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【摘 要】教学从学生已有的认知结构出发，可以促进他们更好的建构知识。本文分别分析了函数的单调性、三角函数的定义以及概率这三个知识点初高中的区别与联系，从教学的角度提出了做好初高中衔接的建议。
【关键词】初高中知识的衔接；函数的单调性；三角函数的定义；概率
由于数学大纲的变化，教材的改版，“初高中的衔接”问题成为近年来很多教师研究的问题，特别是基础知识方面的衔接。研究发现，大多数相关内容都是给高中学生补充原初中教材有现在教材已经去掉，而高中数学学习中又要用到的知识，比如十字相乘法、立方和立方差公式、射影定理、梯形的中位线定理、射影定理等。这些，都是显性知识的补充。而任何学习都是由“为什么—是什么—应怎样—该是否” （Why-What-How-If）组成的循环圈，所以在教学中深挖初高中知识之间的内在联系，让学生感到高中知识有些不是完全陌生的，只是在初中学习的基础上继续学习，并清楚继续学习的知识初高中的区别在哪里，弄清楚“为什么”学，也是做好初高中知识衔接的一个很重要的方面。
函数的单调性、三角函数的定义和概率，这三个知识点学生初高中都要学习。根据教材螺旋上升的特点，这些知识都经历了由浅入深的过程。教学中充分了解学生的最近发展区，帮助学生了解知识的来龙去脉，做好初高中的衔接，对学生的学习起着事半功倍的作用。
一、函数单调性的衔接
函数单调性是函数的重要性质之一，初高中都有涉及。初中对函数单调性的描述是通过图像直观描述的：“从左向右看，图像是上升的（下降的）”，或者“随着x的增大，y增大（或减小）”，学生只要学会看图像，函数的单调性便一目了然。高中教材中“函数是增加的”的概念是：一般地，设函数y=f（x）的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个自变量x■，x■，当x■f（x■），那么就称f（x）在区间A上是减少的，或者说f（x）在区间A上是递减的。很明显，高中对函数单调性的描述将“图形语言”转换为“文字语言”，更严谨，也更抽象。在函数单调性的教学中解决以下两个问题，能更好的做好衔接。
第一，高中学习函数单调性定义的原因。初中学习的一次函数、反比例函数、二次函数的图像都可以作出图像，直观看出函数单调性，遇到一些特殊的函数也都会给图像，课标对学生的要求是可以通过图像观察得出函数的单调性即可。而高中会遇到一些抽象函数，没办法作出函数图像，这时，就不能通过观察图像来得出函数的单调性。高中学完函数单调性定义后，可以通过严格的单调性证明，解决该问题。
第二，高中学习的函数单调性的定义和初中对函数单调性描述的区别和联系。它们的区别是一个通过“图形语言”判断，一个通过“符号语言”判断。它们的联系，首先，都是用来判断函数单调性的；其次，初中对“单调递增”描述中的“随着x的增大”就是高中定义中的“任意两个自变量x■、x■，x■ 教学设计只要围绕帮助学生弄清楚这两个问题，接下来的问题就比较容易解决。
二、三角函数定义的衔接
初中学生主要学习锐角三角函数，是在直角三角形中定义的。
高中三角函数是在单位圆中定义的，具体为：在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P（u，v），把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v=sinα，点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u=cosα。这两个定义看似差别很大，实则不然。高中三角函数定义教学中，帮学生弄清楚以下两个问题即可。
第一，学习单位圆定义三角函数的原因。初中研究的是锐角三角函数，角的范围是0■～90■，而高中用旋转定义角后，角的范围扩充，角可以是正角、负角和零角，进而三角函数的定义域扩充到了全体实数范围，初中的定义有局限性，故引入单位圆定义三角函数。
