级开始就在着重培养学生的运算方法，提高学生分析、解决问题的能力，但是到高段之后，依旧存在部分学生计算能力弱，对于复杂问题手足无措的现象。原因可能来自于老师上课形式、教学模式没有起到很好的引导作用。我们对于数与代数领域的教学常常依赖于给学生大量的题型积累，多做多练，达到运算熟练。但这种方法导致学生只重视计算结果，只会做单调题型的计算，对于运算法则和原理了解的不够透彻。课上可能对于算理的分析描述不够，只讲究算法的多样性。
RMI原则能够帮助学生养成良好的学习习惯和常态，在学习初期就从片状式知识转为线状式知识。更好的理解掌握并且连接已学习的知识脉络，发现数学知识在生活中的广泛应用，感受学习数学的魅力和兴趣。并且RMI原则能够帮助学生更好的进行分析和处理问题，并培养学生解决问题的方法和策略。
二、概念映射：巧变素材，具化思维
数学概念作为数学知识的思维体现形式，是数学教学中非常重要的一块。在学习“数与代数”的概念中，可以通过RMI原则来把概念与现实生活等等相联系，帮助学生理解。这也是当代新课标的要求，化抽象为具体、直观，借助具体的现实情境，调动学生的生活经验来帮助理解。
（一）概念唤醒，纯化意义
【课例】5年级下册的第4单元——《分数的意义》
【片段1】
对于单位“1”的定义通过一个小游戏引入
师：游戏名字就叫做“用1说话”。你们准备好了吗？
预设：1个圆;1条线段/一个计量单位;1个菠萝;4个苹果/一堆苹果/一些苹果（用圆圈圈起来）
【分析】
在之前的数学学习中没有提过单位“1”的含义，而五年级开始把可以看作一个整体的物体叫做单位“1”，在这节课中要让学生进一步体会、领悟单位“1”，为什么存在单位“1”。所以重难点在于是对单位“1”的理解。运用RMI原则，把单位“1”的概念映射到现实存在和学过的事物，由此来确定单位“1”的含义。
【片段2】
分数的意义的概念展示
【分析】
在教材中为了帮助学生能够充分建立起分数的概念，通过这样两幅图片来展示分数的产生。这两幅图找到了分数的产生与现实生活的关系，因为需要测量更小的数据和分更小的量，当不能用整数来代表的时候，为了更准确的表示了所需要的结果，于是需要分数。把抽象的分数巧妙的映射到现实情境中来，让它有了实际的意义。
（二）概念落实，凸显本质
【片段3】
【分析】
通过前面两个片段，学生对分数的什么是分数有了一定的感觉，知道分数的现实来源。但是对于分数真正的含义还是无法深刻理解，所以就要找到学生熟悉的有经验的操作来进行合适的转化，解决抽象的未知的问题。
于是在这个片段中通过表示出六个材料中的1/4，其中这六个材料前三个是一个物体，后三个时多种物体，找到一个物体平均分和一些物体组成一个整体平均分之间的联系，感知分数1/4的含义，提取分数意义的本质特点。把抽象的分数具体化，从而得到结果，理解分数的概念，这就是RMI原则的基本思想。
同时，因为小学生对于分数的认知有限，现在把分数映射到实际生活当中，从现实的学生熟悉的角度来认识到分数，理解它的现实意义。再通过反演到数学当中，从而在数学的逻辑思维角度上认识到分数，理解分数的意义。通过RMI原则，学生能够真正构建概念的形成过程，获取自己对于分数的感悟，从而初步感受探索数学知识的一个浅显过程。
【课例】六年级上册第六单元《百分数的认识》
百分数的产生
师：在之前的篮球比赛中，我们班同学奋勇拼搏，战果累累。这是我们班三位主力平时的投篮练习情况。（出示三位学生的投篮总投球数和投中数）如果要出一名同学加入学校的校队，该怎么选择呢？
预设：比较他们的命中率，谁的命中率高选择谁。
师：那该怎么比较呢？
预设：计算每次投篮中，投中的数量占总数量的几分之几。
