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【摘 要】运算律教学的核心是对运算律本身的理解，对其“通性通法”的理解。“什么是交换律”“交换律为什么存在”“如何借助不完全归纳法得出交换律却又体验到科学性和严密性”，这些都是要明晰的核心问题。
【关键词】交换律 通性通法 价值
运算律是运算固有的性质。从自然数集—整数集—有理数集—实数集—复数集，在数系的扩展中自然数的“基本运算律”依然保持有效。因此，基本運算律被称为“数与代数”领域的“通性通法”。学生是先学会了运算再概括运算律的，这就不得不思考：已经熟悉了这些运算，为什么还要概括出运算律？
如“交换律”，含加法交换律和乘法交换律，学生在理解加法、乘法的意义时就深入感知交换律，在加法、乘法的运算及相关问题的解决过程中也一次次接触交换律，那么到了四年级，交换律学习的价值是什么？仅仅为了简便运算？仅仅为了发现有这样一个规律存在？显然不是。运算律实质上是一个数学定理，具有“若P则Q”假言命题的形式，呈现的是运算的逻辑基础，蕴含着合情推理的过程。因此，运算律教学的核心是对运算律本身的理解，对其“通性通法”的理解。
一、通性通法视域下的课前三问
统观交换律的教学设计，先思虑三个问题。
（一）是纳入结合律以便更好地体验“简算”为上，还是只纵向感悟交换律？
有不少交换律研究课，在练习环节放入了类似“25×73×4与25×4×73”的计算简便与否的对比，让学生感受运用交换律带来的简捷，达成交换律“有用”的感知目的。
但是，运算律是运算固有的性质，并非需要“有用”来体现它的存在。数学有一个很重要的特点就是其规律的广泛适用性。运算律的价值，主要是理论上的，即理论上分析数及其运算的性质，其核心是对运算律本身的理解。至于将运算律用于简便运算，那不是运算律最主要的意义。事实上，简便运算本身的价值也不只是使运算简便，训练学生的数学思维是它重要的价值，如培养思维的灵活性。因此，交换律作为运算律的第一课时，应该让学生扎实地感受到交换律是一种怎样的“存在”，理解这个“存在”的“通性通法”，至于它的应用价值完全可以置后到后续的简算练习中去达成。
（二）是否要从“交换两个加数的位置”变成“交换几个加数的位置”？
不少课上，教师在练习之前引导学生展开“联想”，将“两个数相加、相乘”拓展到“几个数相加、相乘”。气氛活跃的课堂里，学生还能大胆质疑交换律的“两个数”，利用等式1 2 3=1 3 2，1×2×4=2×4×1完成对交换律的“修正”——从“两个数相加，交换加数的位置，和不变”变成“几个数相加，交换加数的位置，和不变”。学生的确会生成这样的疑问，“1 2 3=3 1 2运用了加法交换律，可加法交换律说的是‘两个数相加’，这该怎么解释？”
不解决这个问题，学生对交换律内涵的理解就是浅层次的。学生需要对三个数进行重新建构，体会三个数相加其实就是两次和的过程，这一过程重新建构的核心是对“加数是把两个数合并成一个数的运算”内涵的理解。
（三）如果只学加法、乘法交换律，是否需要去求证除法、减法交换律？
学生在学习完加法交换律后，他们往往能自发地联想到“会不会有乘法交换律、除法交换律、减法交换律”，这是因为他们在之前的运算中积累下了大量的经验。笔者选择了60位学生，只教学加法交换律的知识然后进行后测：我们已经学习了加法交换律a b=b a。1.你认为乘法有交换律吗？2.如果有，你觉得乘法交换律可以怎么表示？
[60个人参加问卷，根据加法交换律，判断是不是有乘法交换律 “判断有”56人，占93.3% “判断没有”4人，占6.7% 用具体例子表示15人 用字母表示30人 其他类的，如用语言表述11人 2人是空白的，什么都没填写 1×2=2×1
6×4=4×6
80×60=60
×80
…… a×b=b
×a 左右换乘后，等于后也是左右换一下 2人，一个认为没有，一个认为没有却写着：a×b=b×a ]
可以发现，学生基本能从加法交换律迁移到乘法交换律，但并不理解字母式表示的意义，说明学生缺少一个归纳和概括的感悟过程。因此，学生需要站在加法交换律的基础上经历类推的过程，在举例、证明、辩论等活动中真正理解乘法交换律，并否定除法交换律和减法交换律的存在。
二、交换律“通性通法”的两个“为什么”
（一）交换律为什么存在？
从科学的角度而言，学习交换律首先要思考交换律为什么存在。各版本教材提到交换律，有的从问题引入，如人教版和苏教版的乘法交换律，先呈现问题引出一个乘法等式，然后举例归纳；有的直接从数学内部引入，如北师大版，让学生观察式子后照样子写，然后根据大量例子归纳出交换律的成立。
至于为什么可以交换，教材没有从本源上说清道理。数学上到底是怎么证明交换律的呢？
1.数学上的证明
（1）借用“自然数的加法”定义即集合的概念
在小学数学里，通常是通过一些具体问题的计算，例如“3只苹果和2只苹果合在一起，一共有几只苹果”来说明自然数加法的意义。这实质上已经渗透着两个自然数的加法与把两个有限集合并成一个集合这两者之间的联系。设A和B是两个不具有公共元素的有限集合，它们的基数分别是a和b，把A和B的元素并在一起组成一个集合C，C叫作集合A和B 的并集，记作A∪B=C，C的基数是c，叫作a、b的和，记作a b=c。求两个加数的和，就是加法。从这个定义，还可以推出加法的一个基本性质：把集A和集B合并时，无论是把集B的元素添加到集A中去，还是把集A的元素添加到集B里去，结果总是一样的，所以A∪B=B∪A。由此可知，a b=b a。
