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本文认为，数学教学要把分析和解决问题的能力培养渗透在思维训练中，要强化缜密、逆向、发散、整体、构造及直觉等思维训练，以确保运算的准确、简捷、合理和高效，达到提高学生分析问题和解决问题的能力。我们知道，在数学教学过程中，培养学生合理地分析问题及解决问题的能力是中学数学教学的重要目标。在数学教学中，如何实现这个目标呢？这是人们一直在探索的问题。笔者经多年的实践，深刻地体会到，关键是要重视强化数学思维训练。只有强化数学思维训练，才能有效地提高学生分析和解决问题的能力。
一、训练缜密思维，确保运算的准确性：在数学教学中，要重视启发学生考虑问题要周密全面。无论题目难易，一定要启发其认真审题，真正弄清题意，挖掘隐含条件，并随时校对，最后检查和克服“想当然”的不良习惯，以养成严谨周密全面的思维习惯，确保运算的准确性。例1：动点M与已知点P（2，2）连线的斜率是它与点Q（-2，0）连线的斜率的2倍，求动点M的轨迹方程。很多学生拿到题目，粗看后觉得此题不难就信手得出下列解法： 解：设点M（x，y），则 =，=依题意得：=2× 化简得，xy+2x-6y+4=0 ，这就是点M的轨迹方程。这显然是不正确的。但历经多届学生，往往都是这样处理的。究其原因，主要是没有深刻理解题意，考虑问题不周全。忽视了题设中隐含条件“斜率”的存在性。正确的解法是在上面解法的基础上补上：要使直线MP和MQ的斜率存在，必须x≠±2.所以，所求的轨迹方程是xy+2x-6y+4=0 （x≠±2）。
在教学过程中，笔者还注意到，有些数学题，不仅有显露的题设条件，而且还存在着隐含条件。于是在教学中，注意引导学生充分挖掘和应用隐含条件，经过强化训练，学生分析问题和解决问题的能力就大大提高了。
二、训练逆向思维，确保运算的简捷性：逆向思维是一种相对典型的重要思维方法，能有效地提高学生解题的灵活性。因此在教学中，笔者注意根据概念定义的可逆性和公式的双向性，经常举出正面和反面例子，让学生解答。在讲解例题及习题时，常用分析法，使学生学会执果索因的思考解题方法。这样既能培养学生的逆向思维，也能确保运算的简捷性。
例2 若下列三个方程中，至少有一个方程有实根，求出实数a的取值范围。
（1）x2+4ax+（3-4a）=0 （2）x2-（a-1）x+a2=0 （3）x2+2ax-2a=0
引导学生分析：若按正向思考解法，要用一元二次方程根的判别式进行分类讨论，运算繁杂，如果采用逆向思考，“三个方程中至少有一个方程有实数根”的否定形式是“三个方程全都无实数根”。由后者得到不等式组： Δ1=（4a）2-4（3-4a）<0 Δ2=（a-1）2-4a2<0 Δ3=（2a）2-4（-2a）<0 解得：{a︱- < a<-1}。根据“原命题与它的逆否命题等价”的关系，得出所求实数a的范围应是上面解集的补集{a︱≤-或a ≥-1}。这样，用逆向思维的方法进行求解，使计算简捷明了。通过逆向思维训练，使学生不受思维习惯的约束，提高他们从反向考虑问题的自觉性。学生也意识到在分析问题时，若正向思考难以突破，就进行探索结论（或未知）与已知间的联系，运用“正难则反”的解题策略进行分析和解决问题。
三 、训练发散思维，确保运算的合理性：发散思维对培养学生能力方面是起着重要作用的。笔者在教学中，常引导学生思考问题时，注意不要受原有知识的束缚和局限，而是面对实际的问题提出脱俗的见解。分析 ： 易知A表示椭圆+y2=1上的点集， B表示直线y=mx+b上的点集，要使A∩B≠φ，只须椭圆方程和直线方程联立的方程组恒有实数解。这样讨论起来太繁，运算量太大，容易使人感到心烦。笔者就诱导学生结合题设中的几何图形展开联想，利用数形结合的思想方法，不难看到：本题等价于过点（0，b），斜率为m的直线y=mx+b与椭圆+y2=1 恒有公共点。只须考虑点（0，b）落在椭圆内或椭圆上，便可得到如下简捷的解法：解：欲使A∩B≠φ总成立，由题设知只须点（0，b）落在椭圆 +y2=1内或椭圆上。由于利用题设信息，展开多向联想，适时调整思维角度，通过发散思维，采用巧妙合理的运算方法，从而简化运算过程，提高运算速度和准确率。同时，还能激发学生学习的积极性，开阔学生的视野， 提高分析问题和解决问题的能力。
