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纵观近几年来全国各地中考试卷，不难发现，分类讨论思想的应用起着关键作用.因为这类题目不仅考查学生的数学基本知识和方法，更能考查学生思维的深刻性和严密性.因此命题人会为了区分出优等生，多数在试卷压轴题上都渗透着分类讨论的思想.在解决此类问题时，学生因考虑不全面很容易失分较多，所以我们在研究问题的解法时，需要仔细审题，考虑周到，力求做到不重不漏，获得完整规范的解题步骤.下面就近几年中考中涉及分类讨论问题归纳如下，希望对同学们的复习有所帮助.
一、 问题中含有变量或参数字母的，要进行分类讨论
例1关于x的方程ax2-2x+1=0有实数根，则a满足（）.
A. a≤1 B. a≠0
C. a＜1且a≠0 D. a≤1且a≠0
分析本题是“关于x的方程ax2-2x+1=0有实数根”，而不是有两个实数根，也没说明该方程是一元二次方程，所以ａ可以为0.当a=0时，方程的根是x=，当a≠0时，b2-4ac≥0即a≤1时，方程ax2-2x+1=0有实数根.故选A.
说明当遇到方程的二次项系数带有字母时，要对二次项系数进行讨论，以确定题中给出的方程是一元一次方程还是一元二次方程.
例2若直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是1，则b的值为.
分析直线y=-2x+b可以过一二四象限，还可以过二三四象限，当x=0时，y=b，当y=0时，x=，所以••b=1，b=±2.
说明一次函数与坐标轴交点位置不确定时，要进行分类讨论，防止漏解.
二、问题中的条件不具体，要进行分类讨论
例3若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数y=-图象上的两个点，且a1＜a2，则b1，b2大小关系()
A. b1＜b2 B. b1=b2
C. b1＞b2 D. 不能确定
分析当a1＜a2＜0时，或0＜a1＜a2时，b1＜b2；当a1＜0＜a2， b1＞b2.所以选D不能确定.
说明因为反比例函数图象增减性性质，强调在每一个象限内，当题目中所给条件不明确时，要分情况讨论，分为在同一象限和不在同一象限.
例4若一次函数y=-x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，在坐标轴x轴上取一点，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C最多有个.
分析若AB为底，AB的垂直平分线与x轴的交点就是C点，若AB为腰，又分A为顶点和B为顶点，若A为顶点，以A为圆心，AB长为半径画弧与x轴的交点就是C点（有两个），以B为圆心，BA长为半径画弧与x轴的交点就是C点（有一个），所以共有4个.
说明本题除了按边分类，分为底边和腰，还可以按角分类.当题目中没有明确说出那个是顶角.遇到这种情况要对等腰三角形的顶角进行分类讨论，可能是∠A，∠B，或∠C，题目中没有要求点的坐标，同学们可以尝试求出.
三、 图形的形状和位置变化，要进行分类讨论
例5如图，已知点A（6，0），B（0，6），经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．
（1） 用含t的代数式表示点P的坐标；
（2） 過O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．
分析（1） 因为直线l向下作匀速平移运动的过程中与x轴正方向夹角始终是30°，过P点作y轴的垂线构造直角三角形，这样就可以用直角三角形的知识求解了.
（2） 因为直线l向下做平移运动，OC与x轴正方向的夹角保持60°不变，直线OC也就是一条定直线，分⊙P在左侧与直线OC相切和⊙P在右侧与直线OC相切.2种情况共同点就是⊙P与直线OC相切时，圆心P到直线OC的距离都等于的半径1，当⊙P与直线OC相切时，圆心P到直线CD的距离显然小于线段PC的长，所以此时⊙P与直线CD相交.
解（1） 作PH⊥OB于H（如图1），
∵ A（6，0），B（0，6）
∴ =
∴ ∠OAB＝30°
∵ PB＝t，∠BPH＝30°，
∴ BH＝t，HP＝t;
∴ OH＝6-t-t=6-t，
∴ P（t，6-t）
（2） 当⊙P在左侧与直线OC相切时（如图2），
∵ OB＝6-t，∠BOC＝30°
∴ BC＝（6-t）=3-t
∴ PC=3-t-t=3-t
由3-t=1，得t= （s），此时⊙P与直线CD相交．
当⊙P在右侧与直线OC相切时（如图3），
PC=t-（6-t）=t -3
由t-3=1，得t=（s），此时⊙P与直线CD相交．
所以，当t=s或s时，⊙P与直线OC相切，
⊙P与直线CD相交．
说明本题属于图形位置变化，这样一个动态问题，在思想方法上运用分类讨论的思想，在解法上运用圆的相关几何知识，并注意点的坐标与线段长度之间的转化关系.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、 问题中含有变量或参数字母的，要进行分类讨论
例1关于x的方程ax2-2x+1=0有实数根，则a满足（）.