（2）借用演绎推理的方法，给出严格的方法证明
【关键词】交换律 通性通法 价值
运算律是运算固有的性质。从自然数集—整数集—有理数集—实数集—复数集，在数系的扩展中自然数的“基本运算律”依然保持有效。因此，基本運算律被称为“数与代数”领域的“通性通法”。学生是先学会了运算再概括运算律的，这就不得不思考：已经熟悉了这些运算，为什么还要概括出运算律？
如“交换律”，含加法交换律和乘法交换律，学生在理解加法、乘法的意义时就深入感知交换律，在加法、乘法的运算及相关问题的解决过程中也一次次接触交换律，那么到了四年级，交换律学习的价值是什么？仅仅为了简便运算？仅仅为了发现有这样一个规律存在？显然不是。运算律实质上是一个数学定理，具有“若P则Q”假言命题的形式，呈现的是运算的逻辑基础，蕴含着合情推理的过程。因此，运算律教学的核心是对运算律本身的理解，对其“通性通法”的理解。
一、通性通法视域下的课前三问
统观交换律的教学设计，先思虑三个问题。
（一）是纳入结合律以便更好地体验“简算”为上，还是只纵向感悟交换律？
有不少交换律研究课，在练习环节放入了类似“25×73×4与25×4×73”的计算简便与否的对比，让学生感受运用交换律带来的简捷，达成交换律“有用”的感知目的。
但是，运算律是运算固有的性质，并非需要“有用”来体现它的存在。数学有一个很重要的特点就是其规律的广泛适用性。运算律的价值，主要是理论上的，即理论上分析数及其运算的性质，其核心是对运算律本身的理解。至于将运算律用于简便运算，那不是运算律最主要的意义。事实上，简便运算本身的价值也不只是使运算简便，训练学生的数学思维是它重要的价值，如培养思维的灵活性。因此，交换律作为运算律的第一课时，应该让学生扎实地感受到交换律是一种怎样的“存在”，理解这个“存在”的“通性通法”，至于它的应用价值完全可以置后到后续的简算练习中去达成。
（二）是否要从“交换两个加数的位置”变成“交换几个加数的位置”？
不少课上，教师在练习之前引导学生展开“联想”，将“两个数相加、相乘”拓展到“几个数相加、相乘”。气氛活跃的课堂里，学生还能大胆质疑交换律的“两个数”，利用等式1 2 3=1 3 2，1×2×4=2×4×1完成对交换律的“修正”——从“两个数相加，交换加数的位置，和不变”变成“几个数相加，交换加数的位置，和不变”。学生的确会生成这样的疑问，“1 2 3=3 1 2运用了加法交换律，可加法交换律说的是‘两个数相加’，这该怎么解释？”
不解决这个问题，学生对交换律内涵的理解就是浅层次的。学生需要对三个数进行重新建构，体会三个数相加其实就是两次和的过程，这一过程重新建构的核心是对“加数是把两个数合并成一个数的运算”内涵的理解。
（三）如果只学加法、乘法交换律，是否需要去求证除法、减法交换律？
学生在学习完加法交换律后，他们往往能自发地联想到“会不会有乘法交换律、除法交换律、减法交换律”，这是因为他们在之前的运算中积累下了大量的经验。笔者选择了60位学生，只教学加法交换律的知识然后进行后测：我们已经学习了加法交换律a b=b a。1.你认为乘法有交换律吗？2.如果有，你觉得乘法交换律可以怎么表示？
[60个人参加问卷，根据加法交换律，判断是不是有乘法交换律 “判断有”56人，占93.3% “判断没有”4人，占6.7% 用具体例子表示15人 用字母表示30人 其他类的，如用语言表述11人 2人是空白的，什么都没填写 1×2=2×1
6×4=4×6
80×60=60
×80
…… a×b=b
×a 左右换乘后，等于后也是左右换一下 2人，一个认为没有，一个认为没有却写着：a×b=b×a ]
可以发现，学生基本能从加法交换律迁移到乘法交换律，但并不理解字母式表示的意义，说明学生缺少一个归纳和概括的感悟过程。因此，学生需要站在加法交换律的基础上经历类推的过程，在举例、证明、辩论等活动中真正理解乘法交换律，并否定除法交换律和减法交换律的存在。
二、交换律“通性通法”的两个“为什么”
（一）交换律为什么存在？
从科学的角度而言，学习交换律首先要思考交换律为什么存在。各版本教材提到交换律，有的从问题引入，如人教版和苏教版的乘法交换律，先呈现问题引出一个乘法等式，然后举例归纳；有的直接从数学内部引入，如北师大版，让学生观察式子后照样子写，然后根据大量例子归纳出交换律的成立。
至于为什么可以交换，教材没有从本源上说清道理。数学上到底是怎么证明交换律的呢？
1.数学上的证明
（1）借用“自然数的加法”定义即集合的概念
在小学数学里，通常是通过一些具体问题的计算，例如“3只苹果和2只苹果合在一起，一共有几只苹果”来说明自然数加法的意义。这实质上已经渗透着两个自然数的加法与把两个有限集合并成一个集合这两者之间的联系。设A和B是两个不具有公共元素的有限集合，它们的基数分别是a和b，把A和B的元素并在一起组成一个集合C，C叫作集合A和B 的并集，记作A∪B=C，C的基数是c，叫作a、b的和，记作a b=c。求两个加数的和，就是加法。从这个定义，还可以推出加法的一个基本性质：把集A和集B合并时，无论是把集B的元素添加到集A中去，还是把集A的元素添加到集B里去，结果总是一样的，所以A∪B=B∪A。由此可知，a b=b a。
（2）借用演绎推理的方法，给出严格的方法证明