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线段、射线、直线是平面图形的基础知识,也是同学们常见的研究对象。在小学,同学们常常采用的是直观性识图,由于没有学习过图形的严谨表示方法,缺少几何语言的严谨表述,因此在初中课堂表现及作业练习中常常会出现一些错误,现在帮助大家归纳整理。
一、 概念不清易混淆
例1 给出以下四种说法:①A、B是直线上两点,那么直线可表示成直线AB;②线段AB与线段BA是相同的图形;③延长射线AB就得到一条直线;④射线AB与BA是相同的图形。其中正确说法的个数是( )。
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】直线可以记作直线AB,也可以记作直线BA,表示直线的两个大写字母没有顺序;线段AB两个端点没有顺序,可以记作线段AB或线段BA;射线AB的端点是A,延长射线AB,仍是射线AB;射线AB与BA的端点不同,延伸方向不同,所以是不同的图形。故选B。
【点评】本道题目需要辨别概念的本质特征,有无端点,是否能度量,是否能延伸,要加强概念的对比性理解,即理解概念的内涵和外延。
二、方法模糊有错解
例2 解决下列问题:(1)平面内有三点A、B、C,过A、B、C三个点中的任意两点画直线,可以画几条直线?(2)平面内有四点A、B、C、D,过A、B、C、D四个点中的任意两点画直线,最多可以画几条直线?(3)平面内有n个点,过这n个点中的任意两点画直线,最多可以画几条直线?
【分析】(1)首先,平面内三点A、B、C的位置要进行分类讨论,可能在同一直线上,则过这三点有且只有一条直线;也可能三点不在同一直线上,画图分析,此时经过任意两点画直线可以画三条。本题是为第(2)(3)问做铺垫,当平面内任意三点不在同一直线上时,过任意两点最多可以画出几条直线?(2)本小题需要解决的是“最多可以画几条直线”,所以不需要进行分类讨论,当平面内四点中任意三点不在同一直线的时候,最多可以画出共6条直线。(3)需要解决的是“最多可以画几条直线”,所以也不需要进行分类讨论,当平面内n个点中任意三点不在同一直线的时候,最多可以画出的直线共[nn-12]条。
【点评】(1)部分同学在解答本题时容易受思维定势的影响,不会进行分类讨论,尤其会疏漏三点共线的情况。问题(3)是问题(2)的一般化,平面内的点从四个点变成n个点,从特殊到一般,从具体的数字计算到用字母表示,对同学们来说是一种思维的飞跃,我们可以适当选取平面内有四个点、五个点的情况,利用数形结合的方法归纳最多可以画出的直线数量。
三、迁移不当缺灵活
例3 在北廣高铁沿线上共有45个车站,在这45个车站之间有多少种票价?
【讲解】本题中每个车站与其他44个车站之间都要确定一个票价,所以,很多同学容易想到45×44=1980。但由于票价是由里程决定的,往返票价是相同的,所以,所得的结果产生了重复,并且是重复计算两遍。实际上共有票价45×44÷2=990种。
【点评】本题以生活实际中票价问题为背景,这个情境贴近生活,便于理解,易于联想。本题的数学模型是同一直线上的数线段问题,这和同一直线上共有45个点,共有多少条线段本质上是相同的。“票价”与“数线段”这两个问题的背景、条件和要求看起来不同,但可以理解为点和点之间的连线段问题。将两类问题加以辨别、对比,加强解决问题策略的正迁移,可以提升解题的灵活度。
(作者单位:江苏省常州市武进区前黄初级中学)
一、 概念不清易混淆
例1 给出以下四种说法:①A、B是直线上两点,那么直线可表示成直线AB;②线段AB与线段BA是相同的图形;③延长射线AB就得到一条直线;④射线AB与BA是相同的图形。其中正确说法的个数是( )。
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】直线可以记作直线AB,也可以记作直线BA,表示直线的两个大写字母没有顺序;线段AB两个端点没有顺序,可以记作线段AB或线段BA;射线AB的端点是A,延长射线AB,仍是射线AB;射线AB与BA的端点不同,延伸方向不同,所以是不同的图形。故选B。
【点评】本道题目需要辨别概念的本质特征,有无端点,是否能度量,是否能延伸,要加强概念的对比性理解,即理解概念的内涵和外延。
二、方法模糊有错解
例2 解决下列问题:(1)平面内有三点A、B、C,过A、B、C三个点中的任意两点画直线,可以画几条直线?(2)平面内有四点A、B、C、D,过A、B、C、D四个点中的任意两点画直线,最多可以画几条直线?(3)平面内有n个点,过这n个点中的任意两点画直线,最多可以画几条直线?
【分析】(1)首先,平面内三点A、B、C的位置要进行分类讨论,可能在同一直线上,则过这三点有且只有一条直线;也可能三点不在同一直线上,画图分析,此时经过任意两点画直线可以画三条。本题是为第(2)(3)问做铺垫,当平面内任意三点不在同一直线上时,过任意两点最多可以画出几条直线?(2)本小题需要解决的是“最多可以画几条直线”,所以不需要进行分类讨论,当平面内四点中任意三点不在同一直线的时候,最多可以画出共6条直线。(3)需要解决的是“最多可以画几条直线”,所以也不需要进行分类讨论,当平面内n个点中任意三点不在同一直线的时候,最多可以画出的直线共[nn-12]条。
【点评】(1)部分同学在解答本题时容易受思维定势的影响,不会进行分类讨论,尤其会疏漏三点共线的情况。问题(3)是问题(2)的一般化,平面内的点从四个点变成n个点,从特殊到一般,从具体的数字计算到用字母表示,对同学们来说是一种思维的飞跃,我们可以适当选取平面内有四个点、五个点的情况,利用数形结合的方法归纳最多可以画出的直线数量。
三、迁移不当缺灵活
例3 在北廣高铁沿线上共有45个车站,在这45个车站之间有多少种票价?
【讲解】本题中每个车站与其他44个车站之间都要确定一个票价,所以,很多同学容易想到45×44=1980。但由于票价是由里程决定的,往返票价是相同的,所以,所得的结果产生了重复,并且是重复计算两遍。实际上共有票价45×44÷2=990种。
【点评】本题以生活实际中票价问题为背景,这个情境贴近生活,便于理解,易于联想。本题的数学模型是同一直线上的数线段问题,这和同一直线上共有45个点,共有多少条线段本质上是相同的。“票价”与“数线段”这两个问题的背景、条件和要求看起来不同,但可以理解为点和点之间的连线段问题。将两类问题加以辨别、对比,加强解决问题策略的正迁移,可以提升解题的灵活度。
(作者单位:江苏省常州市武进区前黄初级中学)