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摘要：
工程中基桩大多处于复杂的成层地基中，鲜有位于单一土层中，从宏观角度出发，引入初始地基比例系数，提出了基于m法的双曲线型py曲线。某现场7根试桩地基土非线性显著，实测和理论计算的地面处桩身水平位移水平荷载关系曲线均呈良好的二次抛物线关系，且理论与实测曲线吻合良好，验证了本文py曲线模型。地基土非线性对桩身最大弯矩、桩侧地基土压力影响显著，不容忽略。工程实际中采用m法计算基桩最大弯矩值偏小，建议乘以1.05～1.25的系数，以计入地基土非线性影响。
关键词：
m法；初始地基比例系数；双曲线型py曲线；基桩
中图分类号：TU473.1
文献标志码：A文章编号：16744764（2017）02011508
Abstract：
Most piles are set in layered soils. The initial foundation coefficient， a hyperbolic py curve containing a parameter， is derived to generally simulate the nonlinear soil around the pile. The soil around the tested pile is nonlinear， and both the tested and the calculated lateral displacement of the tested pile at the ground have a parabolic relation with the horizontal loads. The calculated lateral displacements of the tested pile at the ground fit the tested lateral displacements very well， and the hyperbolic py curve is proved good. The nonlinear soil will greatly increase both the maximum moment of the pile and the soil pressure. Thus it is suggested that the designed moment of the pile which is calculated by mmethod， should magnified 1.05～1.25 times in order to consider the nonlinearity of the soil around the pile.
Keywords：
mmethod； the initial foundation coefficient； hyperbolic py curve； pile
模拟桩侧非线性土一般采用py曲线法。学者们此进行了大量室内模型试验研究，提出了很多不同形式的py曲线。但基于现场试桩水平承载力试验并从宏观角度研究py曲线的极少。
Matlock[2]、Reese等[3]、Stvens等[4]提出了粘性土py曲線，其桩侧土压力与桩身水平位移成幂函数关系；王惠初等[6]、田平等[6]基于钢管模型桩试验提了河海大学新统一法，其桩侧粘土压力与桩身水平位移为双曲线函数关系。API规范中砂土py曲线、王腾等[7]基于钢管模型桩试验提出的粉土py曲线、戚春香等[8]提出的弱饱和土py曲线，其桩侧土压力与水平位移为双曲正切函数关系。王国粹等[9]认为砂土py曲线亦可用双曲线函数模拟。李雨润等[10]提出了液化土中py曲线的修正算法，凌贤长等[11]、刘红军等[12]较为全面的介绍了液化土py曲线研究进展。楼晓明等[13]提出了一种根据py曲线计算地基比例系数的方法，首次将py曲线与m法结合了起来。刘红军等[14]根据玻璃管桩模型试验提出了黄河水下三角洲快速沉积粉土层的py曲线，其桩侧土压力与桩身水平位移为双曲线函数关系。
上述py曲线均依据模型桩试验结果提出，特征参数确定较为复杂，侧重不同类型土非线性研究，地域性特征明显。工程基桩大多位于多层土中，极少位于单一匀质土层中，实际工程环境比室内模型试验环境复杂得多。因此基于工程试桩水平承载力试验并从宏观角度研究桩侧土py曲线，再进一步研究的基桩受力性能具有实际意义。