师：请4人为一小组，算一算谁的投中率比较高。想一想有没有什么好办法能够直接来比较他们的大小？
小组讨论，动手计算比较。引导学生将三个分数通分成分母是100的分数，并由此引出百分数的概念。
【分析】百分數这个词对学生来说比较陌生，所以在这里创设情境，从学生已有的分数的知识基础上，加以映射，从而根据分数的意义顺理成章的引入百分数。也为之后分数、整数和小数的互换打下基础。
三、运算映射：巧联旧知，勾连思维 小数乘除法是五年级第一单元的教学内容，相比起之前的整数计算，对于学生的运算能力又提出了更高的要求，也是一个阶段性的提升。并且小数乘除法是整个小学数学运算教学的一个重难点，也是学生的易错点。在教学过程中更要注意引导学生连接旧知，优化算法。
（一）数数相对，找准关系
【举例】
如小数乘法3.1×20，可以先讓学生利用整数乘法的31×20，得出答案620。再找到积的小数点和两个乘数的小数点的关系，确定积是几位小数。这种方法能够帮助学生快速理解小数乘法如何运算，并且能够运算的又快又对。其实这也是教材推荐的方式，把抽象难懂小数运算的变成熟悉的整数乘法。
小数除法依旧可以用RMI原则进行探讨。首先对于除数是整数的小数除法来说，比如4.32÷31，找到小数除法和整数除法的关系，先映射到432÷31，利用竖式进行计算，确定好答案之后，再根据被除数的小数点位置，在商上面点上小数点。而对于除数是小数的小数除法而言，根据商不变的性质，如4.32÷3.1映射到43.2÷31，再根据之前的除数是整数的进行计算。两步映射方式，找准关系，再反演得到答案。
在RMI原则中，重要的是找准新知与旧知之间的对应关系，确定好可以映射的对象，映射可以一步也可以几步进行，重点在于把学生不好理解的问题简单化，化为学生已学过熟悉的事物和知识，再反演得出答案。
（二）加减相连，通用法则
【举例】
RMI原则在四下的小数加减法中也应用广泛。对于3.25+2.1=，刚开始教学时就是从325+210出发，联系多位数相加的知识，口算和列竖式两种方法并进。再根据小数的数位关系，从中出发理解当小数相加时，应该遵循的算法要求。整数加法的计算法则：相同数位对齐，先从个位算起，某一位满十需向前面进一。同样的映射到小数加法中：需要数位对齐则小数点对齐，之后按照整数的计算法则计算。小数相减同样按照小数的数位关系，对照映射到整数的计算法则，从而推出小数相减必须遵循的算法。
同样对于小数的混合运算中要遵循的运算顺序和运算定律也能够映射到整数的四则运算顺序和定律，再根据小数的数位特征，反演回要求的小数运算结果。这些都是RMI的巧妙应用。
RMI原则后续思考
RMI原则作为一种分析处理问题的重要方法，不止在小学阶段，在之后初中、高中甚至高等数学的学习中都起到非常重要的作用。运用RMI原则选取合适的映射，能够拓展学生的解题思路，降低解决问题的难度。所以，教师在教学过程中，要有意思的联系小学数学的知识体系，鼓励倡导学生利用RMI原则挖掘数学问题的本质信息来解决问题。这能够帮助学生提高数学解题的思想层次，乐于发现数学问题中的核心价值，愿意去探索、归纳、总结。
[ 参 考 文 献 ]
[1]刘大卫.“RMI”数学思想及其应用初探[M].成阳：成阳师范专科学校学报（自然科学版），1998.
[2]戴祥领.RML方法在数学中的应用[M].贵州：遵义师范学院学报，2004.
[3]凌玲.RMI原理在中学数学中的应用[M].广西：中学教学参考（中旬），2012.
[4]杨起群.RMI方法在解题中的应用[M].广西：小学教学.
[5]杨立丽.RMI原则在小学数学“数与代数”领域中的渗透[M].天津：教研新干线.数学新视野，2011.
