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纵观近几年来全国各地中考试卷,不难发现,分类讨论思想的应用起着关键作用.因为这类题目不仅考查学生的数学基本知识和方法,更能考查学生思维的深刻性和严密性.因此命题人会为了区分出优等生,多数在试卷压轴题上都渗透着分类讨论的思想.在解决此类问题时,学生因考虑不全面很容易失分较多,所以我们在研究问题的解法时,需要仔细审题,考虑周到,力求做到不重不漏,获得完整规范的解题步骤.下面就近几年中考中涉及分类讨论问题归纳如下,希望对同学们的复习有所帮助.
一、 问题中含有变量或参数字母的,要进行分类讨论
例1关于x的方程ax2-2x+1=0有实数根,则a满足().
A. a≤1 B. a≠0
C. a<1且a≠0 D. a≤1且a≠0
分析本题是“关于x的方程ax2-2x+1=0有实数根”,而不是有两个实数根,也没说明该方程是一元二次方程,所以a可以为0.当a=0时,方程的根是x=,当a≠0时,b2-4ac≥0即a≤1时,方程ax2-2x+1=0有实数根.故选A.
说明当遇到方程的二次项系数带有字母时,要对二次项系数进行讨论,以确定题中给出的方程是一元一次方程还是一元二次方程.
例2若直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是1,则b的值为.
分析直线y=-2x+b可以过一二四象限,还可以过二三四象限,当x=0时,y=b,当y=0时,x=,所以••b=1,b=±2.
说明一次函数与坐标轴交点位置不确定时,要进行分类讨论,防止漏解.
二、问题中的条件不具体,要进行分类讨论
例3若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数y=-图象上的两个点,且a1<a2,则b1,b2大小关系()
A. b1<b2 B. b1=b2
C. b1>b2 D. 不能确定
分析当a1<a2<0时,或0<a1<a2时,b1<b2;当a1<0<a2, b1>b2.所以选D不能确定.
说明因为反比例函数图象增减性性质,强调在每一个象限内,当题目中所给条件不明确时,要分情况讨论,分为在同一象限和不在同一象限.
例4若一次函数y=-x+4分别交x轴,y轴于A,B两点,在坐标轴x轴上取一点,使△ABC为等腰三角形,则这样的点C最多有个.
分析若AB为底,AB的垂直平分线与x轴的交点就是C点,若AB为腰,又分A为顶点和B为顶点,若A为顶点,以A为圆心,AB长为半径画弧与x轴的交点就是C点(有两个),以B为圆心,BA长为半径画弧与x轴的交点就是C点(有一个),所以共有4个.
说明本题除了按边分类,分为底边和腰,还可以按角分类.当题目中没有明确说出那个是顶角.遇到这种情况要对等腰三角形的顶角进行分类讨论,可能是∠A,∠B,或∠C,题目中没有要求点的坐标,同学们可以尝试求出.
三、 图形的形状和位置变化,要进行分类讨论
例5如图,已知点A(6,0),B(0,6),经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动,与此同时,点P从点B出发,在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动.设它们运动的时间为t秒.
(1) 用含t的代数式表示点P的坐标;
(2) 過O作OC⊥AB于C,过C作CD⊥x轴于D,问:t为何值时,以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切?并说明此时⊙P与直线CD的位置关系.
分析(1) 因为直线l向下作匀速平移运动的过程中与x轴正方向夹角始终是30°,过P点作y轴的垂线构造直角三角形,这样就可以用直角三角形的知识求解了.
(2) 因为直线l向下做平移运动,OC与x轴正方向的夹角保持60°不变,直线OC也就是一条定直线,分⊙P在左侧与直线OC相切和⊙P在右侧与直线OC相切.2种情况共同点就是⊙P与直线OC相切时,圆心P到直线OC的距离都等于的半径1,当⊙P与直线OC相切时,圆心P到直线CD的距离显然小于线段PC的长,所以此时⊙P与直线CD相交.
解(1) 作PH⊥OB于H(如图1),
∵ A(6,0),B(0,6)
∴ =
∴ ∠OAB=30°
∵ PB=t,∠BPH=30°,
∴ BH=t,HP=t;
∴ OH=6-t-t=6-t,
∴ P(t,6-t)
(2) 当⊙P在左侧与直线OC相切时(如图2),
∵ OB=6-t,∠BOC=30°
∴ BC=(6-t)=3-t
∴ PC=3-t-t=3-t
由3-t=1,得t= (s),此时⊙P与直线CD相交.
当⊙P在右侧与直线OC相切时(如图3),
PC=t-(6-t)=t -3
由t-3=1,得t=(s),此时⊙P与直线CD相交.
