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【摘要】研究关键教学点可从知识技能、数学能力、数学思想三个层面进行考虑，领悟其对教学过程起到“奠基、示范、归纳、引领、启迪”的作用.培养学生逻辑推理核心素养就是让学生经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程并内化为推理能力.
【关键词】逻辑推理素养;关键教学点
关键教学点是指在教学过程中，某知识内容范围内存在一个根本的或核心的教学点，它在教学过程中起到“奠基、示范、归纳、引领、启迪”的作用.关键教学点的教学应体现“四基”“四能”课程目标的达成，突出体现学生数学素养的发展.关键教学点的选取应体现典型性、系统性、联系性、相对性和发展性.典型性是指具有丰富内涵的核心知识，与相关知识相关联、具有完整思路，是系统发展的起点.系统性是指按一定的关系与同类事物组成整体.联系性是指不仅引领整个系统知识的发生、发展和深化，而且随着学习的深入，关键教学点知识的内涵变得更加丰富.相对性是指不同的教材、教学策略或学生认知水平可能会形成不同的关键教学点.发展性是关键教学点知识的外延，具有预见性，并在以后的发展中能够继续起作用.
逻辑推理素养表现为依据规则由已有事实和命题推出其他命题，主要包括合情推理（通过归纳、类比从特殊到一般的推理）和演绎推理（通过演绎从一般到特殊的推理）.培养学生逻辑推理核心素养，就是让学生掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和部署论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.因此，开展基于逻辑推理素养的关键教学点实践研究有着重要的意义和价值.本文以人教版八年级上学期的13.3.1等腰三角形为例，谈谈基于逻辑推理素养的关键教学点设计与思考.
一、基于逻辑推理素养的关键教学点研究
关键教学点要选择切合学生认知特点，有利于学生知识结构体系构建，与前面知识联系紧密，对后续学习具有重大影响的数学知识、技能（如概念、性质、定理、公式、法则及其应用等，它在教学中起到奠基、概括等作用）.选择关键教学点时要考虑教学策略，要选择有利于学生在探索数学知识的过程中对学习方法引导、问题探究与发现有示范作用的一些具体操作模式、技巧（应在教学中起到模仿、示范等作用）.选择关键教学点要有宏观意识，要选取对学生终身受益的数学能力、思想（如通过前期的渗透、铺垫或学习，它在教学中起到归纳、引领等作用）.教学要使学生在前后一致、逻辑连贯的数学学习过程中学会思考，因此，确定关键教学点要整体把握课标要求，循序渐进地构建三年的教学目标体系，系统地确定关键教学点.
知识技能层面：本节内容是在已学三角形、全等三角形和轴对称的基础上，进一步研究特殊三角形（等腰三角形）的性质.它不仅是对前面所学知识的综合运用，也是后面研究等边三角形等轴对称图形的预备知识.轴对称的性质也是今后证明角相等、线段相等、直线垂直的重要途径和方法.因此本节课具有承前启后的作用.
数学能力层面：等腰三角形是学生学完轴对称之后研究的第一种轴对称图形.本节课的研究方法是今后学习其他轴对称图形的典范.利用轴对称研究图形性质是一种重要和常见的方法，其是先利用图形的变化得到图形的性质，再推理论证.本节课在学生探索和证明等腰三角形的性质的过程中，经历了实验、观察、猜想、归纳、推理、证明和认识图形的全过程，完成了由实验几何到论证几何的过渡，既让学生体会研究几何图形的思路与方法，又实现提升学生推理意识和推理能力的目的.
数学思想层面：借助轴对称性发现等腰三角形的性质，并获得添加辅助线的方法，然后利用三角形全等的方法来证明，从而体会轴对称在研究几何问题中的作用，领悟转化思想在数学学习中的价值.在探索活动中，教师应引导学生学会比较，善于发现，感受事物由特殊到一般的归纳发现过程，培养学生抽象概括能力，体会归纳推理（合情推理）在发现问题、提出问题中的重要作用.
