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高度发达的信息技术，一方面在技术层面推动了数学教学活动结构及信息传递方式的变革；另一方面在知识信息加工层面给数学教师的教学设计、教学实施提供了新的视角和新的启发.本文结合具体教学内容介绍了在数学教学设计、教学实施时对认知材料进行信息化加工的三点体会.
一、充分利用信息技术，增强学生的空间观念
空间图形是三维空间里的图形，认识空间图形，研究空间图形的性质和判定，用它的性质和判定解决问题等均需要学生有一定的空间观念，培养学生的空间观念也正是这个部分教材肩负的重任.在过去的教学中，教师会带着自制的教具走进课堂，还会采用让学生动手折纸、捏橡皮泥等操作来增强学生的空间.如今，信息技术迅猛发展，为我们短时间高效达成教学目标提供了强有力的支撑.直线在平面内的射影、二面角、二面角的平面角等都可以通过多媒体制作的动画让每个学生都不觉得难以想象.
二、优化数学知识信息的呈现时序，激发学生自主意识
根式概念教学中尝试将信息呈现的时序进行合理重排，能取得了令人欣慰的较好效果.
平方根—立方根—二次根式—三次根式—n次根式，这是最经典的知识信息呈现顺序.这个顺序与知识形成的逻辑顺序比较接近.理解平方根概念就有了理解立方根概念的基础，在平方根概念基础上很容易引入二次根式，理解二次根式概念就有了理解三次根式的基础，再由二次根式、三次根式拓展到n次根式，这种顺序也符合学生由简到繁、由浅入深的认知规律.不过这里有个难点往往容易被忽视，就是n次根式有两类：一类是偶次根式、另一类是奇次根式.或许有人说，这不容易嘛：当n为偶数时是偶次根式，而当n是奇数时是奇次根式.事实上对学生来说这可不是容易的事.在初中学习二次根式时，学生接触到的知识信息只有二次根式，没有三次根式信息的干扰，在九年义务教育的教材中压根就没有出现三次根式的模样.学生没有碰到不是二次根式的其他根式的担心.现在学生升入高中阶段学习，他们碰到了.但碰到的是和二次根式一类的偶次根式、还是和三次根式同类的奇次根式，他们搞不清楚.还有，二次根式与三次根式区别在哪里？学生恐怕还一无所知.如果学生们连二次根式与三次根式的区别在哪里都不知道的话，那么偶次根式与奇次根式的区别在哪里他们更不清楚了.这么分析下来，我们应该首先设法让学生弄清平方根与立方根区别，其次应该让学生弄清二次根式与三次根式的区别，接下来还要让学生学会识别偶次根式与奇次根式并联想归类于二次根式与三次根式.按这样的知识信息顺序展开我们的教学，达成教学目标的周期一定会大大超出课程教学计划的安排要求，这样时间的使用效率达于低下，浪费了学生宝贵的青春年华.
二次根式（平方根）—三次根式（立方根）—n次根式，这样的知识信息呈现順序既不违背知识形成的逻辑顺序，又贴近学生认知生态，还能提高时间的使用效率.
在学习的初始阶段，我们可以让学生回忆二次根式的概念，并通过下面的问题来加深对二次根式概念的理解：
下列各式是否二次根式？为什么？
（1）3；（2）-5；（3）x.
学生能凭借初中所学回答出“形如a（a≥0）的式子叫二次根式”，这对我们的学生来说不是难事.不过一定有不少学生不会在意“a≥0”这个附加的条件，而这个条件是绝对不能忽视的，怎么强化？我们可以追问“a中a的取值有什么限制？”.在学生通过讨论得出正确结论后再进行上述问题的研讨.不过这样问就过于简单生硬，对于基础不扎实或者初中数学知识有所遗忘的学生来说，这样会让学生感到数学是悬在半空中的，使学生对数学望而生畏，怎能激发他们自发探寻知识的欲望！实践证明，在学生正确地答出“形如a（a≥0）的式子叫二次根式”后就可以组织学生开始上述问题的研究.因为学生在思考问题中“为什么？”时自然会回忆平方根概念，从而自发地探寻、讨论并理解“a≥0”的必要性.在此基础上，我们可以把二次根式的定义改为“如果a有意义，那么式子a叫二次根式”.为下一步的学习做好准备.
在学习的中期，要进行“三次根式（立方根）”的教学.我们可以通过让学生讨论下面的问题来进行：
（1）二次根式a的“二次”在式子a中怎么没有看到呢？
（2）受问题（1）的答案启发，请说出什么叫三次根式.