所以,当t=s或s时,⊙P与直线OC相切,
⊙P与直线CD相交.
说明本题属于图形位置变化,这样一个动态问题,在思想方法上运用分类讨论的思想,在解法上运用圆的相关几何知识,并注意点的坐标与线段长度之间的转化关系.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、 问题中含有变量或参数字母的,要进行分类讨论
例1关于x的方程ax2-2x+1=0有实数根,则a满足().
A. a≤1 B. a≠0
C. a<1且a≠0 D. a≤1且a≠0
分析本题是“关于x的方程ax2-2x+1=0有实数根”,而不是有两个实数根,也没说明该方程是一元二次方程,所以a可以为0.当a=0时,方程的根是x=,当a≠0时,b2-4ac≥0即a≤1时,方程ax2-2x+1=0有实数根.故选A.
说明当遇到方程的二次项系数带有字母时,要对二次项系数进行讨论,以确定题中给出的方程是一元一次方程还是一元二次方程.
例2若直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是1,则b的值为.
分析直线y=-2x+b可以过一二四象限,还可以过二三四象限,当x=0时,y=b,当y=0时,x=,所以••b=1,b=±2.
说明一次函数与坐标轴交点位置不确定时,要进行分类讨论,防止漏解.
二、问题中的条件不具体,要进行分类讨论
例3若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数y=-图象上的两个点,且a1<a2,则b1,b2大小关系()
A. b1<b2 B. b1=b2
C. b1>b2 D. 不能确定
分析当a1<a2<0时,或0<a1<a2时,b1<b2;当a1<0<a2, b1>b2.所以选D不能确定.
说明因为反比例函数图象增减性性质,强调在每一个象限内,当题目中所给条件不明确时,要分情况讨论,分为在同一象限和不在同一象限.
例4若一次函数y=-x+4分别交x轴,y轴于A,B两点,在坐标轴x轴上取一点,使△ABC为等腰三角形,则这样的点C最多有个.
分析若AB为底,AB的垂直平分线与x轴的交点就是C点,若AB为腰,又分A为顶点和B为顶点,若A为顶点,以A为圆心,AB长为半径画弧与x轴的交点就是C点(有两个),以B为圆心,BA长为半径画弧与x轴的交点就是C点(有一个),所以共有4个.
说明本题除了按边分类,分为底边和腰,还可以按角分类.当题目中没有明确说出那个是顶角.遇到这种情况要对等腰三角形的顶角进行分类讨论,可能是∠A,∠B,或∠C,题目中没有要求点的坐标,同学们可以尝试求出.
三、 图形的形状和位置变化,要进行分类讨论
例5如图,已知点A(6,0),B(0,6),经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动,与此同时,点P从点B出发,在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动.设它们运动的时间为t秒.
(1) 用含t的代数式表示点P的坐标;
(2) 過O作OC⊥AB于C,过C作CD⊥x轴于D,问:t为何值时,以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切?并说明此时⊙P与直线CD的位置关系.
分析(1) 因为直线l向下作匀速平移运动的过程中与x轴正方向夹角始终是30°,过P点作y轴的垂线构造直角三角形,这样就可以用直角三角形的知识求解了.
(2) 因为直线l向下做平移运动,OC与x轴正方向的夹角保持60°不变,直线OC也就是一条定直线,分⊙P在左侧与直线OC相切和⊙P在右侧与直线OC相切.2种情况共同点就是⊙P与直线OC相切时,圆心P到直线OC的距离都等于的半径1,当⊙P与直线OC相切时,圆心P到直线CD的距离显然小于线段PC的长,所以此时⊙P与直线CD相交.
解(1) 作PH⊥OB于H(如图1),
∵ A(6,0),B(0,6)
∴ =
∴ ∠OAB=30°
∵ PB=t,∠BPH=30°,
∴ BH=t,HP=t;
∴ OH=6-t-t=6-t,
∴ P(t,6-t)
(2) 当⊙P在左侧与直线OC相切时(如图2),
∵ OB=6-t,∠BOC=30°
∴ BC=(6-t)=3-t
∴ PC=3-t-t=3-t
由3-t=1,得t= (s),此时⊙P与直线CD相交.
当⊙P在右侧与直线OC相切时(如图3),
PC=t-(6-t)=t -3
由t-3=1,得t=(s),此时⊙P与直线CD相交.
所以,当t=s或s时,⊙P与直线OC相切,
⊙P与直线CD相交.
说明本题属于图形位置变化,这样一个动态问题,在思想方法上运用分类讨论的思想,在解法上运用圆的相关几何知识,并注意点的坐标与线段长度之间的转化关系.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文