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摘 要:二次函数是高中教学中重要内容,也是教学的难点。在现实教学中,我们发现有不少同学不能牢固掌握此知识点,进而影响到以后数学综合题的解析。本文作者结合多年的教学经验,尝试从举例子中让学生领悟二次函数的解题技巧,加深学生对该部分知识的理解。
关键词:二次函数 对称轴
中图分类号:G420 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)02(c)-0066-01
函数问题中离不开自变量的取值范围。对于高中生来说,确定自变量的取值范围是一个重点同时也是一个难点,老师在教学过程中应该更加注意该部分内容的讲解,确保学生能够理解。作者在此归纳一些求自变量取值范围的思路,供大家参考。
例1:设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)－x=0的两个根x1,x2满足0 (1)当X∈(0,x1)时,证明X (2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0 解题思路:本题要证明的是x0,又a＞0,因此f(x)＞0,即f(x)-x＞0,至此,证得x 根据韦达定理,有x1x2=c/a,∵0＜x1＜x2<,c=ax1x2f(0),所以当x∈(0,x1)时,f(x) ②依题意知x0=-b/2a,因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根。
所以x1+x2=-(b-1)/a,并且x0=-b/2a
x1/2-x0=(x1+x2)/2-x0-=(1-b)/2a+b/2a-=(1-ax2)/2a
由题设x2<1/a,得ax2<1,所以(1-ax2)/2a>0,得x1/2-x0>0
所以x0 例2:如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(1/2,1)上是增函数,求f(3)的取值范围。
分析:由已知条件可以得知,求f(3)也就是求-3a+17。
已知二次函数f(x)的解析式,一次项系数中含有参数a,二次函数f(x)在(1/2,1)上是增函数。
要求f(3)的范围,那么需要先求出参数a的范围,根据已知条件列出关于a的不等式。即-3a+17。
由二次函数f(x)的解析式可以求出二次函数图象的对称轴,进而求出二次函数的单调区间A。
解法1:先求出函数f(x)的单调增区间A,再由增区间(1/2,1)A,列出关于a的不等式。
解法2:二次函数的单调区间与二次函数图象的对称轴有关,通过数形结合,可以根据对称轴与区间(1/2,1)的相对性列出关于a的不等式。
分析步骤:(1)理解求f(3)也就是求(-3a+17)的范围。
(2)求参数a的范围,列出关于a的不等式。
由已知条件是二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5的增区间是(1/2,1)。
①先求出二次函数f(x)的单调增区间A,也就是增区间(1/2,1)A。
②二次函数的单调性与二次函数的图像的对称轴有关,通过数形结合得知:对称轴在(1/2,1)的右边。
(3)解题步骤省略。
这是一道“已知(含参)函数的单调区间,求参数的范围”的问题,知识点:二次函数的单调性,二次函数的图象,二次函数的对称轴。
方法:构造法,配方法。
思想:数形结合。
你能在别的什么题目中利用这种方法吗?
举一反三:函数f(x)=(ax+1)/(x+2)在(-2,+∞)上单调递增,求的取值范围。
从教学反馈效果来看,听课教师认为教学方法新颖,充分暴露了解题的思维过程,真正解决了解题教学中的许多问题,起到了良好的示范作用。学生认为通过这节课解决了拿起题无从下手的问题,大部分同学觉得解数学题变得容易了,真正认识了数学解题,很大程度上解决了学生对数学题的恐惧心理问题
提高了学习兴趣。
通过这两道题我们可以看出,我们不仅仅只要求简单的得到解题答案,更重要的是从解题过程中考虑一道题是不是还有其他的解题方法。经常尝试多种解题方法,锻炼我们的多向思维,培养综合运用所学的知识解决问题的能力,增强敢于尝试的意识。还有想到这个题的解法还能运用到哪些题中,这些题中可能给出的条件千差万别,所给出的形式也各不相同,但是解题是运用的数学方法都是一样的。这样的思维更能提高我们为以后的解题能力,提高解题效率。解完一道题后,我们还可以对它进行适当的变化和拓展。可以改变题目条件,包括题中条件的加强或减弱,改变条件的出题方式,条件与结论的互换。也可以改变题的结论,在相同的条件下还可以后的什么结论。一题多变,有利于我们拓展解题思路,提高解题的应变能力,避开定势思维带给我们的负面影响。解题后,也要思考题中容易混淆和犯错的知识点,总结其中的经验和教训,做好错题记录,加强对知识点的掌握。