【关键词】 RMI原则 数与代数 小学数学
【中图分类号】 G623.5 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2020）09-076-02
RMI原则是一种实用的数学原则，它是巧妙的把需要解决的复杂问题转化为较简单或者好理解的问题，从而达到解决原来问题的目的。简单来说就是通过问题到问题的映射，从而得到化繁为简，化难为易的目的。可以用思维图来说明如下：
一、RMI原则在小学“数与代数”中的必要性
在小学数学“数与代数”领域中，存在大量的数的运算的学习。可是现如今虽然从小学一年级开始就在着重培养学生的运算方法，提高学生分析、解决问题的能力，但是到高段之后，依旧存在部分学生计算能力弱，对于复杂问题手足无措的现象。原因可能来自于老师上课形式、教学模式没有起到很好的引导作用。我们对于数与代数领域的教学常常依赖于给学生大量的题型积累，多做多练，达到运算熟练。但这种方法导致学生只重视计算结果，只会做单调题型的计算，对于运算法则和原理了解的不够透彻。课上可能对于算理的分析描述不够，只讲究算法的多样性。
RMI原则能够帮助学生养成良好的学习习惯和常态，在学习初期就从片状式知识转为线状式知识。更好的理解掌握并且连接已学习的知识脉络，发现数学知识在生活中的广泛应用，感受学习数学的魅力和兴趣。并且RMI原则能够帮助学生更好的进行分析和处理问题，并培养学生解决问题的方法和策略。
二、概念映射：巧变素材，具化思维
数学概念作为数学知识的思维体现形式，是数学教学中非常重要的一块。在学习“数与代数”的概念中，可以通过RMI原则来把概念与现实生活等等相联系，帮助学生理解。这也是当代新课标的要求，化抽象为具体、直观，借助具体的现实情境，调动学生的生活经验来帮助理解。
（一）概念唤醒，纯化意义
【课例】5年级下册的第4单元——《分数的意义》
【片段1】
对于单位“1”的定义通过一个小游戏引入
师：游戏名字就叫做“用1说话”。你们准备好了吗？
预设：1个圆;1条线段/一个计量单位;1个菠萝;4个苹果/一堆苹果/一些苹果（用圆圈圈起来）
【分析】
在之前的数学学习中没有提过单位“1”的含义，而五年级开始把可以看作一个整体的物体叫做单位“1”，在这节课中要让学生进一步体会、领悟单位“1”，为什么存在单位“1”。所以重难点在于是对单位“1”的理解。运用RMI原则，把单位“1”的概念映射到现实存在和学过的事物，由此来确定单位“1”的含义。
【片段2】
分数的意义的概念展示
【分析】
在教材中为了帮助学生能够充分建立起分数的概念，通过这样两幅图片来展示分数的产生。这两幅图找到了分数的产生与现实生活的关系，因为需要测量更小的数据和分更小的量，当不能用整数来代表的时候，为了更准确的表示了所需要的结果，于是需要分数。把抽象的分数巧妙的映射到现实情境中来，让它有了实际的意义。
（二）概念落实，凸显本质
【片段3】
【分析】
通过前面两个片段，学生对分数的什么是分数有了一定的感觉，知道分数的现实来源。但是对于分数真正的含义还是无法深刻理解，所以就要找到学生熟悉的有经验的操作来进行合适的转化，解决抽象的未知的问题。
于是在这个片段中通过表示出六个材料中的1/4，其中这六个材料前三个是一个物体，后三个时多种物体，找到一个物体平均分和一些物体组成一个整体平均分之间的联系，感知分数1/4的含义，提取分数意义的本质特点。把抽象的分数具体化，从而得到结果，理解分数的概念，这就是RMI原则的基本思想。
同时，因为小学生对于分数的认知有限，现在把分数映射到实际生活当中，从现实的学生熟悉的角度来认识到分数，理解它的现实意义。再通过反演到数学当中，从而在数学的逻辑思维角度上认识到分数，理解分数的意义。通过RMI原则，学生能够真正构建概念的形成过程，获取自己对于分数的感悟，从而初步感受探索数学知识的一个浅显过程。
【课例】六年级上册第六单元《百分数的认识》
百分数的产生
