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一元一次不等式(组)是中学数学的主要内容,也是历年中考的热点内容之一.中考中主要考查不等式的基本性质,由不等式组整数解的个数求字母的取值范围以及用不等式组来解决实际问题等.下面举例说明.
一、运用基本概念解题
例1下列式子中哪些是不等式.
①x+y=y+x;②-6>-10;③x≠6;④x+3>6; ⑤2m≤3n;⑥2x-3 ;⑦a+3≠a-6;⑧y+6≥8.
解析:不等式是用不等号连接起来表示不相等的关系的式子,判断的关键是看式子是否能用不等号连接.因此可以看出②、③、④、⑤、⑦、⑧是不等式,其余的不是.
例2下列不等式中,是一元一次不等式的是( ).
A.3x-2>0B.a2+8>0 C.x1
解析:一元一次不等式的定义主要由三部分组成,即不等式的左右两边都是整式,不等式中只含有一个未知数,未知数的最高次数是1,此三者缺一不可.由此可知选A.
点拨:熟练掌握相关概念是解决此类问题的关键.
二、运用基本性质解题
例3若a>b,则下列不等式一定成立的是( ).
A.<1 B.>1C.-a>-b D. a-b>0
解析:由于a、b的正负未知,所以A、B都不对;将a>b的两边乘以-1,由性质3可知,不等号的方向要改变,故C也不对;将a>b的两边都减去b,得a-b>0,故选D.
例4若a>b且c为有理数,则( ).
A .ac>bcB .acbc2 D .ac2≥bc2
解析:本题主要考查不等式性质的运用.要比较ac与bc, ac2 与bc2的大小,应对c进行讨论.由于c的正负不确定,所以ac与bc的大小也不确定.所以A、B不正确,又因c可能为0,故选D.
点拨:在运用不等式的性质时,要注意不等式性质3的运用,同时还要考虑到所乘的字母可能为零的情况.
三、运用数轴解题
例5不等式组-x≤1,x<3的解集在数轴上可以表示为().
解析:解此类问题首先要明确不等式组的解集在数轴上的表示方法,然后求不等式组的解集,最后确定出该不等式组的解集在数轴上的区间.由上面的分析知,C为正确答案.
例6解集在数轴上的表示如图1所示的不等式组是().
A.x>3,x≥2 B.x<-3,x≤2
C.x<-3,x≥2 D. x>-3,x≤2
解析:本题是由解集在数轴上的表示来确定不等式组.先根据图示确定解集,再找出正确的不等式组,要注意空心圆圈与实心圆点的区别.根据分析可知,本题选D.
点拨:把解集准确地表示在数轴上,或由解集在数轴上的表示来求不等式组,是我们必须掌握的知识.
四、运用不等式组解决实际问题
例7某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召,计划生产两种型号的冰箱100台.经预算,两种冰箱全部售出后,可获得利润不低于 4.75万元,不高于4.8万元,两种型号的冰箱生产成本和售价如表1:
(1)冰箱厂有哪几种生产方案?
(2)该冰箱厂按哪种方案生产,才能使投入成本最少?实施“家电下乡”政策后,农民买家电(冰箱、彩电、洗衣机)可享受13%的政府补贴,那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元?
(3)若按(2)中的方案生产,冰箱厂计划将获得的全部利润购买3种物品(体育器材、实验设备、办公用品)支援某希望小学.其中体育器材至多买4套,体育器材每套6 000元,实验设备每套3 000元,办公用品每套1 800元,把钱全部用尽且3种物品都购买的情况下,请你直接写出实验设备的买法共有多少种.
解析:本题是把对不等式知识的考查放到贴近生活的背景下展开的,解决本题的关键是找出不等式并看懂表格.
(1)设生产A型冰箱x台,则生产B型冰箱(100-x) 台,由题意可知47 500≤(2 800-2 200)x+(3 000-2 600)×(100-x)≤48 000, 解得37.5≤x≤40.
因为x是正整数,所以x取38,39或40.
有以下3种生产方案:
(2)设投入成本为y元,由题意有,y=2 200x+2 600(100-x)=-400x+260 000.因为-400<0,所以y随着x的增大而减小.所以当x=40时,y有最小值,即生产A型冰箱40台,生产B型冰箱60台,该厂投入成本最少.
此时,政府需要补贴给农民(2 800×40+3 000×60)×13%=37 960(元).
(3)实验设备的买法共有10种.