四、训练整体思维，确保运算的高效性：整体思维是指思考问题时，把注意力和着眼点放在问题的整体上，全面收集和获取信息，从而对问题作出整体的判断，找出解题的捷径，达到化难为易，化繁为简的目的。通过整体处理，能确保运算的高效性。
五、训练构造思维，开辟运算新途径：构造思维是根据某类数学问题的条件和结论特征，以及已有的數学关系，在思维中构造出与之相关的数学形式，从而使问题得到解决。比如数学中，数与形、式与函数、式与方程、方程与函数之间的等价构造等等。
六、训练直觉思维 、追求运算的简洁美：直觉思维是凭借感性经验和已有的知识对事物性质作出直接判断或领悟的思维方式。笔者在教学中，特别注意刺激学生的直觉欲望，引发学生直觉想象，依据某些信息作出直觉判断，鼓励学生大胆猜想，提高分析 问题和解决问题的能力，从而收到较好的效果 。
笔者深深地体会到，数学解题一旦变成纯粹的计算和按部就班的解答，数学的魅力也就消失了。如果在解题中，善于观察外形，注重挖掘数学习题的“外形美”展开联想，追寻习题本身的简洁美，往往可使学生在美的感受中产生直觉思维，从而产生运算的简洁美。笔者还深深地体会到，中学数学的课堂教学始终都要贯彻学以致用的原则，着重培养学生运用所学知识去分析和解决问题。在教学中，注重强化思维训练，能激发学生学习数学的积极性，还能提高学生分析和解决问题的能力。通过思维训练，学生逐步学会独立分析问题，从而在解决一些新问题时也常有创新的见解了。
参考文献：
[1] 王林全.中学数学思想方法概论.[M].广州：暨南大学出版社，2003.
[2] 何小亚.数学学与教的心理学[M].广州：华南理工大学出版社，2003.
[3] 张国栋.数学解题过程与数学教学[M].北京：北京教育出版社，1996.（单位：广东省恩平市华侨中学）
一、训练缜密思维，确保运算的准确性：在数学教学中，要重视启发学生考虑问题要周密全面。无论题目难易，一定要启发其认真审题，真正弄清题意，挖掘隐含条件，并随时校对，最后检查和克服“想当然”的不良习惯，以养成严谨周密全面的思维习惯，确保运算的准确性。例1：动点M与已知点P（2，2）连线的斜率是它与点Q（-2，0）连线的斜率的2倍，求动点M的轨迹方程。很多学生拿到题目，粗看后觉得此题不难就信手得出下列解法： 解：设点M（x，y），则 =，=依题意得：=2× 化简得，xy+2x-6y+4=0 ，这就是点M的轨迹方程。这显然是不正确的。但历经多届学生，往往都是这样处理的。究其原因，主要是没有深刻理解题意，考虑问题不周全。忽视了题设中隐含条件“斜率”的存在性。正确的解法是在上面解法的基础上补上：要使直线MP和MQ的斜率存在，必须x≠±2.所以，所求的轨迹方程是xy+2x-6y+4=0 （x≠±2）。
在教学过程中，笔者还注意到，有些数学题，不仅有显露的题设条件，而且还存在着隐含条件。于是在教学中，注意引导学生充分挖掘和应用隐含条件，经过强化训练，学生分析问题和解决问题的能力就大大提高了。
二、训练逆向思维，确保运算的简捷性：逆向思维是一种相对典型的重要思维方法，能有效地提高学生解题的灵活性。因此在教学中，笔者注意根据概念定义的可逆性和公式的双向性，经常举出正面和反面例子，让学生解答。在讲解例题及习题时，常用分析法，使学生学会执果索因的思考解题方法。这样既能培养学生的逆向思维，也能确保运算的简捷性。
