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摘 要: Bézier曲线在计算机辅助绘图具有广泛的应用,普通的Bézier曲线仅经过起始两点,对于需要通过某一确定点的情况则需要大量计算才能确定其控制点,针对这一问题,利用Hermite多项式插值,运用承袭法构造参数方程,得到一种既能通过起始两点,也能通过任意指定点的光滑曲线。
关键词: Bézier曲线;Hermite多项式插值;计算机辅助绘图
0 引言
计算机辅助绘图目前有着广泛应用,已成为计算机辅助设计的基础。Bézier曲线已经在计算机辅助绘图中大量应用,是计算机辅助绘图中应用的最多的基本线条之一,对于普通的Bézier曲线,其经过起始两点,并通过不同的控制点,以控制曲线走向,但不经过控制点。在绘图者希望曲线经过特定点时,需要进行计算才能确定Bézier曲线的控制点,这样就加大了绘图者的运算量。针对这一问题,本文提出了可经过任意指定点的曲线。
本文以A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 和D(x4,y4)四点来控制曲线为例,说明曲线的确定过程。其中A为曲线的起点,D为曲线的终点,B和C为控制点。曲线在起点A处,以AB方向为切线方向,在终点D处,以CD方向为切线方向
1. Bézier曲线
1.1 Bézier曲线的建立
构造的曲线不需要经过所有的点,在起点和终点确定之后,通过选取一些控制点,由这些控制点来调整曲线的变动情况,这就是Bézier曲线。[1]
三阶Bézier曲线的一般方程为
………………..(1)[2]
将Bézier曲线的方程参数化,三阶Bézier曲线必为三次方程,将其系数替换后,得到方程(2)
………………..(2)
2.2 Hermite多项式插值曲线绘制
若假设四个点为A(1,1),B(1,3),C(3,3) 和D(2,2)代入参数方程中。得到参数方程(3)
………………………..(3)
用MATLAB绘制图像如图1
图中曲线即为上述方程所確定的Bézier曲线,两直线为起始两点的切线。由图得,该Bézier曲线的为不经过控制点B、C的光滑曲线。
2. Hermite多项式插值构造曲线
2.1 Hermite多项式插值构造曲线
若要经过两控制点,且保证在两端点处的相切条件,需要两端点的导数值与AB线段、CD线段的斜率值相等,这就是Hermite插值问题。在Hermite插值中有两种构造方法——承袭法和基函数法,两种方法结果相同。在此处我们运用承袭法构造参数方程。Hermite多项式插值方程为
…………………..(4)
其中Ln-1(X)为Lagrange插值多项式。[3]此时n=4,H(x)的最高次幂为5,将此方程转换为参数方程(5)(式中ti,tj为定义域中的任意值)
……………….(5)[4]
可化简为一个五次参数方程组
………………(6)
2.2 Hermite多项式插值曲线绘制
将四个点A(1,1),B(1,3),C(3,3),D(2,2)代入参数方程(6)中。当ti,tj=0, ,1,时,得到参数方程(7)
……………………(7)
用MATLAB绘制图像如图2,图中曲线即为上述方程所确定的曲线,两直线为起始两点的切线。由图得,该曲线的为经过控制点B、C的光滑曲线。
当ti,tj取其它定义域中的值时,得到曲线与图中曲线完全相同。
3.两曲线关系
利用Hermite插值求得的曲线只经过A、D两点时,曲线为一个一次方程。当利用承袭法,使曲线满足起止点的相切条件时,得到Hermite插值多项式方程为一个三次方程,Bézier曲线亦为三次方程,该方程与Bézier曲线满足的条件相同,利用上面所给的数据,计算得Hermite插值多项式方程为
其与普通Bézier曲线的方程完全相同。也就是说在某些条件下,利用Hermite插值多项式得到的曲线可以转变成Bézier曲线,也可以说,Bézier曲线是Hermite插值多项式的一种特例。
总结
本文针对普通Bézier曲线无法经过中间指定点的问题,利用Hermite插值多项式构造了一种可经过任意指定点的光滑曲线。其实质是对Bézier曲线的一种限定,当无需通过指定点时,该曲线与普通Bézier曲线,即可以认为Hermite插值多项式构造的Bézier曲线是Bézier曲线的一种特殊情况。在计算机辅助绘图中,Hermite插值多项式构造的Bézier曲线既能用于不过特定点的条件,也可用于通过特定点的情况,应用范围比普通Bézier曲线更广。
参考文献
[1] 蒋尔雄,赵风光等,数值逼近[M],复旦大学出版社,2008,49-60.
[2] 徐雨明,文双春.Bézier曲线递归分割算法的研究[J].衡阳师范学院学报,2007(06):113-115.