对于问题（2），我们的学生一定能不假思索地给出答案.只不过可能有人会选择“形如3a的式子叫三次根式”作为答案；也可能有人会选择“如果3a有意义，那么式子3a叫三次根式”作为答案.作为教师，我们可不能觉得学生们已经理解了三次根式的概念，我们还得通过下面的问题诊断下：
（1）在“形如3a的式子叫三次根式”中，为什么不像二次根式定义里那样加上“a≥0”这么个附加条件？
（2）如果3a有意义，那么式子3a叫三次根式.难道3a会无意义吗？
上面这两个用于判断的问题可以促进学生联系立方根概念及其与平方根的区别来生成三次根式的正确概念，为下一步的学习做好准备.
在学生掌握了二次根式、三次根式概念后引入n次根式应该是水到渠成了.再配上下列问题让学生思考解答，就能成功突破掌握n次根式概念的难点：
（1）下列各式是否根式？若不是，请说明理由；若是，请指出其根指数、被开方数.
13；3-2.7；4-5；5x；8a.
（2）求值：
（-1.4）2；
3-233；
4（-7）4；
5（a-b）5（a>b）；
6（3-π）6.
按照“二次根式（平方根）—三次根式（立方根）—n次根式”这样的顺序呈现知识信息、展开教学，把平方根、立方根概念的教学过程节约式嵌入到“二次根式—三次根式—n次根式”这条教学主线中，既不冲淡教学主线、淹没教学主题，又能发挥学生主体作用—自发地进行知识的检索、探寻、讨论、整理，让学生养成良好的学习习惯，在很短的时间内突破难点、掌握根式概念. 以上是在数学概念教学的实践中摸索出的数学知识信息呈现时序的处理技巧，在其他数学知识的教学中我们依然可以运用这里说到的信息处理技巧来优化我们的数学知识信息呈现的时序，培养学生的自主学习意识和自主学习能力，从而提高学生的数学核心素养.比如学生学习“向量的坐标运算”前要学习“基底向量和用基底向量表示向量”，而在学习“基底向量和用基底向量表示向量”之前要学习“向量的坐标”，所以“向量的坐标—基底向量和用基底向量表示向量—向量的坐标运算”是一个标准的知识信息展开时序.采用前面总结的信息处理技巧，我们可以把“基底向量和用基底向量表示向量”节约式嵌入“向量的坐标运算”的教学过程中.
三、对认知材料进行信息化加工，培养学生数学素养
（一）认知材料的视觉信息加工
曾经听过一位教师的幂函数概念课，他将认知材料“y=x，y=x2，y=x12，y=x-1”中的“y=x”用红色标出，将指数“2，12，-1”用深蓝色标出，在PPT中利用动画分别对这两部分进行闪烁、移动等强化，学生们一下就看出这组式子的异同，从而得出“形如y=xα（α≠0）的函数叫作幂函数”.
幂函数的本质特征作为信息隐藏在这组认知材料之中，把幂函数的本质特征处理成更易引起视觉反映的信息，新奇的视觉信息会激发学生兴趣并在大脑皮层形成相应的神经连接，这样学生就能轻松地形成幂函数概念.
把认知材料中形式相同、相异之处进行信息化处理，对学生的视觉产生强烈的刺激，学生很容易自己发现所要学习数学知识的形式特点，从而形成初步但深刻的印象.这位教师的成功之处也正在于此.同样的方法还可以用于指数函数概念教学、正弦型函数概念教学等.
（二）认知材料的听觉信息加工
数学知识的符号化程度很高，特别是认知成果的符号化.认知成果的符号化表达是文字表达的升华，是思维层次的飞跃，总之符号化的优点很多.但认知成果的符号化表达是建立在学生对认知成果的理解基础上的，如果教师发现我们的学生对认知成果理解不够深刻，我们如何补救呢？这里我们介绍一个方法，就是把符号化的材料口语化，实践证明这样可以增强学生的理解和记忆.
虚数单位i有這样的性质：i4n=1；i4n 1=i；i4n 2=-1；i4n 3=-i.
