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人教版实验教科书八年级(下)第110页第7题是一道条件不充分习题,应该将此题的条件“四边形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC.”修改为“梯形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC.”也就是将原题中的“四边形ABCD”改成“梯形ABCD”.笔者将此题的条件修改后,并进行了拓广探究.[TP22a.TIF,Y][TS(][JZ][HTK]图1[TS)]
原题 已知:如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是等腰梯形.
新题 已知:如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是等腰梯形.
简析 因为四边形ABCD是梯形,要证明它是等腰梯形,就是证明两腰相等,也就是要证两条线段相等,可以利用全等三角形来解决.
证明 因为点M是AD的中点,所以AM=BM.
又因为MB=MC,所以∠MBC=∠MCB.
又因为AD∥BC,所以∠AMB=∠MBC,∠DMC=∠MCB.
所以∠AMB=∠DMC.
所以△ABM≌△DCM (SAS).
所以AB=DC.
所以梯形ABCD是等腰梯形.
习题是数学教学不可或缺的重要资源,在日常教学中,我们要对习题进行变式、推广和编创,充分发挥习题的价值.下面以这一道平面几何题为例谈谈自己的做法.
思维拓展1 将原题的条件改变,把“上底的中点”变为“下底的中点”,挖掘内在联系.
变式1 已知:如图2,四边形ABCD中,AD∥BC,点M是BC的中点,且AM=DM.
求证:四边形ABCD是等腰梯形.[TP22a1.TIF,Y][TS(][JZ][HTK]图2[TS)]
简析 此题只是把“上底的中点”变为“下底的中点”,中点的位置换了,但是通过分析解法还是同原题一样.
证明 因为点M是BC的中点,所以BM=CM.
又因为AM=DM,所以∠MAD=∠MDA.
又因为AD∥BC,所以∠MAD=∠AMB,∠MDA=∠DMC.
所以∠AMB=∠DMC.
所以△ABM≌△DCM (SAS).
所以AB=DC.
所以梯形ABCD是等腰梯形.
思维拓展2 将特殊条件一般化,把点M是“梯形底边上的中点”变为“梯形外部的点”,探究上述结论是否成立.[TP22b.TIF,Y][TS(][JZ][HTK]图3[TS)]
变式2 已知:如图3,四边形ABCD中,AD∥BC,点M是ABCD的外部一点,AM、DM交BC于E、F两点,且AM=DM,BE=CF.
求证:四边形ABCD是等腰梯形.
简析 此题只是把点M是梯形底边上的中点变换成了点M是ABCD的外部一点,但是通过分析解法还是同原题一样.
证明 因为AM=DM,所以∠MAD=∠MDA.
又因为AD∥BC,所以∠AEB=∠MAD,∠DFC=∠MDA.
所以∠AEB=∠DFC
所以∠MEF=∠MFE
所以ME=MF
所以AM-ME=DM-MF,即AE=DF.
所以△ABE△DCF(SAS),所以AB=DC,
所以梯形ABCD是等腰梯形.
思维拓展3 将结论和条件互换位置,把要证明的结论“等腰梯形”作为条件,探究新的结论,从而提高学生的应变能力.
变式3 已知:如图4,梯形ABCD中,AB=DC,AD∥BC,M是梯形外部的一点,且MA=MD.
求证:MB=MC.
证明 因为梯形ABCD是等腰梯形,所以∠BAD=∠CDA,
因为MA=MD,所以∠MAD=∠MDA,
所以∠BAD-∠MAD=∠CDA-∠MDA,
所以∠MAB=∠MDC,
在△AMB和△DMC中,AM=DM,∠MAB=∠MDC,AB=DC,
所以△AMB≌△DMC (SAS),
所以MB=MC.
思维拓展4 变换条件和结论,把“底边上的中点”变为“两点”,两腰由“已知相等”变为“结论”,提高探索能力.[TP22c.TIF,Y][TS(][JZ][HTK]图5[TS)]
变式4 已知:如图5,梯形ABCD中,AB∥DC,E、F是AB上的两点,且BE=CF,AE=DF,EF≠AD.