点拨:在解答实际应用题时,要仔细阅读题中所提供的材料,从中捕捉有用信息,再对信息进行加工处理,联系相关数学知识,实现信息的转换,使问题得到解决.
一、运用基本概念解题
例1下列式子中哪些是不等式.
①x+y=y+x;②-6>-10;③x≠6;④x+3>6; ⑤2m≤3n;⑥2x-3 ;⑦a+3≠a-6;⑧y+6≥8.
解析:不等式是用不等号连接起来表示不相等的关系的式子,判断的关键是看式子是否能用不等号连接.因此可以看出②、③、④、⑤、⑦、⑧是不等式,其余的不是.
例2下列不等式中,是一元一次不等式的是( ).
A.3x-2>0B.a2+8>0 C.x
解析:一元一次不等式的定义主要由三部分组成,即不等式的左右两边都是整式,不等式中只含有一个未知数,未知数的最高次数是1,此三者缺一不可.由此可知选A.
点拨:熟练掌握相关概念是解决此类问题的关键.
二、运用基本性质解题
例3若a>b,则下列不等式一定成立的是( ).
A.<1 B.>1C.-a>-b D. a-b>0
解析:由于a、b的正负未知,所以A、B都不对;将a>b的两边乘以-1,由性质3可知,不等号的方向要改变,故C也不对;将a>b的两边都减去b,得a-b>0,故选D.
例4若a>b且c为有理数,则( ).
A .ac>bcB .ac
解析:本题主要考查不等式性质的运用.要比较ac与bc, ac2 与bc2的大小,应对c进行讨论.由于c的正负不确定,所以ac与bc的大小也不确定.所以A、B不正确,又因c可能为0,故选D.
点拨:在运用不等式的性质时,要注意不等式性质3的运用,同时还要考虑到所乘的字母可能为零的情况.
三、运用数轴解题
例5不等式组-x≤1,x<3的解集在数轴上可以表示为().
解析:解此类问题首先要明确不等式组的解集在数轴上的表示方法,然后求不等式组的解集,最后确定出该不等式组的解集在数轴上的区间.由上面的分析知,C为正确答案.
例6解集在数轴上的表示如图1所示的不等式组是().
A.x>3,x≥2 B.x<-3,x≤2
C.x<-3,x≥2 D. x>-3,x≤2
解析:本题是由解集在数轴上的表示来确定不等式组.先根据图示确定解集,再找出正确的不等式组,要注意空心圆圈与实心圆点的区别.根据分析可知,本题选D.
点拨:把解集准确地表示在数轴上,或由解集在数轴上的表示来求不等式组,是我们必须掌握的知识.
四、运用不等式组解决实际问题
例7某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召,计划生产两种型号的冰箱100台.经预算,两种冰箱全部售出后,可获得利润不低于 4.75万元,不高于4.8万元,两种型号的冰箱生产成本和售价如表1:
(1)冰箱厂有哪几种生产方案?
(2)该冰箱厂按哪种方案生产,才能使投入成本最少?实施“家电下乡”政策后,农民买家电(冰箱、彩电、洗衣机)可享受13%的政府补贴,那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元?
(3)若按(2)中的方案生产,冰箱厂计划将获得的全部利润购买3种物品(体育器材、实验设备、办公用品)支援某希望小学.其中体育器材至多买4套,体育器材每套6 000元,实验设备每套3 000元,办公用品每套1 800元,把钱全部用尽且3种物品都购买的情况下,请你直接写出实验设备的买法共有多少种.
解析:本题是把对不等式知识的考查放到贴近生活的背景下展开的,解决本题的关键是找出不等式并看懂表格.
(1)设生产A型冰箱x台,则生产B型冰箱(100-x) 台,由题意可知47 500≤(2 800-2 200)x+(3 000-2 600)×(100-x)≤48 000, 解得37.5≤x≤40.
因为x是正整数,所以x取38,39或40.
有以下3种生产方案:
(2)设投入成本为y元,由题意有,y=2 200x+2 600(100-x)=-400x+260 000.因为-400<0,所以y随着x的增大而减小.所以当x=40时,y有最小值,即生产A型冰箱40台,生产B型冰箱60台,该厂投入成本最少.
此时,政府需要补贴给农民(2 800×40+3 000×60)×13%=37 960(元).
(3)实验设备的买法共有10种.
点拨:在解答实际应用题时,要仔细阅读题中所提供的材料,从中捕捉有用信息,再对信息进行加工处理,联系相关数学知识,实现信息的转换,使问题得到解决.