函数的对称性是函数的一个基本性质,充分利用对称性往往能更简捷地解决函数问题,下面通过函数自身的对称性和两个不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的问题。
　　一、函数自身的对称性
　　定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是:
　　f (x) + f (2a-x) = 2b
　　证明:(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P’(2a-x,2b-y)也在y = f (x)图像上,∴ 2b-y = f (2a-x)
　　即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b,必要性得证。
　　(充分性)设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)
　　∵ f (x) + f (2a-x) =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b,即2b-y0 = f (2a-x0) 。
　　故点P’(2a-x0,2b-y0)也在y = f (x) 图像上,而点P与点P’关于点A (a ,b)对称,充分性得征。
　　推论:函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (-x) = 0
　　定理2.函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是:
　　f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x)(证明略)
　　推论:函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (-x)
　　定理3.①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
　　②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
　　③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
　　①②的证明留给读者,以下给出③的证明:
　　∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称
　　∴f (x) + f (2a-x) =2c,用2b-x代x得:
　　f (2b-x) + f [2a-(2b-x)] =2c…………(*)
　　又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称,
　　∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得:
　　f (x) = 2c-f [2(a-b) + x]…………(**)
　　用2(a-b)-x代x得:
　　f [2 (a-b)+ x]= 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得:
　　f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
　　二、两个函数的对称性
　　定理4. 函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。
　　定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。
　　②函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。
　　③函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。
　　定理4与定理5中的①②证明留给读者,现证定理5中的③
　　设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x-y = a的轴对称点为P’(x1, y1),则x1 = a + y0 , y1 = x0-a ,∴x0 = a + y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a = f (a + y1) ∴点P’(x1, y1)在函数x-a = f (y + a)的图像上。
　　同理可证:函数x-a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x-y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。
　　推论:函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
　　三、函数对称性应用举例
　　例1:定义在R上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数,且f (5-x) = f (5+x),则f (x)一定是( )
　　(A)是偶函数,也是周期函数 (B)是偶函数,但不是周期函数
　　(C)是奇函数,也是周期函数 (D)是奇函数,但不是周期函数
　　解: ∵f (10+x)为偶函数 ∴f (10+x) = f (10-x)
　　∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ,因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数, ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴,因此f (x)还是一个偶函数。
　　故选(A)
　　例2.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0时,f (x) =-12x,则f (8.6 ) =
　　解:∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴;
　　又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数,∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3