第二，初中三角函数的定义和高中三角函数定义的联系。当α为锐角时，单位圆的半径为1，sinα=■=v，cosα=■=u，和初中所给的正余弦函数定义一致，所以，初中的定义可以纳入高中的定义。
弄清楚这两点进行教学，学生从知识点到思维能力，由浅入深，有利于知识的建构。
除了三角函数的定义外，三角函数在初中的应用是解三角形，在高中的应用是用正弦定理、余弦定理解三角形，区别是前者解的是直角三角形，后者可以解任意三角形。本质联系都是通过三角形中边长与角度之间的数量关系解决问题。所以在解三角形中，也能通过找“本源”做好初高中衔接。
三角函数整体学完之后，引导学生完成前人研究中关于人教版初高中数学教材“三角函数”不仅能将初高中知识衔接的更好，对学生知识的整体把握、归纳能力的提升和思维的升华都有帮助。
三、概率的衔接
概率知识和实际生活联系紧密，初中七年级开始学习概率，九年级初步学习用频率估计概率，并会用树状图或表格
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法计算简单两步事件发生的概率。高中继续学习概率，主要学习古典概型和几何概型。初中学生计算的概率基本都属于古典概型，只是初中课标要求学生会用树状图或者表格法求出某简单随机事件发生的概率即可，没有严格的定義。因为内容相近，题目类似，学生容易分不清初高中所学概率的区别和联系，部分学生会因为初中概率简单而轻视高中概率学习，思维上得不到提升。所以高中概率教学最重要的是帮助学生弄清楚初高中概率知识的区别和联系。
第一，明确初高中概率知识的区别。初中只要求会计算，高中对古典概型进行了严格的定义，而且给出了求古典概型概率的公式：试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的，如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P（A）=■=■。这里，基本事件的选取很重要，选择的基本事件不同，建立的概率模型就不一样，计算的复杂程度也就不一样。教材中专门有“建立概率模型”一节内容，对学生的能力要求明显提升，对学生的思维也是很好的锻炼。
第二，初高中概率知识的联系。首先，初中高中所学的概率知识，都是求简单随机事件发生的概率。其次，高中学习的古典概型，当确定基本事件，建立相应的概率模型后，求解又用的初中所学的树状图或表格法。
学生清楚初高中概率知识的区别与联系，能更好地认识到高中学习的必要性，有利于他们更好地建构知识，提高思维能力。
皮亚杰的建构主义理论认为，儿童与环境的相互作用涉及两个基本过程：“同化”与“顺应”。同化是指个体把外界刺激所提供的信息整合到自己原有认知结构内的过程；顺应是指个体的认知结构因外部刺激的影响而发生改变的过程。同化是认知结构数量的扩充，而顺应则是认知结构性质的改变。儿童的认知结构就是通过同化与顺应过程逐步建构起来，并在“平衡——不平衡——新的平衡”的循环中得到不断的丰富、提高和发展。所以，作为高中教师，熟悉初高中数学知识的结构，把握大纲知识螺旋上升的关键点，从学生已有的认知结构出发，进行教学设计，引导学生发现已学知识的局限性，形成认知冲突，不仅让学生感受到新学知识的必要性，激发学习兴趣，又可以帮助学生找到知识的“生长点”，促进他们更好地建构知识，从而实现初高中知识的有效衔接。
【参考文献】
[1]王光生，何克抗.信息化环境中基于翻转课堂的数学教学设计[M].西安：陕西师范大学出版社，2015
[2]谢金芮.初高中教学教材知识结构衔接研究[D].重庆：西南大学，2014
[3]邓勤.新课程背景下初高中数学教学的有效衔接—从函数概念的教学谈起[J].数学通报，2011（2）
【关键词】初高中知识的衔接；函数的单调性；三角函数的定义；概率