二、基于逻辑推理素养的教学过程设计
（一）创设情境，引入新知
问题1：三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？满足什么条件的三角形是等腰三角形？等腰三角形有哪些性质？
[师生活动]教师鼓励学生举手回答，引入新知：等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有哪些特殊的性质呢？今天这节课我们就来探究等腰三角形的性质.（板书课题）
[设计意图]从学生已学内容引入课题，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学的整体性.
（二）动手操作，探究性质
问题2：请你准备一张长方形的纸，怎么剪出一个等腰三角形？试一试.
【活动1】你的剪法与课本提供的方法一样吗？按课本的剪法得到的三角形是什么三角形？为什么？
[师生活动]学生先独立动手操作，再小组讨论交流.
[设计意图]引导学生利用轴对称性剪出等腰三角形，为后面探究性质做准备.
问题3：请你观察剪好的等腰三角形纸片，可以得到哪些结论？
[师生活动]教师让学生尝试说出等腰三角形的性质，并及时点评和归纳.
[设计意图]让学生通过轴对称性发现等腰三角形的性质.
追问：每个同学剪出的等腰三角形纸片形状、大小都相同吗？它们都具有上述所概括的性质吗？
[师生活动]学生观察比较，得出结论.
【活动2】请在白纸上任意画一个等腰三角形，折一折，有剛才发现的性质吗？你能概括出等腰三角形的性质吗？
[师生活动]学生动手操作交流，师生概括等腰三角形的性质.
[设计意图]学生动手操作交流，学会比较，发现性质，体会“由特殊到一般”，认识事物的一般方法.
（三）逻辑推理，证明性质
问题4：你会证明等腰三角形的两个性质吗？
（1）文字证明题的思路是什么？
（2）对于性质1，证明两个底角相等的思路是什么？ 师：想证明角相等，之前已学过的是用证明什么来证明边相等或者角相等的？
生：证明两个三角形全等.
师：可是现在只有一个三角形，上哪找两个三角形啊？我们怎样才能把一个三角形变成两个三角形？从折纸、剪纸的过程中你能获得什么启发？
生：等腰三角形是轴对称图形.
[师生活动]教师引导学生根据结论画出图形，写出已知、求证，鼓励学生尝试用多种方法证明，可以作底边的中线、底边的高或顶角平分线，然后交流.
[设计意图]在关联情境中，基于知识想象并构建相应的几何图形，让学生发现图形与图形的关系，用图形探索解决问题的思路，培养学生逻辑思维， 让学生在运用不同的方法证明性质1的过程中提高思维的深刻性和广阔性.
追问1：你会证明性质2吗？
追问2：性质2与性质1有什么不同？如何证明？
[师生活动]教师引导学生把性质2分解成3个命题，然后学生分组证明其中的一个命题，再根据结论画出图形，写出已知、求证并证明.
[设计意图]引导学生把性质2分解成3个命题，理解“三线合一”的含义;让学生证明其中的一个命题，进一步体会命题证明的完整过程，培养学生逻辑推理能力;从实验几何到论证几何的过渡，帮助学生积累添加辅助线的经验.
追问3：探索和证明等腰三角形性质的过程中，“折痕”和“辅助线”有什么关系？发挥什么作用？由此你发现等腰三角形是什么图形？
追问4：等腰三角形的性质有什么作用？
[设计意图]让学生体会轴对称性在探索和证明等腰三角形性质的过程中的重要作用;让学生理解探究等腰三角形性质既是全等知识的运用和延续，又是证明角相等、线段相等、线段垂直的重要途径和方法，并在以后的证明和计算中自觉地加以运用;启发学生在对比中建立知识之间的普遍联系，学会辩证看问题.
三、基于逻辑推理素养的教学思考
合情推理能力的培养，可以提高学生的数学发现能力以及提出数学问题的能力.演绎推理能力的培养，让学生感受到演绎证明的必要性，提升学生的逻辑思维能力.
