在数学中,只有从逻辑的推理上严格地证明了某个命题的结论,人们才能把该命题称为定理。如果一个几何学家报告一条他所发现的新定理时,只限于在模型上把它表示出来,那么任何一个数学家都不会承认这条定理是被证明了的。数学证明可以为人们发展和整理对教学现象的认识提供强有力的方法,在数学教育中应当重视对学生数学证明意识的渗透和教育。
　　一、在图形与证明中,理解命题
　　1.关于命题的两个定义
　　关于命题,初中的定义是:判断一件事情的语句叫命题。高中的定义是:可以判断真假的语句叫命题。这两个定义都不严格。两个定义中使用的“判断”一词,与语文中通常的意义不尽相同。在逻辑学上,它的意义是:判断是对客观事物有所肯定或否定的思维形式,判断有真有假。所以,初中和高中的两个定义在意义上是完全相同的:命题是这样一个语句,这个语句能够判断真假。例如语句“4的平方根是2”,作为一个判断它是错误的,所以它是命题,是假命题。
　　2.关于“或”、“且”的含义
　　复合命题“p或q”与“p且q”是用逻辑联结词“或”与“且”联结两个命题p与q,既不能用“或”与“且”去联结两个命题的条件,也不能用它们去联结两个命题的结论。
　　二、数学课程当中对学生推理能力的要求应该是什么
　　中学数学课程标准当中,对于学生推理证明的要求,是从几个角度来谈的。首先,数学课程就要考虑数学的特色。数学教育一方面要使学生掌握这个现代生活学习当中应该具有的数学的知识和技能;另一方面,它要培养人的能力。从数学的特点来说,它在培养人的科学推理和创新思维方面,是有它特殊的作用的。这和数学本身的特点有关,也就是数学有这方面培养的优势。
　　在数学中,思维过程是一个逐步发展的过程体现得是比较突出的。研究一个对象,往往是先从内涵、外延,对它有一个认识,给出一个定义,形成一个概念。再对这些概念之间的关系,性质做出一个判断,形成一个命题,比如说对顶角相等。然后,我们又把这些命题,概念,更多地联系在一起,对更多的结论来进行推理,证明新的一些命题。在这个逐步发展过程中,确实把人类思维的这几个层次都综合在一起了,而且体现得比较清晰。
　　三、举反例,推理论证
　　1.反例是简明有力的否定方法
　　利用反例否定一个命题是十分简明而又极具有说服力的。义务教育课程标准实验教科书苏教版数学八年级下册中,有许多众所周知的命题,都被反例所否定。对于“一个数的绝对值一定是正数”被这个数是零所否定; “如果两个角互补,那么这两个角中,一个是锐角,另一个是钝角”被两个角都是直角所否定等。
　　2.反例是加深理解的重要手段
　　在新学习一个定义、定理或公式的时候,常常容易想到:其中的条件能不能减少?能不能变更?这时反例就成了加深记忆和理解的重要手段。例如:对于定义“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”。学生常常对“不相交”这点印象深刻,而容易忽略“在同一平面内”的条件。我们总是引导学生找出在空间中虽然不相交,但并不平行的实例,去加深对这个定义的理解和记忆。
　　对于定理“有两边和一个夹角对应相等的两个三角形全等”,学生在应用时有的容易忽略夹角中的“夹”字,把它误记为“有两边和一个内角对应相等的两个三角形全等”。像图1这样作出BC=BC′,虽然∠A=∠A,AB=AB,但是△ABC和△ABC′它们显然不全等。由于这个反例将使学生明白一个“夹”字,不可忽视。但“有两边和一个钝角对应相等的两个三角形全等”,简写为边、边、钝角,可以作为两个钝角三角形全等的判定定理。
　　四、推理探究——关于平行线的一般性命题得出结论
　　已知:如图,AB//CD,AE、EF、FC是首尾相连的线段。
　　试求:∠A+∠E+∠F+∠C的度数。
　　
　　
　　解:在AB、CD上分别取点M、N,连接MN。在六边形AEFCNM中根据多边形内角和公式得∠A+∠E+∠F+∠C+∠CNM+∠AMN=720°
　　因为AB//CD
　　所以∠CNM+∠AMN=180°
　　所以∠A+∠E+∠F+∠C=540°
　　这个命题的一般性结论是:
　　
　　如图所示,A1B平行于AnC,则∠A1+∠A2+……+∠An=(n-1)180°
　　当你绞尽脑汁也不能证明一个命题是真命题时,就要悬崖勒马,回过头来考虑它会不会是假命题。要想说明它是假命题,就必须举一个反例。举反例是数学中的一种重要思考方法,它在证明和解题中的运用比较广泛,纵观义务教育课程标准实验教科书浙教版数学教材六册课本,册册都有应用,因此,务必要求学生切实掌握这种重要的思考方法。数学证明可以为人们发展和整理对教学现象的认识提供强有力的方法,在数学教育中应当重视对学生数学证明意识的渗透和教育。