基于王惠初等[5]提出的粘土双曲线型py曲线和王国粹等[9]提出的砂土双曲线型py曲线，并假定桩侧极限土压力与朗肯被动土压力线性相关，从宏观角度出发，引入初始地基比例系数，提出基于m法的双曲线型py曲线，并从宏观上总体研究桩侧土非线性特征，进而研究基桩受力特性。
1基于m法的双曲线型py曲线
按王惠初等[5]提出的粘土双曲线型py曲线（又称河海大学统一法）为
p=yay50+bypu=yay50b+y·puby50=Aε50D （1）
式中：y为水平位移；p为发生水平位移y时的桩侧土压力；pu为桩侧极限土压力；D为桩径；ε50为土三轴试验中最大主应力达到极限主应力一半时的应变值；β为系数，文献[5]中建议软粘土可取9，硬粘土取12；A为系数。
按文献[9]提出的砂土双曲线型py曲线为
p=yayc+bypu=yaycb+y·pub（2）
式中： a、b为系数，文献[9]中建议a=0.186、b=0929；yc为位移参考值，其余符号意义同式（1）。
从宏观角度出发，沿袭m法地面桩侧土压力为零的特点，假定桩侧极限土压力与朗肯无粘性被动土压力线性相关，计算式为 pu=Cγztan2（45°+φ/2）（3）
式中：C为系数；φ为内摩擦角，可取基桩深度范围内各土层内摩擦角的加权平均值；γ为土容重，可取基桩深度范围内各土层容重的加权平均值；z为计算点深度。
将式（3）代入式（1），则黏土py曲线为
p=yLyL+ym0zym0=Cγtan2（45°+φ/2）ay50yL=aby50 （4）
将式（3）代入式（2），则砂土py曲线为
p=yLyL+ym0zym0=Cγtan2（45°+φ/2）aycyL=abyc（5）
由式（4）和式（5）可知，砂土和黏土py曲线形式相似。工程实际中基桩极少位于单一砂性土或单一粘性土中，大多位于砂性土和粘性土等组成的成层地基中。且基于单一土层的py曲线虽已有大量研究成果，却与现行规范推荐的m法联系甚微，不便于工程推广应用。因此，构想一种参数较少、形式简介又承袭m法的py曲线有工程实际意义。
从宏观应用角度出发，本文提出了一种基于m法的py曲线，以方便工程实际中计入桩周地基土非线性的影响，形式为
p=yLyL+ym0zy（6）
式（6）即由式（4）和式（5）演变而來，p为地面以下z处桩身发生水平位移y时对应的桩侧土压力；m0为初始地基比例系数，可由基桩水平承载力试验确定或经验选取，有水平承载力试验时可取第1～3级水平荷载位移值反算的地基比例系数均值再乘以大于1的经验系数确定，一般为1.1～2.0，非线性特征小取小值，非线性特征大则取大值；yL为位移特征值，主要与桩周土整体非线性特性有关，其值由桩周土总体非线性特征显著程度决定，非线性特征越显著则位移特征值愈小，非线性特征越小则位移特征值愈大，当趋于线性时位移特征值理论值趋无穷大；当合理选定了m0值后，根据最后一级水平力荷载下的位移值，即可反算得yL值。
上述双曲线型py曲线承袭了m法假定，形式简洁，参数少，现有商业有限元软件可通过多段折线弹簧模拟，易于被工程技术人员接受。
通过软硬不同的各类土中试桩的m0值和yL值，汇总成表，并作为工程应用计算参数参考选值是有意义的。
2基于m法py曲线的基桩有限元计
算步骤
1）划分节点和单元。
2）按有限杆单元法形成单元荷载矩阵、位移矩阵、刚度矩阵矩阵。
3）根据桩侧土压力本构模型，即按式（4）～（6）计算地基土约束的节点等效弹簧刚度矩阵[k]。地面以下深度zi处i节点的地基土弹性刚度按式（7）计算。
ki=xLm0zxL+xi·b·（zi+1-zi-1）2（5）
式中：i、i+1、i-1为单元节点编号；xi为i节点的水平位移；zi为i节点埋深；b为基桩计算宽度，首次迭代计算时候取值为0；m0、yL意义同式（4）～（6）。
4）基桩总体刚度方程为
{F}+[k]{-δ}=[K]{δ}（8）
或
{F}=[K+k]{δ}（9）
式中：{F}为荷载列阵；{δ}为位移列阵；[K]为初始刚度矩阵；[k]为节点边界约束刚度矩阵。
5）求解式（8）～（9）可得单元节点位移。
6）将求解的位移代入式（7），求得新的边界条件刚度矩阵，如此重复（3）～（5）步骤直至计算精度满足要求。
7）根据单元节点位移结果和杆单元刚度方程，即可计算得到节点内力。如需考虑PΔ效应，杆单元刚度矩阵方程可按文献[1516]中方法计入轴力影响即可。
3验证案例一