师：在之前的篮球比赛中，我们班同学奋勇拼搏，战果累累。这是我们班三位主力平时的投篮练习情况。（出示三位学生的投篮总投球数和投中数）如果要出一名同学加入学校的校队，该怎么选择呢？
预设：比较他们的命中率，谁的命中率高选择谁。
师：那该怎么比较呢？
预设：计算每次投篮中，投中的数量占总数量的几分之几。
师：请4人为一小组，算一算谁的投中率比较高。想一想有没有什么好办法能够直接来比较他们的大小？
小组讨论，动手计算比较。引导学生将三个分数通分成分母是100的分数，并由此引出百分数的概念。
【分析】百分數这个词对学生来说比较陌生，所以在这里创设情境，从学生已有的分数的知识基础上，加以映射，从而根据分数的意义顺理成章的引入百分数。也为之后分数、整数和小数的互换打下基础。
三、运算映射：巧联旧知，勾连思维 小数乘除法是五年级第一单元的教学内容，相比起之前的整数计算，对于学生的运算能力又提出了更高的要求，也是一个阶段性的提升。并且小数乘除法是整个小学数学运算教学的一个重难点，也是学生的易错点。在教学过程中更要注意引导学生连接旧知，优化算法。
（一）数数相对，找准关系
【举例】
如小数乘法3.1×20，可以先讓学生利用整数乘法的31×20，得出答案620。再找到积的小数点和两个乘数的小数点的关系，确定积是几位小数。这种方法能够帮助学生快速理解小数乘法如何运算，并且能够运算的又快又对。其实这也是教材推荐的方式，把抽象难懂小数运算的变成熟悉的整数乘法。
小数除法依旧可以用RMI原则进行探讨。首先对于除数是整数的小数除法来说，比如4.32÷31，找到小数除法和整数除法的关系，先映射到432÷31，利用竖式进行计算，确定好答案之后，再根据被除数的小数点位置，在商上面点上小数点。而对于除数是小数的小数除法而言，根据商不变的性质，如4.32÷3.1映射到43.2÷31，再根据之前的除数是整数的进行计算。两步映射方式，找准关系，再反演得到答案。
在RMI原则中，重要的是找准新知与旧知之间的对应关系，确定好可以映射的对象，映射可以一步也可以几步进行，重点在于把学生不好理解的问题简单化，化为学生已学过熟悉的事物和知识，再反演得出答案。
（二）加减相连，通用法则
【举例】
RMI原则在四下的小数加减法中也应用广泛。对于3.25+2.1=，刚开始教学时就是从325+210出发，联系多位数相加的知识，口算和列竖式两种方法并进。再根据小数的数位关系，从中出发理解当小数相加时，应该遵循的算法要求。整数加法的计算法则：相同数位对齐，先从个位算起，某一位满十需向前面进一。同样的映射到小数加法中：需要数位对齐则小数点对齐，之后按照整数的计算法则计算。小数相减同样按照小数的数位关系，对照映射到整数的计算法则，从而推出小数相减必须遵循的算法。
同样对于小数的混合运算中要遵循的运算顺序和运算定律也能够映射到整数的四则运算顺序和定律，再根据小数的数位特征，反演回要求的小数运算结果。这些都是RMI的巧妙应用。
RMI原则后续思考
RMI原则作为一种分析处理问题的重要方法，不止在小学阶段，在之后初中、高中甚至高等数学的学习中都起到非常重要的作用。运用RMI原则选取合适的映射，能够拓展学生的解题思路，降低解决问题的难度。所以，教师在教学过程中，要有意思的联系小学数学的知识体系，鼓励倡导学生利用RMI原则挖掘数学问题的本质信息来解决问题。这能够帮助学生提高数学解题的思想层次，乐于发现数学问题中的核心价值，愿意去探索、归纳、总结。
[ 参 考 文 献 ]
[1]刘大卫.“RMI”数学思想及其应用初探[M].成阳：成阳师范专科学校学报（自然科学版），1998.
[2]戴祥领.RML方法在数学中的应用[M].贵州：遵义师范学院学报，2004.
[3]凌玲.RMI原理在中学数学中的应用[M].广西：中学教学参考（中旬），2012.
[4]杨起群.RMI方法在解题中的应用[M].广西：小学教学.
[5]杨立丽.RMI原则在小学数学“数与代数”领域中的渗透[M].天津：教研新干线.数学新视野，2011.