1.“等腰三角形的性质”所蕴含的推理的因素
在探究发现“等腰三角形的性质”这一环节中，学生经历知识的“再发现”过程，在对轴对称图形的性质认知的基础上，通过实物操作、动手剪等腰三角形、折纸、画图、度量及轴对称等直观方法，探究和发现等腰三角形的性质.这一环节蕴含了丰富发展学生合情推理能力的因素.学生经过演绎推理证明等腰三角形的性质，完整经历观察、实验、探究、猜想、证明的数学思维过程，发展了逻辑推理素养.
2.对“等腰三角形的性质”实施推理能力教学的关键
（1）采用实物操作、动手剪等腰三角形、折纸、画图、度量等活动，探究发现等腰三角形的性质.学生在掌握轴对称知识的基础上，使用剪、折、画、量等直观方法，经历“探索——发现——猜想”的过程，体会合情推理，总结出等腰三角形的性质.
（2）在探索结论、猜想等腰三角形性质的基础上，经过推理证明等腰三角形的性质，将证明作为探索活动的自然延续和必要发展.发展学生的演绎推理能力，讓学生感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性.
从教学的角度来看，本节课抓住培养逻辑推理核心素养的关键问题，引导学生在独立思考和合作交流的前提下，进行观察与思考、操作与探究等活动并获得猜想，进而师生一起完成对猜想的证明，落实对合情推理和演绎推理的自然结合，实现提升学生推理意识和推理能力的目的.学生通过动手、动口、动脑，经历观察、实验、类比、猜想、证明等过程，有效地发展了推理能力.
总之，教师要加强关键教学点研究，注重以知识为载体，给学生创设思考的条件和机会，落实“四基”，培养“四能”，提升逻辑思维能力;重视让学生经历定理的探索、发现、验证和证明的完整过程，充分体会合情推理和演绎推理的功能和作用，把培养逻辑推理素养落实到教学的全过程.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]缴志清.初中数学教学关键问题指导[M]. 北京：高等教育出版社，2016.
【关键词】逻辑推理素养;关键教学点
关键教学点是指在教学过程中，某知识内容范围内存在一个根本的或核心的教学点，它在教学过程中起到“奠基、示范、归纳、引领、启迪”的作用.关键教学点的教学应体现“四基”“四能”课程目标的达成，突出体现学生数学素养的发展.关键教学点的选取应体现典型性、系统性、联系性、相对性和发展性.典型性是指具有丰富内涵的核心知识，与相关知识相关联、具有完整思路，是系统发展的起点.系统性是指按一定的关系与同类事物组成整体.联系性是指不仅引领整个系统知识的发生、发展和深化，而且随着学习的深入，关键教学点知识的内涵变得更加丰富.相对性是指不同的教材、教学策略或学生认知水平可能会形成不同的关键教学点.发展性是关键教学点知识的外延，具有预见性，并在以后的发展中能够继续起作用.
逻辑推理素养表现为依据规则由已有事实和命题推出其他命题，主要包括合情推理（通过归纳、类比从特殊到一般的推理）和演绎推理（通过演绎从一般到特殊的推理）.培养学生逻辑推理核心素养，就是让学生掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和部署论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.因此，开展基于逻辑推理素养的关键教学点实践研究有着重要的意义和价值.本文以人教版八年级上学期的13.3.1等腰三角形为例，谈谈基于逻辑推理素养的关键教学点设计与思考.