根据文献[1]的基桩水平承载力现场试验，场地上层为3.5～4 m厚的灰褐色轻亚粘土，可塑到软塑状态；下层为灰色粉砂，饱和中密状态；地下水位深为2.0 m，水平力采用循环加载方式。为规避基桩因开裂抗弯刚度变化，仅取基桩开裂荷载前的试验数据进行对比分析。试桩直径d=0.6 m，2#桩长9 m，3#桩长12 m，6#桩长6 m。计算宽度按现行规范计取，混凝土弹性模量Eh=3.0×104 MPa，计算刚度为EhIh/1.5，Ih为混凝土全截面惯性矩。
2#桩前3级水平力试验数据反算的地基比例系数分别为11.47、11.83、10.53 MN/m4，其平均值的1.6倍为18 MN/m4，则初始地基比例系数m0=18 MN/m4，yL=1.5 mm。
3#桩前3级水平力试验数据反算的地基比例系数分别为38.96、48.25、32.75 MN/m4，其平均值的1.6倍为64 MN/m4，则初始地基比例系数m0=64 MN/m4，yL=0.526 mm。
6#桩前3级水平力试验数据反算的地基比例系数分别为8.96、11.1、13.56 MN/m4，其平均值的1.6倍为17.9 MN/m4，则初始地基比例系数m0=17.9 MN/m4，yL=1.5 mm。
按本文第2节方法步骤，基桩按单元长0.1 m的长度划分为单元，并用自编MATLAB有限元程序计算。文献[1]中2#桩地面处位移实测值与计算值如表1和图1，3#桩地面处位移实测值与计算值如表2和图2，6#桩地面处位移实测值与计算值如表3和图3。
由表1可知，按本文引入初始地基比例系数的py曲线理论计算的2#试桩顶水平位移与实测位移最大绝对误差为0.118 mm。由表2可知，按本文理论计算的3#试桩顶水平位移与实测位移最大绝对误差为0.089 mm。由表3可知，按本文理论计算的6#试桩顶水平位移与实测位移最大绝对误差为0.289 mm。
由图1～3可知，2#、3#、6#试桩地面处桩身水平位移水平荷载实测曲线呈良好的二次抛物线关系，按本文py曲线计算的地面处桩身水平位移水平荷载曲线亦呈良好的二次抛物线关系。本文基于m法的双曲线型py曲线计算的地面桩身水平位移与实测值吻合良好。 对比图1、图2、图3可知，2#桩和6#桩周土非线性特征基本一致；而3#桩周土非线性特征更显著，其位移特征值亦更小。
4验证案例二
按文献[17]的预应力管桩水平承载力试验，现场自上而下依次为素填土、淤泥、粉质粘土（流塑软塑）、粉质粘土（可塑）、全风化页岩、强风化页岩、中风化页岩、全风化混合岩、强风化混合岩、中风化混合岩。预应力管桩直径0.4 m、桩长30 m，持力层为强风化页岩或强风化混合岩。
基桩计算抗弯刚度值为32.044 2 MN·m2。9 001#桩第1级水平力的实测位移值反算得第1级水平力荷载对应的地基比例系数为14 MN/m4，初始地基比例系数m0取其1.2倍，16.8 MN/m4，试算得yL=24 mm。9 002#桩加荷至225 kN时断桩破坏，本文取极限荷载的0.7倍之前（即150 kN）的实测数据分析，第1级水平力的实测位移值反算得第1级水平力荷载对应的地基比例系数为36 MN/m4，初始地基比例系数m0取其1.2倍，为43.2 MN/m4，yL=4 mm。地面处桩身实测位移和计算位移如表4、图4和图5。由图4、图5可知，地面处桩身桩身实测位移和计算位移吻合良好，且与水平荷载呈良好的二次抛物线关系。
对比圖4和图5可知，9002#桩周土非线性比9001#桩周土非线性更显著，其位移特征值亦更小。
5验证案例三
按文献[18]，某试桩直径0.8 m，桩长24 m，混凝土标号为C20，采用慢速维持法进行水平承载力试验，HP1开裂荷载为50 kN，HP2桩开裂荷载为140 kN。本文仅取试桩开裂前的试验数据进行分析。
按HP1#桩第1级水平力的实测位移值反算得第1级水平力荷载对应的地基比例系数为307.7 MN/m4，初始地基比例系数m0按其1.4倍选取，则为430.78 MN/m4，试算可得yL=3/50 mm。按HP2#桩第1级水平力的实测位移值反算得第1级水平力荷载对应的地基比例系数为1 421 MN/m4，初始地基比例系数m0按其1.4倍选取1 989.4 MN/m4，试算可得yL=3/25 mm。
地面处桩身位移实测值和按本文py曲线法计算值如表5、图6和图7。由图6、图7可知，地面处桩身实测位移和计算位移吻合良好，且与水平荷载呈良好的二次抛物线关系。
对比图6和图7可知，HP1#桩周土非线性特征比HP2#桩周土非线性特征更为明显，其位移特征值亦更小。
由表6可知，不计轴力影响时，按本文py曲线法计算的桩身最大弯矩和最大桩侧土压力均比m法计算结果显著增大；桩顶水平荷载为20 kN时，桩身最大弯矩结果增大了11.39%，桩侧最大土压力增加了0.71%；桩顶水平荷载为70 kN时，桩身最大弯矩结果增大了17.15%，桩侧最大土压力增加了18.58%。