[3] 司守奎,数学模型算法与应用[M],国防工业出版社,2011,180-181.
[4] 刘国祥.参数型拉格朗日插值公式[J].赤峰学院学报(自然科学版),2016,32(07):21-22.
关键词: Bézier曲线;Hermite多项式插值;计算机辅助绘图
0 引言
计算机辅助绘图目前有着广泛应用,已成为计算机辅助设计的基础。Bézier曲线已经在计算机辅助绘图中大量应用,是计算机辅助绘图中应用的最多的基本线条之一,对于普通的Bézier曲线,其经过起始两点,并通过不同的控制点,以控制曲线走向,但不经过控制点。在绘图者希望曲线经过特定点时,需要进行计算才能确定Bézier曲线的控制点,这样就加大了绘图者的运算量。针对这一问题,本文提出了可经过任意指定点的曲线。
本文以A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 和D(x4,y4)四点来控制曲线为例,说明曲线的确定过程。其中A为曲线的起点,D为曲线的终点,B和C为控制点。曲线在起点A处,以AB方向为切线方向,在终点D处,以CD方向为切线方向
1. Bézier曲线
1.1 Bézier曲线的建立
构造的曲线不需要经过所有的点,在起点和终点确定之后,通过选取一些控制点,由这些控制点来调整曲线的变动情况,这就是Bézier曲线。[1]
三阶Bézier曲线的一般方程为
………………..(1)[2]
将Bézier曲线的方程参数化,三阶Bézier曲线必为三次方程,将其系数替换后,得到方程(2)
………………..(2)
2.2 Hermite多项式插值曲线绘制
若假设四个点为A(1,1),B(1,3),C(3,3) 和D(2,2)代入参数方程中。得到参数方程(3)
………………………..(3)
用MATLAB绘制图像如图1
图中曲线即为上述方程所確定的Bézier曲线,两直线为起始两点的切线。由图得,该Bézier曲线的为不经过控制点B、C的光滑曲线。
2. Hermite多项式插值构造曲线
2.1 Hermite多项式插值构造曲线
若要经过两控制点,且保证在两端点处的相切条件,需要两端点的导数值与AB线段、CD线段的斜率值相等,这就是Hermite插值问题。在Hermite插值中有两种构造方法——承袭法和基函数法,两种方法结果相同。在此处我们运用承袭法构造参数方程。Hermite多项式插值方程为
…………………..(4)
其中Ln-1(X)为Lagrange插值多项式。[3]此时n=4,H(x)的最高次幂为5,将此方程转换为参数方程(5)(式中ti,tj为定义域中的任意值)
……………….(5)[4]
可化简为一个五次参数方程组
………………(6)
2.2 Hermite多项式插值曲线绘制
将四个点A(1,1),B(1,3),C(3,3),D(2,2)代入参数方程(6)中。当ti,tj=0, ,1,时,得到参数方程(7)
……………………(7)
用MATLAB绘制图像如图2,图中曲线即为上述方程所确定的曲线,两直线为起始两点的切线。由图得,该曲线的为经过控制点B、C的光滑曲线。
当ti,tj取其它定义域中的值时,得到曲线与图中曲线完全相同。
3.两曲线关系
利用Hermite插值求得的曲线只经过A、D两点时,曲线为一个一次方程。当利用承袭法,使曲线满足起止点的相切条件时,得到Hermite插值多项式方程为一个三次方程,Bézier曲线亦为三次方程,该方程与Bézier曲线满足的条件相同,利用上面所给的数据,计算得Hermite插值多项式方程为
其与普通Bézier曲线的方程完全相同。也就是说在某些条件下,利用Hermite插值多项式得到的曲线可以转变成Bézier曲线,也可以说,Bézier曲线是Hermite插值多项式的一种特例。
总结
本文针对普通Bézier曲线无法经过中间指定点的问题,利用Hermite插值多项式构造了一种可经过任意指定点的光滑曲线。其实质是对Bézier曲线的一种限定,当无需通过指定点时,该曲线与普通Bézier曲线,即可以认为Hermite插值多项式构造的Bézier曲线是Bézier曲线的一种特殊情况。在计算机辅助绘图中,Hermite插值多项式构造的Bézier曲线既能用于不过特定点的条件,也可用于通过特定点的情况,应用范围比普通Bézier曲线更广。
参考文献
[1] 蒋尔雄,赵风光等,数值逼近[M],复旦大学出版社,2008,49-60.
[2] 徐雨明,文双春.Bézier曲线递归分割算法的研究[J].衡阳师范学院学报,2007(06):113-115.
[3] 司守奎,数学模型算法与应用[M],国防工业出版社,2011,180-181.
[4] 刘国祥.参数型拉格朗日插值公式[J].赤峰学院学报(自然科学版),2016,32(07):21-22.