【摘 要】对分法是数学分析和组合分析中非常重要的分析与思考问题的方法。三角形的外心、重心、垂心、内心是平面几何中四个重要的概念。因此，数学教师要讲清对分法在三角形中的应用。
　　【关键词】对分法 三角形 教学探讨
　　一、个体对分
　　1.对分边。已知△ABC，D是直线BC上一点，若BD=CD，则AD叫△ABC的中线。熟知，三角形的三条中线交于一点，这个交点就是这个三角形的重心。
　　2.对分角。已知△ABC，D是直线BC上一点，若∠BAD=∠CAD，则AD叫△ABC的角平分线。熟知，三角形的三条角平分线交于一点，这个交点就是这个三角形的内心。
　　二、整体对分
　　1.对分面积。已知△ABC，D是直线BC上一点，当S△ABD=S△ACD时，易证AD是△ABC的中线。
　　2.对分内角和。已知△ABC，D是直线BC上一点，当∠ABC+∠BAD=∠ACD+∠CAD时，易证AD是BC边上的高。熟知，三角形的三条高交于一点，这个交点叫这个三角形的垂心。
　　3.对分周界。已知△ABC，D 是直线BC上一点，当AB+BD=AC+CD时，AD叫△ABC的周界中线。三角形的三条周界中线交于一点，这个交点叫这个三角形的界心。
　　三、交错对分
　　1.交错对分周界。已知△ABC，D是直线BC上一点，当AB+CD=AC+BD时，AD叫△ABC的伴线。根据赛瓦定理，易证，三角形的三条伴线交于一点，这个交点叫作这个三角形的伴心，设AD、BE、CF是△ABC的三条伴线，易证△DEF的外接圆即为△ABC的内切圆，因此，可认为伴心与内心是一对亲密的伙伴，这也是笔者将它以伴心命名的缘故。
　　2.交错对分内角和。已知△ABC，D是直线BC上一点，当∠ABD+∠CAD=∠ACD+∠BAD时，AD叫△ABC的径线。易证，三角形的三条径线所确定的直线都经过△ABC的外接圆圆心，从而它们交于一点，这个交点就是这个三角形的外心。
　　四、关于三角形的伴线、伴心的一些结果
　　定理1 三角形的三条伴线交于一点。
　　定理2 三角形的三条伴线与三边交点在这个三角形的内切圆上。
　　三角形的伴线与三角形的一边交点，叫伴点，以三角形的三个伴点为顶点的三角形称为这个三角形的伴点三角形、关于△ABC的伴点三角形的面积及周长与△ABC的面积与周长有下述关系。
　　从以上证明过程易知，（1）中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。（作者单位：江西省信丰县小江中学）
　　参考文献：
　　[1]刘忠强，李建欣.三角形界心的两个性质[J].福建中学数学，1995.
　　[2]孙哲.三角形界心的性质[J].中学数学（湖北），1995.
　　[3]苗相军.三角形“周心”猜想的否定[J].中学生数学，1996，（2）.