计入轴力PΔ效应后，按本文py曲线法计算的桩身最大弯矩和最大桩侧土压力均比m法计算结果显著增大；桩顶水平荷载为20 kN时，桩身最大弯矩结果增大了12.42%，桩侧最大土压力增加了0.81%，桩顶水平位移增加了14.83%，而桩身最大剪力略增加了0.6%；桩顶水平荷载为70 kN时，桩身最大弯矩结果增大了19.37%，桩侧最大土压力增加了18.13%，桩顶水平位移增加了4.01%，而桩身最大剪力略增加了0.58%。
综上所述，计入桩侧土非线性后，桩身最大弯矩、桩侧最大土压力显著增加，但桩身最大剪力仅略微增加。工程实际中m法计算的基桩最大弯矩偏小，本文建议m法计算的基桩最大弯矩设计值乘以1.05～1.25的系数，以计入地基土非线性影响。
7结论
从宏观应用角度出发，提出了基于m法的双曲线型py曲线，经算例证分析，主要结论如下：
1）从宏观角度提出了基于m法的双曲线型py曲线，即p=yLyL+ym0zy，沿袭了地基比例系数概念，其所含初始地基比例系数、位移特征值等参数少，易于被工程技术人员接受。3个不同场地7根试桩实测位移与基于本文py曲线法的计算位移吻合良好，验证了本文py曲线的合理性。
2）3个不同场地7根试桩中加荷至开裂弯矩前，其地面处桩身实测水平位移与水平荷载关系曲线呈良好的二次抛物线关系。基于本文m法的双曲线型py曲线计算的地面处桩身位移水平荷载关系曲线亦呈良好的二次抛物线关系。
3）建议初始地基比例系数取基桩第1级水平承载力实测值反算所得的地基比例系数的1.2～1.6倍，或按基桩第1～3级水平承载力实测值反算所得的地基比例系数均值的1.2～1.6倍；位移特征值主要和桩周土非线性特征有关，其大小反应了桩周图非线性特征大小，非线性特征越显著则位移特征值愈小，非线性特征越小则位移特征值愈大，当趋于线性时位移特征值理论值趋无穷大。
4）计入地基土非线性后，桩身最大弯矩、桩侧最大土压力显著增加，但桩身最大剪力仅略微增加。可见，m法计算的桩身最大弯矩偏小，建议工程实际中采用m法计算基桩最大弯矩乘以1.05～125的系数，以计入地基土非线性影响。
参考文献：
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关键词：
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Abstract：
Most piles are set in layered soils. The initial foundation coefficient， a hyperbolic py curve containing a parameter， is derived to generally simulate the nonlinear soil around the pile. The soil around the tested pile is nonlinear， and both the tested and the calculated lateral displacement of the tested pile at the ground have a parabolic relation with the horizontal loads. The calculated lateral displacements of the tested pile at the ground fit the tested lateral displacements very well， and the hyperbolic py curve is proved good. The nonlinear soil will greatly increase both the maximum moment of the pile and the soil pressure. Thus it is suggested that the designed moment of the pile which is calculated by mmethod， should magnified 1.05～1.25 times in order to consider the nonlinearity of the soil around the pile.