为了改变学生的思维习惯,解题教学中教师应多示范解题分析的过程,充分暴露解题的思维过程,同时也应要求学生尝试画出解题分析的图示,逐步养成良好的分析问题、解决问题的习惯。解题者每解一题都应重视用数学思想和方法来指导解题,避免盲目的生搬硬套。解完题后应注重归纳总结知识和方法,并不断将新学习的知识和方法纳入已有的知识网络,最终提升为数学思想。
依据多年的教学实践,作者认为数学解题可以有效提高学生的数学思维能力,教师通过解题的理论与实践的研究可以帮助学生提高数学思维能力,而数学思维能力的提高又能促进解题能力的提高,从而形成良性循环,全面提高学生的解题能力和数学素养。
关键词:二次函数 对称轴
中图分类号:G420 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)02(c)-0066-01
函数问题中离不开自变量的取值范围。对于高中生来说,确定自变量的取值范围是一个重点同时也是一个难点,老师在教学过程中应该更加注意该部分内容的讲解,确保学生能够理解。作者在此归纳一些求自变量取值范围的思路,供大家参考。
例1:设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)－x=0的两个根x1,x2满足0
所以x1+x2=-(b-1)/a,并且x0=-b/2a
x1/2-x0=(x1+x2)/2-x0-=(1-b)/2a+b/2a-=(1-ax2)/2a
由题设x2<1/a,得ax2<1,所以(1-ax2)/2a>0,得x1/2-x0>0
所以x0
分析:由已知条件可以得知,求f(3)也就是求-3a+17。
已知二次函数f(x)的解析式,一次项系数中含有参数a,二次函数f(x)在(1/2,1)上是增函数。
要求f(3)的范围,那么需要先求出参数a的范围,根据已知条件列出关于a的不等式。即-3a+17。
由二次函数f(x)的解析式可以求出二次函数图象的对称轴,进而求出二次函数的单调区间A。
解法1:先求出函数f(x)的单调增区间A,再由增区间(1/2,1)A,列出关于a的不等式。
解法2:二次函数的单调区间与二次函数图象的对称轴有关,通过数形结合,可以根据对称轴与区间(1/2,1)的相对性列出关于a的不等式。
分析步骤:(1)理解求f(3)也就是求(-3a+17)的范围。
(2)求参数a的范围,列出关于a的不等式。
由已知条件是二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5的增区间是(1/2,1)。
①先求出二次函数f(x)的单调增区间A,也就是增区间(1/2,1)A。
②二次函数的单调性与二次函数的图像的对称轴有关,通过数形结合得知:对称轴在(1/2,1)的右边。
(3)解题步骤省略。
这是一道“已知(含参)函数的单调区间,求参数的范围”的问题,知识点:二次函数的单调性,二次函数的图象,二次函数的对称轴。
方法:构造法,配方法。
思想:数形结合。
你能在别的什么题目中利用这种方法吗?
举一反三:函数f(x)=(ax+1)/(x+2)在(-2,+∞)上单调递增,求的取值范围。
从教学反馈效果来看,听课教师认为教学方法新颖,充分暴露了解题的思维过程,真正解决了解题教学中的许多问题,起到了良好的示范作用。学生认为通过这节课解决了拿起题无从下手的问题,大部分同学觉得解数学题变得容易了,真正认识了数学解题,很大程度上解决了学生对数学题的恐惧心理问题
提高了学习兴趣。
通过这两道题我们可以看出,我们不仅仅只要求简单的得到解题答案,更重要的是从解题过程中考虑一道题是不是还有其他的解题方法。经常尝试多种解题方法,锻炼我们的多向思维,培养综合运用所学的知识解决问题的能力,增强敢于尝试的意识。还有想到这个题的解法还能运用到哪些题中,这些题中可能给出的条件千差万别,所给出的形式也各不相同,但是解题是运用的数学方法都是一样的。这样的思维更能提高我们为以后的解题能力,提高解题效率。解完一道题后,我们还可以对它进行适当的变化和拓展。可以改变题目条件,包括题中条件的加强或减弱,改变条件的出题方式,条件与结论的互换。也可以改变题的结论,在相同的条件下还可以后的什么结论。一题多变,有利于我们拓展解题思路,提高解题的应变能力,避开定势思维带给我们的负面影响。解题后,也要思考题中容易混淆和犯错的知识点,总结其中的经验和教训,做好错题记录,加强对知识点的掌握。
为了改变学生的思维习惯,解题教学中教师应多示范解题分析的过程,充分暴露解题的思维过程,同时也应要求学生尝试画出解题分析的图示,逐步养成良好的分析问题、解决问题的习惯。解题者每解一题都应重视用数学思想和方法来指导解题,避免盲目的生搬硬套。解完题后应注重归纳总结知识和方法,并不断将新学习的知识和方法纳入已有的知识网络,最终提升为数学思想。
依据多年的教学实践,作者认为数学解题可以有效提高学生的数学思维能力,教师通过解题的理论与实践的研究可以帮助学生提高数学思维能力,而数学思维能力的提高又能促进解题能力的提高,从而形成良性循环,全面提高学生的解题能力和数学素养。