一、基于逻辑推理素养的关键教学点研究
关键教学点要选择切合学生认知特点，有利于学生知识结构体系构建，与前面知识联系紧密，对后续学习具有重大影响的数学知识、技能（如概念、性质、定理、公式、法则及其应用等，它在教学中起到奠基、概括等作用）.选择关键教学点时要考虑教学策略，要选择有利于学生在探索数学知识的过程中对学习方法引导、问题探究与发现有示范作用的一些具体操作模式、技巧（应在教学中起到模仿、示范等作用）.选择关键教学点要有宏观意识，要选取对学生终身受益的数学能力、思想（如通过前期的渗透、铺垫或学习，它在教学中起到归纳、引领等作用）.教学要使学生在前后一致、逻辑连贯的数学学习过程中学会思考，因此，确定关键教学点要整体把握课标要求，循序渐进地构建三年的教学目标体系，系统地确定关键教学点.
知识技能层面：本节内容是在已学三角形、全等三角形和轴对称的基础上，进一步研究特殊三角形（等腰三角形）的性质.它不仅是对前面所学知识的综合运用，也是后面研究等边三角形等轴对称图形的预备知识.轴对称的性质也是今后证明角相等、线段相等、直线垂直的重要途径和方法.因此本节课具有承前启后的作用.
数学能力层面：等腰三角形是学生学完轴对称之后研究的第一种轴对称图形.本节课的研究方法是今后学习其他轴对称图形的典范.利用轴对称研究图形性质是一种重要和常见的方法，其是先利用图形的变化得到图形的性质，再推理论证.本节课在学生探索和证明等腰三角形的性质的过程中，经历了实验、观察、猜想、归纳、推理、证明和认识图形的全过程，完成了由实验几何到论证几何的过渡，既让学生体会研究几何图形的思路与方法，又实现提升学生推理意识和推理能力的目的.
数学思想层面：借助轴对称性发现等腰三角形的性质，并获得添加辅助线的方法，然后利用三角形全等的方法来证明，从而体会轴对称在研究几何问题中的作用，领悟转化思想在数学学习中的价值.在探索活动中，教师应引导学生学会比较，善于发现，感受事物由特殊到一般的归纳发现过程，培养学生抽象概括能力，体会归纳推理（合情推理）在发现问题、提出问题中的重要作用.
二、基于逻辑推理素养的教学过程设计
（一）创设情境，引入新知
问题1：三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？满足什么条件的三角形是等腰三角形？等腰三角形有哪些性质？
[师生活动]教师鼓励学生举手回答，引入新知：等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有哪些特殊的性质呢？今天这节课我们就来探究等腰三角形的性质.（板书课题）
[设计意图]从学生已学内容引入课题，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学的整体性.
（二）动手操作，探究性质
问题2：请你准备一张长方形的纸，怎么剪出一个等腰三角形？试一试.
【活动1】你的剪法与课本提供的方法一样吗？按课本的剪法得到的三角形是什么三角形？为什么？
[师生活动]学生先独立动手操作，再小组讨论交流.
[设计意图]引导学生利用轴对称性剪出等腰三角形，为后面探究性质做准备.
问题3：请你观察剪好的等腰三角形纸片，可以得到哪些结论？
[师生活动]教师让学生尝试说出等腰三角形的性质，并及时点评和归纳.
[设计意图]让学生通过轴对称性发现等腰三角形的性质.
追问：每个同学剪出的等腰三角形纸片形状、大小都相同吗？它们都具有上述所概括的性质吗？
[师生活动]学生观察比较，得出结论.
【活动2】请在白纸上任意画一个等腰三角形，折一折，有剛才发现的性质吗？你能概括出等腰三角形的性质吗？
[师生活动]学生动手操作交流，师生概括等腰三角形的性质.
[设计意图]学生动手操作交流，学会比较，发现性质，体会“由特殊到一般”，认识事物的一般方法.
（三）逻辑推理，证明性质
问题4：你会证明等腰三角形的两个性质吗？
（1）文字证明题的思路是什么？
（2）对于性质1，证明两个底角相等的思路是什么？ 师：想证明角相等，之前已学过的是用证明什么来证明边相等或者角相等的？
生：证明两个三角形全等.
师：可是现在只有一个三角形，上哪找两个三角形啊？我们怎样才能把一个三角形变成两个三角形？从折纸、剪纸的过程中你能获得什么启发？
生：等腰三角形是轴对称图形.