Keywords：
mmethod； the initial foundation coefficient； hyperbolic py curve； pile
模拟桩侧非线性土一般采用py曲线法。学者们此进行了大量室内模型试验研究，提出了很多不同形式的py曲线。但基于现场试桩水平承载力试验并从宏观角度研究py曲线的极少。
Matlock[2]、Reese等[3]、Stvens等[4]提出了粘性土py曲線，其桩侧土压力与桩身水平位移成幂函数关系；王惠初等[6]、田平等[6]基于钢管模型桩试验提了河海大学新统一法，其桩侧粘土压力与桩身水平位移为双曲线函数关系。API规范中砂土py曲线、王腾等[7]基于钢管模型桩试验提出的粉土py曲线、戚春香等[8]提出的弱饱和土py曲线，其桩侧土压力与水平位移为双曲正切函数关系。王国粹等[9]认为砂土py曲线亦可用双曲线函数模拟。李雨润等[10]提出了液化土中py曲线的修正算法，凌贤长等[11]、刘红军等[12]较为全面的介绍了液化土py曲线研究进展。楼晓明等[13]提出了一种根据py曲线计算地基比例系数的方法，首次将py曲线与m法结合了起来。刘红军等[14]根据玻璃管桩模型试验提出了黄河水下三角洲快速沉积粉土层的py曲线，其桩侧土压力与桩身水平位移为双曲线函数关系。
上述py曲线均依据模型桩试验结果提出，特征参数确定较为复杂，侧重不同类型土非线性研究，地域性特征明显。工程基桩大多位于多层土中，极少位于单一匀质土层中，实际工程环境比室内模型试验环境复杂得多。因此基于工程试桩水平承载力试验并从宏观角度研究桩侧土py曲线，再进一步研究的基桩受力性能具有实际意义。
基于王惠初等[5]提出的粘土双曲线型py曲线和王国粹等[9]提出的砂土双曲线型py曲线，并假定桩侧极限土压力与朗肯被动土压力线性相关，从宏观角度出发，引入初始地基比例系数，提出基于m法的双曲线型py曲线，并从宏观上总体研究桩侧土非线性特征，进而研究基桩受力特性。
1基于m法的双曲线型py曲线
按王惠初等[5]提出的粘土双曲线型py曲线（又称河海大学统一法）为
p=yay50+bypu=yay50b+y·puby50=Aε50D （1）
式中：y为水平位移；p为发生水平位移y时的桩侧土压力；pu为桩侧极限土压力；D为桩径；ε50为土三轴试验中最大主应力达到极限主应力一半时的应变值；β为系数，文献[5]中建议软粘土可取9，硬粘土取12；A为系数。
按文献[9]提出的砂土双曲线型py曲线为
p=yayc+bypu=yaycb+y·pub（2）
式中： a、b为系数，文献[9]中建议a=0.186、b=0929；yc为位移参考值，其余符号意义同式（1）。
从宏观角度出发，沿袭m法地面桩侧土压力为零的特点，假定桩侧极限土压力与朗肯无粘性被动土压力线性相关，计算式为 pu=Cγztan2（45°+φ/2）（3）
式中：C为系数；φ为内摩擦角，可取基桩深度范围内各土层内摩擦角的加权平均值；γ为土容重，可取基桩深度范围内各土层容重的加权平均值；z为计算点深度。
将式（3）代入式（1），则黏土py曲线为
p=yLyL+ym0zym0=Cγtan2（45°+φ/2）ay50yL=aby50 （4）
将式（3）代入式（2），则砂土py曲线为