对于一些数学基础薄弱的学生来讲，要记住它就得费一番脑筋，落实到具体问题中应用它更非易事.可是课堂教学的进程已经到了记住并应用它了，教师又不能折返回去，再组织材料让学生重新“发现”一次吧，一堂课的时间就那么长，这样做对接受知识比较快的孩子也不公平呀.这时教师可以把它翻译成通俗的口头语言：4n是能被4整除的数，4n 1是被4除余1的数，4n 2是被4除余2的数，4n 3是被4除余3的数.把符号语言翻译成这些通俗的口头语言，学生听到耳朵中、记在心底里，加深了对符号的理解、记忆，用它来求诸如i2007一类值时也更方便.
在符号化程度较高的视觉材料不好掌握的情况下，可以把它转化为通俗的听觉材料，这种信息化处理有助于提高学生思维水平和应用能力.数学教材中适用这一教学模式的地方还是很多的，如正弦型函数的概念、复数的概念、余弦定理、正弦定理等等.
（三）认知材料的视、听觉信息加工
学完指数函数性质后教师们常常用下面的思考题促使学生加深对指数函数性质的理解：
利用指数函数的性质，比较1.935与1.958的大小.
引发学生想到用指数函数性质的因素是多方面的.单从数学认识材料信息化角度来看，让学生想到指数函数的前提是从这个问题的式子里提取指数函数定义中所包含的两个重要的信息：① 底数是常量、② 指数和幂是变量.怎样能让大多数（而不是少数）学生迅速从“1.935与1.958”中提取出信息①、②呢？我们可以这样做，在PPT中出现两个1.9的同时教师用口头语言强调：幂的底数同样是1.9，接着，在PPT中出现35和58前教师用口头语言强调：可是幂的指数不同，分别是35和58.用PPT展示1.9、35和58，这是用视觉信息呈现认知材料，用口头语言旁白“幂的底数同样是1.9”和“幂的指数不同，分别是35和58”，这是用听觉信息呈现认知材料.这里，我们把认知材料包含的目标信息用视、听觉信息分步或同步展现的模式，大多数学生都会迅速从“1.935与1.958”中提取出信息①、②，从而联想到指数函数，用指数函数性质解决此问题.
把认知材料一下子呈现在学生面前让学生自己发现，这种做法对大多数学生来说效果不好.如果我们把认知材料中的目标信息分别以视觉信息方式、听觉信息方式分步或同步呈现给我们的学生，这更有助于学生摄取“目标信息”，从而想到相关的数学知识，并用其来解决问题.利用幂函数性质、对数函数性质、三角函数性质解决问题的教学过程等，均适合这种模式.
一、充分利用信息技术，增强学生的空间观念
空间图形是三维空间里的图形，认识空间图形，研究空间图形的性质和判定，用它的性质和判定解决问题等均需要学生有一定的空间观念，培养学生的空间观念也正是这个部分教材肩负的重任.在过去的教学中，教师会带着自制的教具走进课堂，还会采用让学生动手折纸、捏橡皮泥等操作来增强学生的空间.如今，信息技术迅猛发展，为我们短时间高效达成教学目标提供了强有力的支撑.直线在平面内的射影、二面角、二面角的平面角等都可以通过多媒体制作的动画让每个学生都不觉得难以想象.
二、优化数学知识信息的呈现时序，激发学生自主意识
根式概念教学中尝试将信息呈现的时序进行合理重排，能取得了令人欣慰的较好效果.
平方根—立方根—二次根式—三次根式—n次根式，这是最经典的知识信息呈现顺序.这个顺序与知识形成的逻辑顺序比较接近.理解平方根概念就有了理解立方根概念的基础，在平方根概念基础上很容易引入二次根式，理解二次根式概念就有了理解三次根式的基础，再由二次根式、三次根式拓展到n次根式，这种顺序也符合学生由简到繁、由浅入深的认知规律.不过这里有个难点往往容易被忽视，就是n次根式有两类：一类是偶次根式、另一类是奇次根式.或许有人说，这不容易嘛：当n为偶数时是偶次根式，而当n是奇数时是奇次根式.事实上对学生来说这可不是容易的事.在初中学习二次根式时，学生接触到的知识信息只有二次根式，没有三次根式信息的干扰，在九年义务教育的教材中压根就没有出现三次根式的模样.学生没有碰到不是二次根式的其他根式的担心.现在学生升入高中阶段学习，他们碰到了.但碰到的是和二次根式一类的偶次根式、还是和三次根式同类的奇次根式，他们搞不清楚.还有，二次根式与三次根式区别在哪里？学生恐怕还一无所知.如果学生们连二次根式与三次根式的区别在哪里都不知道的话，那么偶次根式与奇次根式的区别在哪里他们更不清楚了.这么分析下来，我们应该首先设法让学生弄清平方根与立方根区别，其次应该让学生弄清二次根式与三次根式的区别，接下来还要让学生学会识别偶次根式与奇次根式并联想归类于二次根式与三次根式.按这样的知识信息顺序展开我们的教学，达成教学目标的周期一定会大大超出课程教学计划的安排要求，这样时间的使用效率达于低下，浪费了学生宝贵的青春年华.