[师生活动]教师引导学生根据结论画出图形，写出已知、求证，鼓励学生尝试用多种方法证明，可以作底边的中线、底边的高或顶角平分线，然后交流.
[设计意图]在关联情境中，基于知识想象并构建相应的几何图形，让学生发现图形与图形的关系，用图形探索解决问题的思路，培养学生逻辑思维， 让学生在运用不同的方法证明性质1的过程中提高思维的深刻性和广阔性.
追问1：你会证明性质2吗？
追问2：性质2与性质1有什么不同？如何证明？
[师生活动]教师引导学生把性质2分解成3个命题，然后学生分组证明其中的一个命题，再根据结论画出图形，写出已知、求证并证明.
[设计意图]引导学生把性质2分解成3个命题，理解“三线合一”的含义;让学生证明其中的一个命题，进一步体会命题证明的完整过程，培养学生逻辑推理能力;从实验几何到论证几何的过渡，帮助学生积累添加辅助线的经验.
追问3：探索和证明等腰三角形性质的过程中，“折痕”和“辅助线”有什么关系？发挥什么作用？由此你发现等腰三角形是什么图形？
追问4：等腰三角形的性质有什么作用？
[设计意图]让学生体会轴对称性在探索和证明等腰三角形性质的过程中的重要作用;让学生理解探究等腰三角形性质既是全等知识的运用和延续，又是证明角相等、线段相等、线段垂直的重要途径和方法，并在以后的证明和计算中自觉地加以运用;启发学生在对比中建立知识之间的普遍联系，学会辩证看问题.
三、基于逻辑推理素养的教学思考
合情推理能力的培养，可以提高学生的数学发现能力以及提出数学问题的能力.演绎推理能力的培养，让学生感受到演绎证明的必要性，提升学生的逻辑思维能力.
1.“等腰三角形的性质”所蕴含的推理的因素
在探究发现“等腰三角形的性质”这一环节中，学生经历知识的“再发现”过程，在对轴对称图形的性质认知的基础上，通过实物操作、动手剪等腰三角形、折纸、画图、度量及轴对称等直观方法，探究和发现等腰三角形的性质.这一环节蕴含了丰富发展学生合情推理能力的因素.学生经过演绎推理证明等腰三角形的性质，完整经历观察、实验、探究、猜想、证明的数学思维过程，发展了逻辑推理素养.
2.对“等腰三角形的性质”实施推理能力教学的关键
（1）采用实物操作、动手剪等腰三角形、折纸、画图、度量等活动，探究发现等腰三角形的性质.学生在掌握轴对称知识的基础上，使用剪、折、画、量等直观方法，经历“探索——发现——猜想”的过程，体会合情推理，总结出等腰三角形的性质.
（2）在探索结论、猜想等腰三角形性质的基础上，经过推理证明等腰三角形的性质，将证明作为探索活动的自然延续和必要发展.发展学生的演绎推理能力，讓学生感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性.
从教学的角度来看，本节课抓住培养逻辑推理核心素养的关键问题，引导学生在独立思考和合作交流的前提下，进行观察与思考、操作与探究等活动并获得猜想，进而师生一起完成对猜想的证明，落实对合情推理和演绎推理的自然结合，实现提升学生推理意识和推理能力的目的.学生通过动手、动口、动脑，经历观察、实验、类比、猜想、证明等过程，有效地发展了推理能力.
总之，教师要加强关键教学点研究，注重以知识为载体，给学生创设思考的条件和机会，落实“四基”，培养“四能”，提升逻辑思维能力;重视让学生经历定理的探索、发现、验证和证明的完整过程，充分体会合情推理和演绎推理的功能和作用，把培养逻辑推理素养落实到教学的全过程.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]缴志清.初中数学教学关键问题指导[M]. 北京：高等教育出版社，2016.