在平面直角坐标背景下探求几何图形的定值问题,由于几何图形或质点的运动而产生某些三角形或四边形的位置的不确定性,在此情形下探求他们的某些不变量的问题,解题时还必须依据题设中的显性或隐性的不变量进行等量代换,以及对综合运用数学知识解决问题的能力要求较高,不但给考生在解决此类问题时带来了不少困难,甚至是惧怕,也给教师在中考复习时带来了一些茫然.因此,此类问题已成为各省市在中考中为培养学生综合运用数学知识解决问题的能力、拉开考试成绩的压轴题,成为中考的一大亮点和新的走向.本文试图通过对2009年全国部分省市有关探求以三角形和四边形周长或面积为定值的中考压轴题的解析,以期达到帮助教师洞察其中的类型和规律,明晰其中所运用的数学知识和数学思想,以及在教学时需注意的问题.
　　
　　1 三角形周长为定值
　　
　　例1 (山东济宁)如图1,在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转.旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N.
　　(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积;
　　(2)旋转过程中,当MN和AC平行时,求正方形OABC旋转的度数;
　　(3)设△MBN的周长为p,在旋转正方形OABC的过程中,p值是否有变化?请证明你的结论.
　　命题分析 本题主要考查考生在以坐标原点O为旋转点的正方形OABC,按顺时针方向旋转的过程中,探究扇形的面积、满足特殊条件时的正方形的旋转角度以及在旋转过程中的一些不变量.第(1)问只需考生求出旋转的最大角度,代入扇形的面积计算公式即可求解.解答第(2)问的关键是通过证明两三角形全等,推得∠AOM=∠CON,旋转角度立即可以得到.解答第(3)问的关键是两次利用全等三角形的对应边相等这个性质,将△MBN的周长进行等量代换,使其表示成边长为定值2的正方形两边长之和的形式.本小问涉及到求定值问题,是本题的难点,也是中考中经常考查的重要内容之一,应引起我们足够的重视.
　　 (3)如图2,延长BA交y轴于E点,则
　　∠AOE=450-∠AOM,∠CON=900-450-∠AOM
　　=450-∠AOM,所以∠AOE=∠CON.
　　由此易证△OAE≌△OCN,△OME≌△OMN.
　　所以OE=ON,AE=CN,所以MN=ME=AM+AE,所以MN=AM+CN.
　　所以p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4,所以p值无变化.
　　
　　2 四边形周长为定值
　　
　　例2 (湖南衡阳)如图3,直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点,点M是线
　　段AB上任意一点(A、B两点除外),过M分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于D.
　　(1)当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化?并说明理由;
　　(2)当点M运动到什么位置时,四边形OCMD的面积有最大值?最大值是多少?
　　(3)当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,
　　设平移的距离为a(0　　命题分析 本题第(1)问求四边形的定值问题的解题方法与例1不同,因题设中没有给出任何显性的线段数量关系,考生在解题时比较漠然,可能会无从下手.解决的关键是设点M的横坐标为x,再依据y与x的函数关系式y=-x+4,表示出点M的纵坐标为-x+4,最后再用含x的代数式表示出矩形OCMD两邻边MC、MD的长即可求解问题.而这种用含有某一变量的点的坐标表示出线段的长和几何图形的周长,并最终消去这一变量,进而得出周长为定值的方法值得我们重视.第(2)问主要考查考生对求二次函数最大值的掌握情况.而第(3)问需考生用分类讨论的思想和运动变化的思想观察图形并画出相应图形,关键是正确写出重叠图形面积的表达式.
　　(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点坐标;
　　(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;
　　(3)当0　　(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程.
　　命题分析 本题除考查学生对抛物线的相关知识的掌握情况,主要考查学生对平行四边形、等腰三角形、勾股定理,方程思想、分类讨论思想等数学知识的综合运用以及探究三角形面积的定值问题.从第(2)问开始都与两质点运动有关.特别是第(3)问中,当0