二次根式（平方根）—三次根式（立方根）—n次根式，这样的知识信息呈现順序既不违背知识形成的逻辑顺序，又贴近学生认知生态，还能提高时间的使用效率.
在学习的初始阶段，我们可以让学生回忆二次根式的概念，并通过下面的问题来加深对二次根式概念的理解：
下列各式是否二次根式？为什么？
（1）3；（2）-5；（3）x.
学生能凭借初中所学回答出“形如a（a≥0）的式子叫二次根式”，这对我们的学生来说不是难事.不过一定有不少学生不会在意“a≥0”这个附加的条件，而这个条件是绝对不能忽视的，怎么强化？我们可以追问“a中a的取值有什么限制？”.在学生通过讨论得出正确结论后再进行上述问题的研讨.不过这样问就过于简单生硬，对于基础不扎实或者初中数学知识有所遗忘的学生来说，这样会让学生感到数学是悬在半空中的，使学生对数学望而生畏，怎能激发他们自发探寻知识的欲望！实践证明，在学生正确地答出“形如a（a≥0）的式子叫二次根式”后就可以组织学生开始上述问题的研究.因为学生在思考问题中“为什么？”时自然会回忆平方根概念，从而自发地探寻、讨论并理解“a≥0”的必要性.在此基础上，我们可以把二次根式的定义改为“如果a有意义，那么式子a叫二次根式”.为下一步的学习做好准备.
在学习的中期，要进行“三次根式（立方根）”的教学.我们可以通过让学生讨论下面的问题来进行：
（1）二次根式a的“二次”在式子a中怎么没有看到呢？
（2）受问题（1）的答案启发，请说出什么叫三次根式.
对于问题（2），我们的学生一定能不假思索地给出答案.只不过可能有人会选择“形如3a的式子叫三次根式”作为答案；也可能有人会选择“如果3a有意义，那么式子3a叫三次根式”作为答案.作为教师，我们可不能觉得学生们已经理解了三次根式的概念，我们还得通过下面的问题诊断下：
（1）在“形如3a的式子叫三次根式”中，为什么不像二次根式定义里那样加上“a≥0”这么个附加条件？
（2）如果3a有意义，那么式子3a叫三次根式.难道3a会无意义吗？
上面这两个用于判断的问题可以促进学生联系立方根概念及其与平方根的区别来生成三次根式的正确概念，为下一步的学习做好准备.
在学生掌握了二次根式、三次根式概念后引入n次根式应该是水到渠成了.再配上下列问题让学生思考解答，就能成功突破掌握n次根式概念的难点：
（1）下列各式是否根式？若不是，请说明理由；若是，请指出其根指数、被开方数.
13；3-2.7；4-5；5x；8a.
（2）求值：
（-1.4）2；
3-233；
4（-7）4；
5（a-b）5（a>b）；
6（3-π）6.
按照“二次根式（平方根）—三次根式（立方根）—n次根式”这样的顺序呈现知识信息、展开教学，把平方根、立方根概念的教学过程节约式嵌入到“二次根式—三次根式—n次根式”这条教学主线中，既不冲淡教学主线、淹没教学主题，又能发挥学生主体作用—自发地进行知识的检索、探寻、讨论、整理，让学生养成良好的学习习惯，在很短的时间内突破难点、掌握根式概念. 以上是在数学概念教学的实践中摸索出的数学知识信息呈现时序的处理技巧，在其他数学知识的教学中我们依然可以运用这里说到的信息处理技巧来优化我们的数学知识信息呈现的时序，培养学生的自主学习意识和自主学习能力，从而提高学生的数学核心素养.比如学生学习“向量的坐标运算”前要学习“基底向量和用基底向量表示向量”，而在学习“基底向量和用基底向量表示向量”之前要学习“向量的坐标”，所以“向量的坐标—基底向量和用基底向量表示向量—向量的坐标运算”是一个标准的知识信息展开时序.采用前面总结的信息处理技巧，我们可以把“基底向量和用基底向量表示向量”节约式嵌入“向量的坐标运算”的教学过程中.