p=yLyL+ym0zym0=Cγtan2（45°+φ/2）aycyL=abyc（5）
由式（4）和式（5）可知，砂土和黏土py曲线形式相似。工程实际中基桩极少位于单一砂性土或单一粘性土中，大多位于砂性土和粘性土等组成的成层地基中。且基于单一土层的py曲线虽已有大量研究成果，却与现行规范推荐的m法联系甚微，不便于工程推广应用。因此，构想一种参数较少、形式简介又承袭m法的py曲线有工程实际意义。
从宏观应用角度出发，本文提出了一种基于m法的py曲线，以方便工程实际中计入桩周地基土非线性的影响，形式为
p=yLyL+ym0zy（6）
式（6）即由式（4）和式（5）演变而來，p为地面以下z处桩身发生水平位移y时对应的桩侧土压力；m0为初始地基比例系数，可由基桩水平承载力试验确定或经验选取，有水平承载力试验时可取第1～3级水平荷载位移值反算的地基比例系数均值再乘以大于1的经验系数确定，一般为1.1～2.0，非线性特征小取小值，非线性特征大则取大值；yL为位移特征值，主要与桩周土整体非线性特性有关，其值由桩周土总体非线性特征显著程度决定，非线性特征越显著则位移特征值愈小，非线性特征越小则位移特征值愈大，当趋于线性时位移特征值理论值趋无穷大；当合理选定了m0值后，根据最后一级水平力荷载下的位移值，即可反算得yL值。
上述双曲线型py曲线承袭了m法假定，形式简洁，参数少，现有商业有限元软件可通过多段折线弹簧模拟，易于被工程技术人员接受。
通过软硬不同的各类土中试桩的m0值和yL值，汇总成表，并作为工程应用计算参数参考选值是有意义的。
2基于m法py曲线的基桩有限元计
算步骤
1）划分节点和单元。
2）按有限杆单元法形成单元荷载矩阵、位移矩阵、刚度矩阵矩阵。
3）根据桩侧土压力本构模型，即按式（4）～（6）计算地基土约束的节点等效弹簧刚度矩阵[k]。地面以下深度zi处i节点的地基土弹性刚度按式（7）计算。
ki=xLm0zxL+xi·b·（zi+1-zi-1）2（5）
式中：i、i+1、i-1为单元节点编号；xi为i节点的水平位移；zi为i节点埋深；b为基桩计算宽度，首次迭代计算时候取值为0；m0、yL意义同式（4）～（6）。
4）基桩总体刚度方程为
{F}+[k]{-δ}=[K]{δ}（8）
或
{F}=[K+k]{δ}（9）
式中：{F}为荷载列阵；{δ}为位移列阵；[K]为初始刚度矩阵；[k]为节点边界约束刚度矩阵。
5）求解式（8）～（9）可得单元节点位移。
6）将求解的位移代入式（7），求得新的边界条件刚度矩阵，如此重复（3）～（5）步骤直至计算精度满足要求。
7）根据单元节点位移结果和杆单元刚度方程，即可计算得到节点内力。如需考虑PΔ效应，杆单元刚度矩阵方程可按文献[1516]中方法计入轴力影响即可。
3验证案例一
根据文献[1]的基桩水平承载力现场试验，场地上层为3.5～4 m厚的灰褐色轻亚粘土，可塑到软塑状态；下层为灰色粉砂，饱和中密状态；地下水位深为2.0 m，水平力采用循环加载方式。为规避基桩因开裂抗弯刚度变化，仅取基桩开裂荷载前的试验数据进行对比分析。试桩直径d=0.6 m，2#桩长9 m，3#桩长12 m，6#桩长6 m。计算宽度按现行规范计取，混凝土弹性模量Eh=3.0×104 MPa，计算刚度为EhIh/1.5，Ih为混凝土全截面惯性矩。
