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摘 要：文章从一题多解和一题多变这两种常用的有效教学方法出发，分析了一题多解和一题多变的教学方法产生的前提与作用，以及列举了如何巧妙地选择典型例题，实现一题多解和一题多变的教学方法的交互运用，摸索新课程改革背景下如何利用一题多解与一题多变的教学方法发展学生的思维，实现与高中数学课程的整合，以达到最佳的教学效果。
关键词：中学数学；一题多解；一题多变；运用策略
教师在平时的教学中要有意识地激发学生思维的创造性、灵活性，使学生在积极主动的状态下探索，为学生的思维发散提供情景、条件和机会，启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法解决同一个数学问题，或改变题目的条件与问题形成相关题型，从而锻炼学生思维的灵活性，培养学生的开拓性和创造性。进行一题多解和一题多变的训练，是培养学生思维的敏捷性，提高学生的变通能力与综合运用数学知识的行之有效的方法，能促进学生智能和思维的发展，起到意想不到的教学效果。
一、开展一题多解和一题多变教学所需的条件
任何一种教学方法的实施与应用都离不开一定的前提条件，下面就谈谈实现一题多解和一题多变的教学所要具备的条件。
（一）健全的知识结构是一题多解和一题多变的基础
一题多解與一题多变的根基在于全面、系统、准确、透彻地理解和掌握数学基础知识、基本技能、基本原理和方法。真正掌握了数学知识的学生就能将所学的知识内化成知识点、知识线、知识面有机结合的自我知识结构，就能使所学知识具有稳固性、迁移性和灵活性，就能从知识结构的网络上找到具体的知识点以及相关的知识线、知识面，从而得出不同的解题策略。只要知识结构中有一项残缺、断链，则解题过程必然中断，无法使思维触角伸向不同的方向。
（二）灵活的思维是一题多解和一题多变的关键
问题的解决过程是活跃的、敏捷的思维运动过程。实践表明，思维习惯好、思维品质佳的学生，一题多解和变式联想的能力就强。特别是思维敏捷和开阔的学生，更能将所学知识融会贯通、综合运用。
（三）良好的解题习惯是一题多解和一题多变的保证
一道数学题能不能顺利解决甚至能否以多种方法解出就在于解题者是否具备良好的解题习惯。数学解题一般要经历观察审题、数学分析、计算表达、结果检验等过程，在这个思考解决问题的过程中必然需要相应的观察能力、记忆能力、联想能力、思维能力、辨析能力等作为保证。这样才能发现新思路，遇到新问题时才能迅速回忆起有关的旧知识并进行比较和分析，沿着条件进行发散思维。
（四）积极的学习心理是一题多解和一题多变的动力
喜欢一题多解的学生，总有着积极的上进心，对解题特别积极，甚至于陶醉其中。他们总不满足于现有条件，想把一切事情做到最好。对数学题探讨新解法，变化新形式。为了获得一种新解法，往往废寝忘食、殚精竭虑而乐在其中。因此，缺乏解题的积极性，学生就不会有坚持的意志，也不会养成乐于一题多解和一题多变的学习习惯，从而导致获得多解、学会多变只是一句空话。
二、灵活运用一题多解和一题多变的积极作用
尽管一题多解和一题多变的教学前提条件是多方面的，但一旦能灵活运用这种教学方法其作用也十分显著。主要作用包括：
（一）有利于激发学生学习数学的积极性
表现欲是人对自我抱有期望与信心的显示。当学生的这个心理需要得到满足时，便会产生一种自豪感，推动学生更有信心地去学习，去探索，去创造，从而获得最佳的学习效果。在数学教学中，教师可以利用一题多解和一题多变来实现和触发学生的表现欲。因为一题多解和一题多变的数学题目齐集了各种不同的角度、不同的结构形式的相关知识，数学题目的变化让学生一次又一次地挑战自己，不断地思考以获得新的结论，让学生的表现欲得到满足。此外，对解题过程及结果的回味也能使学生感受到成功的喜悦和增强自信心，可以极大地激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣。这种解题兴趣必然产生出一种上进心，继而形成极强的学习动力。
（二）有利于培养和提高学生思维的广阔性和深刻性
对于同一道题，鼓励学生从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法。把一道题深化变形，从而比较分析、总结归纳，这样不仅能巩固所学知识，而且能较好地培养学生思维的广阔性。
通过一题多解与一题多变，既能促使学生沟通知识点间的联系，又能让学生从中学到“转化策略、数形结合、函数与方程”等基本的数学思想。这种教学法引导学生多方法、多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质，从而在很大程度上拓展了学生思维的开阔性。