求证:AB=CD,EF≠AD.
证明 因为梯形ABCD中,AD∥BC,AE=DF,EF≠AD.
所以梯形EFDA是等腰梯形,
所以∠AEF=∠DFE,
所以∠AEB=∠DFC.
又因为BE=CF,AE=DF,
所以△BAE≌△CDF (SAS),
所以AB=CD.
思维拓展5 变换题型,将证明题改为探索题,探索新的结论是否成立,从而培养思维的发散性.
变式5 已知:如图6,梯形ABCD中,AD∥BC,M是底边AB上的点,给出下面三个论断:①AB=CD;②AM=DM;③BM=CM.
请你以其中的两个论断作为条件,填入“已知”栏中,以一个论断作为结论,填入“求证”栏中,使之成为一个正确的命题,并证明之.[TP22c1.TIF,Y][TS(][JZ][HTK]图6[TS)]
已知:如图6,在梯形ABCD中,AD∥BC,M是底边BC上的点,_________.
求证:___________.
简析 本题从所给的论断入手,不断变换题目的条件与结论,由浅入深,循序渐进,层层深化,既沟通了知识之间的联系又训练了发散思维的变通性.
符合题意的情形有三种情况,即
①,②→③
①,③→②
②,③→①
所以∠MAD=∠MDA,
因为AD∥BC,
所以∠MAD=∠AMB,∠MDA=∠DMC,
所以∠AMB=∠DMC.
在△AMB和△DMC中,
AM=DM,∠AMB=∠DMC,BM=CM,
所以△AMB≌△DMC (SAS),
所以AB=CD.
在教学时,如能在习题的解答后进一步深入研究,一定能发现一些很有趣又很有用的新知识或好方法,使解答数学问题的过程变成探究、发现的过程,将思维变成流动、活跃的过程.可使学生时时处在一种愉快的探索知识的状态中,从而充分调动了学生的积极性,启发学生的思维,提高学生的解题能力和探索能力.
作者简介 魏祖成,中学一级教师,湖北省竹溪县教研室数学教研员,发表文章100余篇,主要从事教材例习题的、有效课堂构建研究、中考试题研究.
原题 已知:如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是等腰梯形.
新题 已知:如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是等腰梯形.
简析 因为四边形ABCD是梯形,要证明它是等腰梯形,就是证明两腰相等,也就是要证两条线段相等,可以利用全等三角形来解决.
证明 因为点M是AD的中点,所以AM=BM.
又因为MB=MC,所以∠MBC=∠MCB.
又因为AD∥BC,所以∠AMB=∠MBC,∠DMC=∠MCB.
所以∠AMB=∠DMC.
所以△ABM≌△DCM (SAS).
所以AB=DC.
所以梯形ABCD是等腰梯形.
习题是数学教学不可或缺的重要资源,在日常教学中,我们要对习题进行变式、推广和编创,充分发挥习题的价值.下面以这一道平面几何题为例谈谈自己的做法.
思维拓展1 将原题的条件改变,把“上底的中点”变为“下底的中点”,挖掘内在联系.
变式1 已知:如图2,四边形ABCD中,AD∥BC,点M是BC的中点,且AM=DM.
求证:四边形ABCD是等腰梯形.[TP22a1.TIF,Y][TS(][JZ][HTK]图2[TS)]
简析 此题只是把“上底的中点”变为“下底的中点”,中点的位置换了,但是通过分析解法还是同原题一样.
证明 因为点M是BC的中点,所以BM=CM.
又因为AM=DM,所以∠MAD=∠MDA.
又因为AD∥BC,所以∠MAD=∠AMB,∠MDA=∠DMC.
所以∠AMB=∠DMC.
所以△ABM≌△DCM (SAS).
所以AB=DC.
所以梯形ABCD是等腰梯形.