2#桩前3级水平力试验数据反算的地基比例系数分别为11.47、11.83、10.53 MN/m4，其平均值的1.6倍为18 MN/m4，则初始地基比例系数m0=18 MN/m4，yL=1.5 mm。
3#桩前3级水平力试验数据反算的地基比例系数分别为38.96、48.25、32.75 MN/m4，其平均值的1.6倍为64 MN/m4，则初始地基比例系数m0=64 MN/m4，yL=0.526 mm。
6#桩前3级水平力试验数据反算的地基比例系数分别为8.96、11.1、13.56 MN/m4，其平均值的1.6倍为17.9 MN/m4，则初始地基比例系数m0=17.9 MN/m4，yL=1.5 mm。
按本文第2节方法步骤，基桩按单元长0.1 m的长度划分为单元，并用自编MATLAB有限元程序计算。文献[1]中2#桩地面处位移实测值与计算值如表1和图1，3#桩地面处位移实测值与计算值如表2和图2，6#桩地面处位移实测值与计算值如表3和图3。
由表1可知，按本文引入初始地基比例系数的py曲线理论计算的2#试桩顶水平位移与实测位移最大绝对误差为0.118 mm。由表2可知，按本文理论计算的3#试桩顶水平位移与实测位移最大绝对误差为0.089 mm。由表3可知，按本文理论计算的6#试桩顶水平位移与实测位移最大绝对误差为0.289 mm。
由图1～3可知，2#、3#、6#试桩地面处桩身水平位移水平荷载实测曲线呈良好的二次抛物线关系，按本文py曲线计算的地面处桩身水平位移水平荷载曲线亦呈良好的二次抛物线关系。本文基于m法的双曲线型py曲线计算的地面桩身水平位移与实测值吻合良好。 对比图1、图2、图3可知，2#桩和6#桩周土非线性特征基本一致；而3#桩周土非线性特征更显著，其位移特征值亦更小。
4验证案例二
按文献[17]的预应力管桩水平承载力试验，现场自上而下依次为素填土、淤泥、粉质粘土（流塑软塑）、粉质粘土（可塑）、全风化页岩、强风化页岩、中风化页岩、全风化混合岩、强风化混合岩、中风化混合岩。预应力管桩直径0.4 m、桩长30 m，持力层为强风化页岩或强风化混合岩。
基桩计算抗弯刚度值为32.044 2 MN·m2。9 001#桩第1级水平力的实测位移值反算得第1级水平力荷载对应的地基比例系数为14 MN/m4，初始地基比例系数m0取其1.2倍，16.8 MN/m4，试算得yL=24 mm。9 002#桩加荷至225 kN时断桩破坏，本文取极限荷载的0.7倍之前（即150 kN）的实测数据分析，第1级水平力的实测位移值反算得第1级水平力荷载对应的地基比例系数为36 MN/m4，初始地基比例系数m0取其1.2倍，为43.2 MN/m4，yL=4 mm。地面处桩身实测位移和计算位移如表4、图4和图5。由图4、图5可知，地面处桩身桩身实测位移和计算位移吻合良好，且与水平荷载呈良好的二次抛物线关系。
对比圖4和图5可知，9002#桩周土非线性比9001#桩周土非线性更显著，其位移特征值亦更小。
5验证案例三
按文献[18]，某试桩直径0.8 m，桩长24 m，混凝土标号为C20，采用慢速维持法进行水平承载力试验，HP1开裂荷载为50 kN，HP2桩开裂荷载为140 kN。本文仅取试桩开裂前的试验数据进行分析。