思维的深刻性，不仅表现在审题时能很快发现和抓住问题的基本特征，挖掘出隐含条件，从而迅速确立解题的策略，而且表现在解题后不满足于“一题一法”而是深刻领会解题的实质，掌握其一般规律，同时在变式中归纳更好的、应用更广泛的解法。教师在教学时对教材中的例题进行变式，不但能使学生深化对所讨论的命题的认知，获得融会贯通的本领，而且可以培养学生深入钻研的精神。用到的知识就越广，所需的能力就越强，也就越能有效地沟通各部分知识的内在联系，加深对知识的理解，从而进一步扩展学生的认知水平，培养学生思维的深刻性。
（三）有利于培养学生的创新思维能力
美国心理学家吉尔福特把创造性思维定义为：“是一种不依常规，寻求变异，沿着不同的方向去思考问题，从多方面寻求答案的思维方式。”苏联心理学家卡尔梅科娃则认为：“创造性思维是一种使人能提出问题，在不确定的有各种选择的条件下找到新的解决问题的方法，能直接从已有的知识中有所发现的思维形式。”
一题多解与一题多变对学生创新思维能力培养起着重要的作用。一题多解的训练，可开拓学生思路，提高学生思维的灵活性和敏捷性，在培养学生创造思维能力方面具有特殊的功能，也是发展学生创造力的主要途径之一。
教师在数学教学中，为了提高学生的素质，培养学生的思维，巧妙地选择典型例题，寻求一题多解、一题多变，不失为培养学生数学思维的发散性、创造性的有效途径。许多教师在“例题”的“一解”教学后，引导学生“多解”“变形再解”，这为学生起了较好的示范作用。长期坚持，学生就能从简单模仿到自觉地进行多解、变式求解，自觉培养自己的思维能力。
但一题多解的最终目的不是展示有多少种解决问题的途径，也不是要求所有的题目都需要用多种方法去解决，而是在这个过程中培养学生的兴趣、锻炼学生的思维和寻找一种最佳的解题方法，也就是说掌握“一题多解”的最终目的是“一题优解”，“一题多变”的最终目的是“化而归一”。教学中，教师要善于以典型例题为原型来多解，同时导出同类问题的变式，把它们集中在一起，对其题目的立意、解题思路、解题策略和易产生的误区等进行归纳和总结，形成一个共同的认知体系。这可以由一个知识点的一个侧面考核变为多个方面的考核，变单一知识点的考查为多个知识点的考查，以一题的解答达到多题的学习效果。
总之，在数学教学中，实施“多解与多变”式的教学，对弘扬学生的主体精神，优化学生的数学素质，培养、提高学生的思维能力等方面，确实有其明显的功效，这种功效对提高数学教学质量大有帮助。教学实践证明，只要教师能善用一题多解与多变教学，积极引导学生参与和运用，不但能激发学生的学习兴趣，提高学生分析问题、解决问题和发现问题的能力，而且也能减轻学生学习数学的负担、提高学生学习数学的效率。所以教师应该在教学中不失时机地引导学生进行“一题多解”“一题多变”的训练，充分发挥其在中学数学教学中的作用。
关键词：中学数学；一题多解；一题多变；运用策略
教师在平时的教学中要有意识地激发学生思维的创造性、灵活性，使学生在积极主动的状态下探索，为学生的思维发散提供情景、条件和机会，启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法解决同一个数学问题，或改变题目的条件与问题形成相关题型，从而锻炼学生思维的灵活性，培养学生的开拓性和创造性。进行一题多解和一题多变的训练，是培养学生思维的敏捷性，提高学生的变通能力与综合运用数学知识的行之有效的方法，能促进学生智能和思维的发展，起到意想不到的教学效果。
一、开展一题多解和一题多变教学所需的条件
任何一种教学方法的实施与应用都离不开一定的前提条件，下面就谈谈实现一题多解和一题多变的教学所要具备的条件。
（一）健全的知识结构是一题多解和一题多变的基础
一题多解與一题多变的根基在于全面、系统、准确、透彻地理解和掌握数学基础知识、基本技能、基本原理和方法。真正掌握了数学知识的学生就能将所学的知识内化成知识点、知识线、知识面有机结合的自我知识结构，就能使所学知识具有稳固性、迁移性和灵活性，就能从知识结构的网络上找到具体的知识点以及相关的知识线、知识面，从而得出不同的解题策略。只要知识结构中有一项残缺、断链，则解题过程必然中断，无法使思维触角伸向不同的方向。
（二）灵活的思维是一题多解和一题多变的关键
问题的解决过程是活跃的、敏捷的思维运动过程。实践表明，思维习惯好、思维品质佳的学生，一题多解和变式联想的能力就强。特别是思维敏捷和开阔的学生，更能将所学知识融会贯通、综合运用。
（三）良好的解题习惯是一题多解和一题多变的保证
一道数学题能不能顺利解决甚至能否以多种方法解出就在于解题者是否具备良好的解题习惯。数学解题一般要经历观察审题、数学分析、计算表达、结果检验等过程，在这个思考解决问题的过程中必然需要相应的观察能力、记忆能力、联想能力、思维能力、辨析能力等作为保证。这样才能发现新思路，遇到新问题时才能迅速回忆起有关的旧知识并进行比较和分析，沿着条件进行发散思维。
（四）积极的学习心理是一题多解和一题多变的动力