思维拓展2 将特殊条件一般化,把点M是“梯形底边上的中点”变为“梯形外部的点”,探究上述结论是否成立.[TP22b.TIF,Y][TS(][JZ][HTK]图3[TS)]
变式2 已知:如图3,四边形ABCD中,AD∥BC,点M是ABCD的外部一点,AM、DM交BC于E、F两点,且AM=DM,BE=CF.
求证:四边形ABCD是等腰梯形.
简析 此题只是把点M是梯形底边上的中点变换成了点M是ABCD的外部一点,但是通过分析解法还是同原题一样.
证明 因为AM=DM,所以∠MAD=∠MDA.
又因为AD∥BC,所以∠AEB=∠MAD,∠DFC=∠MDA.
所以∠AEB=∠DFC
所以∠MEF=∠MFE
所以ME=MF
所以AM-ME=DM-MF,即AE=DF.
所以△ABE△DCF(SAS),所以AB=DC,
所以梯形ABCD是等腰梯形.
思维拓展3 将结论和条件互换位置,把要证明的结论“等腰梯形”作为条件,探究新的结论,从而提高学生的应变能力.
变式3 已知:如图4,梯形ABCD中,AB=DC,AD∥BC,M是梯形外部的一点,且MA=MD.
求证:MB=MC.
证明 因为梯形ABCD是等腰梯形,所以∠BAD=∠CDA,
因为MA=MD,所以∠MAD=∠MDA,
所以∠BAD-∠MAD=∠CDA-∠MDA,
所以∠MAB=∠MDC,
在△AMB和△DMC中,AM=DM,∠MAB=∠MDC,AB=DC,
所以△AMB≌△DMC (SAS),
所以MB=MC.
思维拓展4 变换条件和结论,把“底边上的中点”变为“两点”,两腰由“已知相等”变为“结论”,提高探索能力.[TP22c.TIF,Y][TS(][JZ][HTK]图5[TS)]
变式4 已知:如图5,梯形ABCD中,AB∥DC,E、F是AB上的两点,且BE=CF,AE=DF,EF≠AD.
求证:AB=CD,EF≠AD.
证明 因为梯形ABCD中,AD∥BC,AE=DF,EF≠AD.
所以梯形EFDA是等腰梯形,
所以∠AEF=∠DFE,
所以∠AEB=∠DFC.
又因为BE=CF,AE=DF,
所以△BAE≌△CDF (SAS),
所以AB=CD.
思维拓展5 变换题型,将证明题改为探索题,探索新的结论是否成立,从而培养思维的发散性.
变式5 已知:如图6,梯形ABCD中,AD∥BC,M是底边AB上的点,给出下面三个论断:①AB=CD;②AM=DM;③BM=CM.
请你以其中的两个论断作为条件,填入“已知”栏中,以一个论断作为结论,填入“求证”栏中,使之成为一个正确的命题,并证明之.[TP22c1.TIF,Y][TS(][JZ][HTK]图6[TS)]
已知:如图6,在梯形ABCD中,AD∥BC,M是底边BC上的点,_________.
求证:___________.
简析 本题从所给的论断入手,不断变换题目的条件与结论,由浅入深,循序渐进,层层深化,既沟通了知识之间的联系又训练了发散思维的变通性.
符合题意的情形有三种情况,即
①,②→③
①,③→②
②,③→①
所以∠MAD=∠MDA,
因为AD∥BC,
所以∠MAD=∠AMB,∠MDA=∠DMC,
所以∠AMB=∠DMC.
在△AMB和△DMC中,
AM=DM,∠AMB=∠DMC,BM=CM,
所以△AMB≌△DMC (SAS),
所以AB=CD.
在教学时,如能在习题的解答后进一步深入研究,一定能发现一些很有趣又很有用的新知识或好方法,使解答数学问题的过程变成探究、发现的过程,将思维变成流动、活跃的过程.可使学生时时处在一种愉快的探索知识的状态中,从而充分调动了学生的积极性,启发学生的思维,提高学生的解题能力和探索能力.
作者简介 魏祖成,中学一级教师,湖北省竹溪县教研室数学教研员,发表文章100余篇,主要从事教材例习题的、有效课堂构建研究、中考试题研究.