按HP1#桩第1级水平力的实测位移值反算得第1级水平力荷载对应的地基比例系数为307.7 MN/m4，初始地基比例系数m0按其1.4倍选取，则为430.78 MN/m4，试算可得yL=3/50 mm。按HP2#桩第1级水平力的实测位移值反算得第1级水平力荷载对应的地基比例系数为1 421 MN/m4，初始地基比例系数m0按其1.4倍选取1 989.4 MN/m4，试算可得yL=3/25 mm。
地面处桩身位移实测值和按本文py曲线法计算值如表5、图6和图7。由图6、图7可知，地面处桩身实测位移和计算位移吻合良好，且与水平荷载呈良好的二次抛物线关系。
对比图6和图7可知，HP1#桩周土非线性特征比HP2#桩周土非线性特征更为明显，其位移特征值亦更小。
由表6可知，不计轴力影响时，按本文py曲线法计算的桩身最大弯矩和最大桩侧土压力均比m法计算结果显著增大；桩顶水平荷载为20 kN时，桩身最大弯矩结果增大了11.39%，桩侧最大土压力增加了0.71%；桩顶水平荷载为70 kN时，桩身最大弯矩结果增大了17.15%，桩侧最大土压力增加了18.58%。
计入轴力PΔ效应后，按本文py曲线法计算的桩身最大弯矩和最大桩侧土压力均比m法计算结果显著增大；桩顶水平荷载为20 kN时，桩身最大弯矩结果增大了12.42%，桩侧最大土压力增加了0.81%，桩顶水平位移增加了14.83%，而桩身最大剪力略增加了0.6%；桩顶水平荷载为70 kN时，桩身最大弯矩结果增大了19.37%，桩侧最大土压力增加了18.13%，桩顶水平位移增加了4.01%，而桩身最大剪力略增加了0.58%。
综上所述，计入桩侧土非线性后，桩身最大弯矩、桩侧最大土压力显著增加，但桩身最大剪力仅略微增加。工程实际中m法计算的基桩最大弯矩偏小，本文建议m法计算的基桩最大弯矩设计值乘以1.05～1.25的系数，以计入地基土非线性影响。
7结论
从宏观应用角度出发，提出了基于m法的双曲线型py曲线，经算例证分析，主要结论如下：
1）从宏观角度提出了基于m法的双曲线型py曲线，即p=yLyL+ym0zy，沿袭了地基比例系数概念，其所含初始地基比例系数、位移特征值等参数少，易于被工程技术人员接受。3个不同场地7根试桩实测位移与基于本文py曲线法的计算位移吻合良好，验证了本文py曲线的合理性。
2）3个不同场地7根试桩中加荷至开裂弯矩前，其地面处桩身实测水平位移与水平荷载关系曲线呈良好的二次抛物线关系。基于本文m法的双曲线型py曲线计算的地面处桩身位移水平荷载关系曲线亦呈良好的二次抛物线关系。
3）建议初始地基比例系数取基桩第1级水平承载力实测值反算所得的地基比例系数的1.2～1.6倍，或按基桩第1～3级水平承载力实测值反算所得的地基比例系数均值的1.2～1.6倍；位移特征值主要和桩周土非线性特征有关，其大小反应了桩周图非线性特征大小，非线性特征越显著则位移特征值愈小，非线性特征越小则位移特征值愈大，当趋于线性时位移特征值理论值趋无穷大。
4）计入地基土非线性后，桩身最大弯矩、桩侧最大土压力显著增加，但桩身最大剪力仅略微增加。可见，m法计算的桩身最大弯矩偏小，建议工程实际中采用m法计算基桩最大弯矩乘以1.05～125的系数，以计入地基土非线性影响。
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