喜欢一题多解的学生，总有着积极的上进心，对解题特别积极，甚至于陶醉其中。他们总不满足于现有条件，想把一切事情做到最好。对数学题探讨新解法，变化新形式。为了获得一种新解法，往往废寝忘食、殚精竭虑而乐在其中。因此，缺乏解题的积极性，学生就不会有坚持的意志，也不会养成乐于一题多解和一题多变的学习习惯，从而导致获得多解、学会多变只是一句空话。
二、灵活运用一题多解和一题多变的积极作用
尽管一题多解和一题多变的教学前提条件是多方面的，但一旦能灵活运用这种教学方法其作用也十分显著。主要作用包括：
（一）有利于激发学生学习数学的积极性
表现欲是人对自我抱有期望与信心的显示。当学生的这个心理需要得到满足时，便会产生一种自豪感，推动学生更有信心地去学习，去探索，去创造，从而获得最佳的学习效果。在数学教学中，教师可以利用一题多解和一题多变来实现和触发学生的表现欲。因为一题多解和一题多变的数学题目齐集了各种不同的角度、不同的结构形式的相关知识，数学题目的变化让学生一次又一次地挑战自己，不断地思考以获得新的结论，让学生的表现欲得到满足。此外，对解题过程及结果的回味也能使学生感受到成功的喜悦和增强自信心，可以极大地激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣。这种解题兴趣必然产生出一种上进心，继而形成极强的学习动力。
（二）有利于培养和提高学生思维的广阔性和深刻性
对于同一道题，鼓励学生从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法。把一道题深化变形，从而比较分析、总结归纳，这样不仅能巩固所学知识，而且能较好地培养学生思维的广阔性。
通过一题多解与一题多变，既能促使学生沟通知识点间的联系，又能让学生从中学到“转化策略、数形结合、函数与方程”等基本的数学思想。这种教学法引导学生多方法、多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质，从而在很大程度上拓展了学生思维的开阔性。
思维的深刻性，不仅表现在审题时能很快发现和抓住问题的基本特征，挖掘出隐含条件，从而迅速确立解题的策略，而且表现在解题后不满足于“一题一法”而是深刻领会解题的实质，掌握其一般规律，同时在变式中归纳更好的、应用更广泛的解法。教师在教学时对教材中的例题进行变式，不但能使学生深化对所讨论的命题的认知，获得融会贯通的本领，而且可以培养学生深入钻研的精神。用到的知识就越广，所需的能力就越强，也就越能有效地沟通各部分知识的内在联系，加深对知识的理解，从而进一步扩展学生的认知水平，培养学生思维的深刻性。
（三）有利于培养学生的创新思维能力
美国心理学家吉尔福特把创造性思维定义为：“是一种不依常规，寻求变异，沿着不同的方向去思考问题，从多方面寻求答案的思维方式。”苏联心理学家卡尔梅科娃则认为：“创造性思维是一种使人能提出问题，在不确定的有各种选择的条件下找到新的解决问题的方法，能直接从已有的知识中有所发现的思维形式。”
一题多解与一题多变对学生创新思维能力培养起着重要的作用。一题多解的训练，可开拓学生思路，提高学生思维的灵活性和敏捷性，在培养学生创造思维能力方面具有特殊的功能，也是发展学生创造力的主要途径之一。
教师在数学教学中，为了提高学生的素质，培养学生的思维，巧妙地选择典型例题，寻求一题多解、一题多变，不失为培养学生数学思维的发散性、创造性的有效途径。许多教师在“例题”的“一解”教学后，引导学生“多解”“变形再解”，这为学生起了较好的示范作用。长期坚持，学生就能从简单模仿到自觉地进行多解、变式求解，自觉培养自己的思维能力。
但一题多解的最终目的不是展示有多少种解决问题的途径，也不是要求所有的题目都需要用多种方法去解决，而是在这个过程中培养学生的兴趣、锻炼学生的思维和寻找一种最佳的解题方法，也就是说掌握“一题多解”的最终目的是“一题优解”，“一题多变”的最终目的是“化而归一”。教学中，教师要善于以典型例题为原型来多解，同时导出同类问题的变式，把它们集中在一起，对其题目的立意、解题思路、解题策略和易产生的误区等进行归纳和总结，形成一个共同的认知体系。这可以由一个知识点的一个侧面考核变为多个方面的考核，变单一知识点的考查为多个知识点的考查，以一题的解答达到多题的学习效果。
总之，在数学教学中，实施“多解与多变”式的教学，对弘扬学生的主体精神，优化学生的数学素质，培养、提高学生的思维能力等方面，确实有其明显的功效，这种功效对提高数学教学质量大有帮助。教学实践证明，只要教师能善用一题多解与多变教学，积极引导学生参与和运用，不但能激发学生的学习兴趣，提高学生分析问题、解决问题和发现问题的能力，而且也能减轻学生学习数学的负担、提高学生学习数学的效率。所以教师应该在教学中不失时机地引导学生进行“一题多解”“一题多变”的训练，充分发挥其在中学数学教学中的作用。