A. a≤1 B. a≠0
C. a＜1且a≠0 D. a≤1且a≠0
分析本题是“关于x的方程ax2-2x+1=0有实数根”，而不是有两个实数根，也没说明该方程是一元二次方程，所以ａ可以为0.当a=0时，方程的根是x=，当a≠0时，b2-4ac≥0即a≤1时，方程ax2-2x+1=0有实数根.故选A.
说明当遇到方程的二次项系数带有字母时，要对二次项系数进行讨论，以确定题中给出的方程是一元一次方程还是一元二次方程.
例2若直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是1，则b的值为.
分析直线y=-2x+b可以过一二四象限，还可以过二三四象限，当x=0时，y=b，当y=0时，x=，所以••b=1，b=±2.
说明一次函数与坐标轴交点位置不确定时，要进行分类讨论，防止漏解.
二、问题中的条件不具体，要进行分类讨论
例3若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数y=-图象上的两个点，且a1＜a2，则b1，b2大小关系()
A. b1＜b2 B. b1=b2
C. b1＞b2 D. 不能确定
分析当a1＜a2＜0时，或0＜a1＜a2时，b1＜b2；当a1＜0＜a2， b1＞b2.所以选D不能确定.
说明因为反比例函数图象增减性性质，强调在每一个象限内，当题目中所给条件不明确时，要分情况讨论，分为在同一象限和不在同一象限.
例4若一次函数y=-x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，在坐标轴x轴上取一点，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C最多有个.
分析若AB为底，AB的垂直平分线与x轴的交点就是C点，若AB为腰，又分A为顶点和B为顶点，若A为顶点，以A为圆心，AB长为半径画弧与x轴的交点就是C点（有两个），以B为圆心，BA长为半径画弧与x轴的交点就是C点（有一个），所以共有4个.
说明本题除了按边分类，分为底边和腰，还可以按角分类.当题目中没有明确说出那个是顶角.遇到这种情况要对等腰三角形的顶角进行分类讨论，可能是∠A，∠B，或∠C，题目中没有要求点的坐标，同学们可以尝试求出.
三、 图形的形状和位置变化，要进行分类讨论
例5如图，已知点A（6，0），B（0，6），经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．
（1） 用含t的代数式表示点P的坐标；
（2） 過O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．
分析（1） 因为直线l向下作匀速平移运动的过程中与x轴正方向夹角始终是30°，过P点作y轴的垂线构造直角三角形，这样就可以用直角三角形的知识求解了.
（2） 因为直线l向下做平移运动，OC与x轴正方向的夹角保持60°不变，直线OC也就是一条定直线，分⊙P在左侧与直线OC相切和⊙P在右侧与直线OC相切.2种情况共同点就是⊙P与直线OC相切时，圆心P到直线OC的距离都等于的半径1，当⊙P与直线OC相切时，圆心P到直线CD的距离显然小于线段PC的长，所以此时⊙P与直线CD相交.
解（1） 作PH⊥OB于H（如图1），
∵ A（6，0），B（0，6）
∴ =
∴ ∠OAB＝30°
∵ PB＝t，∠BPH＝30°，
∴ BH＝t，HP＝t;
∴ OH＝6-t-t=6-t，
∴ P（t，6-t）
（2） 当⊙P在左侧与直线OC相切时（如图2），
∵ OB＝6-t，∠BOC＝30°
∴ BC＝（6-t）=3-t
∴ PC=3-t-t=3-t
由3-t=1，得t= （s），此时⊙P与直线CD相交．
当⊙P在右侧与直线OC相切时（如图3），
PC=t-（6-t）=t -3
由t-3=1，得t=（s），此时⊙P与直线CD相交．
所以，当t=s或s时，⊙P与直线OC相切，
⊙P与直线CD相交．
说明本题属于图形位置变化，这样一个动态问题，在思想方法上运用分类讨论的思想，在解法上运用圆的相关几何知识，并注意点的坐标与线段长度之间的转化关系.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文