三、对认知材料进行信息化加工，培养学生数学素养
（一）认知材料的视觉信息加工
曾经听过一位教师的幂函数概念课，他将认知材料“y=x，y=x2，y=x12，y=x-1”中的“y=x”用红色标出，将指数“2，12，-1”用深蓝色标出，在PPT中利用动画分别对这两部分进行闪烁、移动等强化，学生们一下就看出这组式子的异同，从而得出“形如y=xα（α≠0）的函数叫作幂函数”.
幂函数的本质特征作为信息隐藏在这组认知材料之中，把幂函数的本质特征处理成更易引起视觉反映的信息，新奇的视觉信息会激发学生兴趣并在大脑皮层形成相应的神经连接，这样学生就能轻松地形成幂函数概念.
把认知材料中形式相同、相异之处进行信息化处理，对学生的视觉产生强烈的刺激，学生很容易自己发现所要学习数学知识的形式特点，从而形成初步但深刻的印象.这位教师的成功之处也正在于此.同样的方法还可以用于指数函数概念教学、正弦型函数概念教学等.
（二）认知材料的听觉信息加工
数学知识的符号化程度很高，特别是认知成果的符号化.认知成果的符号化表达是文字表达的升华，是思维层次的飞跃，总之符号化的优点很多.但认知成果的符号化表达是建立在学生对认知成果的理解基础上的，如果教师发现我们的学生对认知成果理解不够深刻，我们如何补救呢？这里我们介绍一个方法，就是把符号化的材料口语化，实践证明这样可以增强学生的理解和记忆.
虚数单位i有這样的性质：i4n=1；i4n 1=i；i4n 2=-1；i4n 3=-i.
对于一些数学基础薄弱的学生来讲，要记住它就得费一番脑筋，落实到具体问题中应用它更非易事.可是课堂教学的进程已经到了记住并应用它了，教师又不能折返回去，再组织材料让学生重新“发现”一次吧，一堂课的时间就那么长，这样做对接受知识比较快的孩子也不公平呀.这时教师可以把它翻译成通俗的口头语言：4n是能被4整除的数，4n 1是被4除余1的数，4n 2是被4除余2的数，4n 3是被4除余3的数.把符号语言翻译成这些通俗的口头语言，学生听到耳朵中、记在心底里，加深了对符号的理解、记忆，用它来求诸如i2007一类值时也更方便.
在符号化程度较高的视觉材料不好掌握的情况下，可以把它转化为通俗的听觉材料，这种信息化处理有助于提高学生思维水平和应用能力.数学教材中适用这一教学模式的地方还是很多的，如正弦型函数的概念、复数的概念、余弦定理、正弦定理等等.
（三）认知材料的视、听觉信息加工
学完指数函数性质后教师们常常用下面的思考题促使学生加深对指数函数性质的理解：
利用指数函数的性质，比较1.935与1.958的大小.
引发学生想到用指数函数性质的因素是多方面的.单从数学认识材料信息化角度来看，让学生想到指数函数的前提是从这个问题的式子里提取指数函数定义中所包含的两个重要的信息：① 底数是常量、② 指数和幂是变量.怎样能让大多数（而不是少数）学生迅速从“1.935与1.958”中提取出信息①、②呢？我们可以这样做，在PPT中出现两个1.9的同时教师用口头语言强调：幂的底数同样是1.9，接着，在PPT中出现35和58前教师用口头语言强调：可是幂的指数不同，分别是35和58.用PPT展示1.9、35和58，这是用视觉信息呈现认知材料，用口头语言旁白“幂的底数同样是1.9”和“幂的指数不同，分别是35和58”，这是用听觉信息呈现认知材料.这里，我们把认知材料包含的目标信息用视、听觉信息分步或同步展现的模式，大多数学生都会迅速从“1.935与1.958”中提取出信息①、②，从而联想到指数函数，用指数函数性质解决此问题.
把认知材料一下子呈现在学生面前让学生自己发现，这种做法对大多数学生来说效果不好.如果我们把认知材料中的目标信息分别以视觉信息方式、听觉信息方式分步或同步呈现给我们的学生，这更有助于学生摄取“目标信息”，从而想到相关的数学知识，并用其来解决问题.利用幂函数性质、对数函数性质、三角函数性质解决问题的教学过程等，均适合这种模式.