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在日常生活中,有许许多多的事和物都需要我们用说理的方式对它们进行“对”与“错”的判断,而我们在说理时,常常要用一些名称或术语.对名称和术语要进行描述、做出规定,就是给出它们的定义.对事物做出判断,就需要命题.那么如何学习“命题”、准确理解“命题”这一概念,从而应用它来解决一些具体问题呢?
1.对“命题”概念的深度理解
判断一件事情的句子,叫做命题,如果一个句子没有对某一件事情做出任何判断,那么它就不是命题.简单地说,也就是可以判断它是正确的或错误的句子叫做命题.命题的定义中有两层含义:
(1)命题必须是完整的句子.
(2)这个句子必须对某一事物做出明确的肯定或否定的判断.命题中,不存在“大约”“大概”“差不多”“左右”等含糊不清的词语.
例1 判断下列句子是否是命题.
①对应角相等的两个三角形一定是全等三角形;
②不许大声说话;
③作线段AB=CD;
④你爱好什么运动?
⑤人是高等动物;
⑥在同一平面内,不相交的两直线叫做平行线.
【分析】判断一个句子是否是命题要注意两点:
(1)必须是一个完整的句子,这个句子通常是陈述句(包括肯定句和否定句),而疑问句和祈使句等都不是命题;
(2)必须对某一事件做出肯定或否定的判断.
所以①⑤⑥是命题;②③④不是命题.
2.命题的结构
(1)结构形式:每个命题都是由条件和结论两部分组成,条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.即
(2)表述形式:命题一般都可以写成“如果……,那么……”的形式,“如果……”引出的部分是条件,“那么……”引出的部分是结论.但有些命题的条件、结论不是十分明晰,可先写成“如果……,那么……”的形式,再找条件和结论.
注意点:(1)命题的表述形式,也可以写成“若……,则……”或“已知……,求证……”等.
(3)有的命题的题设和结论不止一个,我们在用“如果……,那么……”的形式改写命题时,要特别注意.
例2 写出“同角的补角相等”的条件和结论.
【分析】此命题的条件、结论不太明晰,我們可将其改写成“如果……,那么……”的形式,再找条件和结论.
解:命题“同角的补角相等”可改写为:“如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角相等.”所以此命题的条件是:“两个角是同一个角的补角”,结论是:“这两个角相等.”
3.判断命题的真假
(1)对于一个命题来说,它可能是正确的,也可能是错误的.正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.
(2)比较真假命题.
(3)要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具有命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例;要说明一个命题是真命题,需根据基本事实和已经证明的定理等进行推理证明.
例3 给出下列句子:
①同类项的数字系数一定相同;
②数轴上的点与实数是一一对应的;
③若[a]=[b],则a=b;
④任何数的平方都不等于0吗?
⑤2月份有4个星期日;
⑥如果a<-1,那么ab<-b;
⑦用量角器画∠AOB=90°;
⑧延长线段AB到点C;
⑨三角形中最大的内角是直角;
⑩两点之间线段最短.
其中:(1)是命题的有______________,不是命题的有______________;
(2)其中是真命题的有______________;
(3)对于每个假命题,你是怎样判断的?
解:(1)属于命题的有:①②③⑤⑥⑨⑩;不属于命题的有:④⑦⑧;
(2)属于真命题的有:②⑤⑩;
(3)要说明命题是假命题,可采用举反例的方法.对于①,a和-a是同类项,但系数不同;对于③,[2]=[-2],但2≠-2;对于⑥,当b=0时,有ab=b;对于⑨,在钝角三角形中,最大角就是大于90°.
(作者单位:北京外国语大学附属苏州湾外国语学校)
1.对“命题”概念的深度理解
判断一件事情的句子,叫做命题,如果一个句子没有对某一件事情做出任何判断,那么它就不是命题.简单地说,也就是可以判断它是正确的或错误的句子叫做命题.命题的定义中有两层含义:
(1)命题必须是完整的句子.
(2)这个句子必须对某一事物做出明确的肯定或否定的判断.命题中,不存在“大约”“大概”“差不多”“左右”等含糊不清的词语.
例1 判断下列句子是否是命题.
①对应角相等的两个三角形一定是全等三角形;
②不许大声说话;
③作线段AB=CD;
④你爱好什么运动?
⑤人是高等动物;
⑥在同一平面内,不相交的两直线叫做平行线.
【分析】判断一个句子是否是命题要注意两点:
(1)必须是一个完整的句子,这个句子通常是陈述句(包括肯定句和否定句),而疑问句和祈使句等都不是命题;
(2)必须对某一事件做出肯定或否定的判断.
所以①⑤⑥是命题;②③④不是命题.
2.命题的结构
(1)结构形式:每个命题都是由条件和结论两部分组成,条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.即
(2)表述形式:命题一般都可以写成“如果……,那么……”的形式,“如果……”引出的部分是条件,“那么……”引出的部分是结论.但有些命题的条件、结论不是十分明晰,可先写成“如果……,那么……”的形式,再找条件和结论.
注意点:(1)命题的表述形式,也可以写成“若……,则……”或“已知……,求证……”等.
(3)有的命题的题设和结论不止一个,我们在用“如果……,那么……”的形式改写命题时,要特别注意.
例2 写出“同角的补角相等”的条件和结论.
【分析】此命题的条件、结论不太明晰,我們可将其改写成“如果……,那么……”的形式,再找条件和结论.
解:命题“同角的补角相等”可改写为:“如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角相等.”所以此命题的条件是:“两个角是同一个角的补角”,结论是:“这两个角相等.”
3.判断命题的真假
(1)对于一个命题来说,它可能是正确的,也可能是错误的.正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.
(2)比较真假命题.
(3)要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具有命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例;要说明一个命题是真命题,需根据基本事实和已经证明的定理等进行推理证明.
例3 给出下列句子:
①同类项的数字系数一定相同;
②数轴上的点与实数是一一对应的;
③若[a]=[b],则a=b;
④任何数的平方都不等于0吗?
⑤2月份有4个星期日;
⑥如果a<-1,那么ab<-b;
⑦用量角器画∠AOB=90°;
⑧延长线段AB到点C;
⑨三角形中最大的内角是直角;
⑩两点之间线段最短.
其中:(1)是命题的有______________,不是命题的有______________;
(2)其中是真命题的有______________;
(3)对于每个假命题,你是怎样判断的?
解:(1)属于命题的有:①②③⑤⑥⑨⑩;不属于命题的有:④⑦⑧;
(2)属于真命题的有:②⑤⑩;
(3)要说明命题是假命题,可采用举反例的方法.对于①,a和-a是同类项,但系数不同;对于③,[2]=[-2],但2≠-2;对于⑥,当b=0时,有ab=b;对于⑨,在钝角三角形中,最大角就是大于90°.
(作者单位:北京外国语大学附属苏州湾外国语学校)