例2 若下列三个方程中，至少有一个方程有实根，求出实数a的取值范围。
（1）x2+4ax+（3-4a）=0 （2）x2-（a-1）x+a2=0 （3）x2+2ax-2a=0
引导学生分析：若按正向思考解法，要用一元二次方程根的判别式进行分类讨论，运算繁杂，如果采用逆向思考，“三个方程中至少有一个方程有实数根”的否定形式是“三个方程全都无实数根”。由后者得到不等式组： Δ1=（4a）2-4（3-4a）<0 Δ2=（a-1）2-4a2<0 Δ3=（2a）2-4（-2a）<0 解得：{a︱- < a<-1}。根据“原命题与它的逆否命题等价”的关系，得出所求实数a的范围应是上面解集的补集{a︱≤-或a ≥-1}。这样，用逆向思维的方法进行求解，使计算简捷明了。通过逆向思维训练，使学生不受思维习惯的约束，提高他们从反向考虑问题的自觉性。学生也意识到在分析问题时，若正向思考难以突破，就进行探索结论（或未知）与已知间的联系，运用“正难则反”的解题策略进行分析和解决问题。
三 、训练发散思维，确保运算的合理性：发散思维对培养学生能力方面是起着重要作用的。笔者在教学中，常引导学生思考问题时，注意不要受原有知识的束缚和局限，而是面对实际的问题提出脱俗的见解。分析 ： 易知A表示椭圆+y2=1上的点集， B表示直线y=mx+b上的点集，要使A∩B≠φ，只须椭圆方程和直线方程联立的方程组恒有实数解。这样讨论起来太繁，运算量太大，容易使人感到心烦。笔者就诱导学生结合题设中的几何图形展开联想，利用数形结合的思想方法，不难看到：本题等价于过点（0，b），斜率为m的直线y=mx+b与椭圆+y2=1 恒有公共点。只须考虑点（0，b）落在椭圆内或椭圆上，便可得到如下简捷的解法：解：欲使A∩B≠φ总成立，由题设知只须点（0，b）落在椭圆 +y2=1内或椭圆上。由于利用题设信息，展开多向联想，适时调整思维角度，通过发散思维，采用巧妙合理的运算方法，从而简化运算过程，提高运算速度和准确率。同时，还能激发学生学习的积极性，开阔学生的视野， 提高分析问题和解决问题的能力。
四、训练整体思维，确保运算的高效性：整体思维是指思考问题时，把注意力和着眼点放在问题的整体上，全面收集和获取信息，从而对问题作出整体的判断，找出解题的捷径，达到化难为易，化繁为简的目的。通过整体处理，能确保运算的高效性。
五、训练构造思维，开辟运算新途径：构造思维是根据某类数学问题的条件和结论特征，以及已有的數学关系，在思维中构造出与之相关的数学形式，从而使问题得到解决。比如数学中，数与形、式与函数、式与方程、方程与函数之间的等价构造等等。
六、训练直觉思维 、追求运算的简洁美：直觉思维是凭借感性经验和已有的知识对事物性质作出直接判断或领悟的思维方式。笔者在教学中，特别注意刺激学生的直觉欲望，引发学生直觉想象，依据某些信息作出直觉判断，鼓励学生大胆猜想，提高分析 问题和解决问题的能力，从而收到较好的效果 。
笔者深深地体会到，数学解题一旦变成纯粹的计算和按部就班的解答，数学的魅力也就消失了。如果在解题中，善于观察外形，注重挖掘数学习题的“外形美”展开联想，追寻习题本身的简洁美，往往可使学生在美的感受中产生直觉思维，从而产生运算的简洁美。笔者还深深地体会到，中学数学的课堂教学始终都要贯彻学以致用的原则，着重培养学生运用所学知识去分析和解决问题。在教学中，注重强化思维训练，能激发学生学习数学的积极性，还能提高学生分析和解决问题的能力。通过思维训练，学生逐步学会独立分析问题，从而在解决一些新问题时也常有创新的见解了。
参考文献：
[1] 王林全.中学数学思想方法概论.[M].广州：暨南大学出版社，2003.
[2] 何小亚.数学学与教的心理学[M].广州：华南理工大学出版社，2003.
[3] 张国栋.数学解题过程与数学教学[M].北京：北京教育出版社，1996.（单位：广东省恩平市华侨中学）