由于数学大纲的变化，教材的改版，“初高中的衔接”问题成为近年来很多教师研究的问题，特别是基础知识方面的衔接。研究发现，大多数相关内容都是给高中学生补充原初中教材有现在教材已经去掉，而高中数学学习中又要用到的知识，比如十字相乘法、立方和立方差公式、射影定理、梯形的中位线定理、射影定理等。这些，都是显性知识的补充。而任何学习都是由“为什么—是什么—应怎样—该是否” （Why-What-How-If）组成的循环圈，所以在教学中深挖初高中知识之间的内在联系，让学生感到高中知识有些不是完全陌生的，只是在初中学习的基础上继续学习，并清楚继续学习的知识初高中的区别在哪里，弄清楚“为什么”学，也是做好初高中知识衔接的一个很重要的方面。
函数的单调性、三角函数的定义和概率，这三个知识点学生初高中都要学习。根据教材螺旋上升的特点，这些知识都经历了由浅入深的过程。教学中充分了解学生的最近发展区，帮助学生了解知识的来龙去脉，做好初高中的衔接，对学生的学习起着事半功倍的作用。
一、函数单调性的衔接
函数单调性是函数的重要性质之一，初高中都有涉及。初中对函数单调性的描述是通过图像直观描述的：“从左向右看，图像是上升的（下降的）”，或者“随着x的增大，y增大（或减小）”，学生只要学会看图像，函数的单调性便一目了然。高中教材中“函数是增加的”的概念是：一般地，设函数y=f（x）的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个自变量x■，x■，当x■
第一，高中学习函数单调性定义的原因。初中学习的一次函数、反比例函数、二次函数的图像都可以作出图像，直观看出函数单调性，遇到一些特殊的函数也都会给图像，课标对学生的要求是可以通过图像观察得出函数的单调性即可。而高中会遇到一些抽象函数，没办法作出函数图像，这时，就不能通过观察图像来得出函数的单调性。高中学完函数单调性定义后，可以通过严格的单调性证明，解决该问题。
第二，高中学习的函数单调性的定义和初中对函数单调性描述的区别和联系。它们的区别是一个通过“图形语言”判断，一个通过“符号语言”判断。它们的联系，首先，都是用来判断函数单调性的；其次，初中对“单调递增”描述中的“随着x的增大”就是高中定义中的“任意两个自变量x■、x■，x■
二、三角函数定义的衔接
初中学生主要学习锐角三角函数，是在直角三角形中定义的。
高中三角函数是在单位圆中定义的，具体为：在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P（u，v），把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v=sinα，点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u=cosα。这两个定义看似差别很大，实则不然。高中三角函数定义教学中，帮学生弄清楚以下两个问题即可。
第一，学习单位圆定义三角函数的原因。初中研究的是锐角三角函数，角的范围是0■～90■，而高中用旋转定义角后，角的范围扩充，角可以是正角、负角和零角，进而三角函数的定义域扩充到了全体实数范围，初中的定义有局限性，故引入单位圆定义三角函数。
第二，初中三角函数的定义和高中三角函数定义的联系。当α为锐角时，单位圆的半径为1，sinα=■=v，cosα=■=u，和初中所给的正余弦函数定义一致，所以，初中的定义可以纳入高中的定义。
弄清楚这两点进行教学，学生从知识点到思维能力，由浅入深，有利于知识的建构。
除了三角函数的定义外，三角函数在初中的应用是解三角形，在高中的应用是用正弦定理、余弦定理解三角形，区别是前者解的是直角三角形，后者可以解任意三角形。本质联系都是通过三角形中边长与角度之间的数量关系解决问题。所以在解三角形中，也能通过找“本源”做好初高中衔接。
三角函数整体学完之后，引导学生完成前人研究中关于人教版初高中数学教材“三角函数”不仅能将初高中知识衔接的更好，对学生知识的整体把握、归纳能力的提升和思维的升华都有帮助。
三、概率的衔接
概率知识和实际生活联系紧密，初中七年级开始学习概率，九年级初步学习用频率估计概率，并会用树状图或表格
（下转第20页）（上接第18页）
法计算简单两步事件发生的概率。高中继续学习概率，主要学习古典概型和几何概型。初中学生计算的概率基本都属于古典概型，只是初中课标要求学生会用树状图或者表格法求出某简单随机事件发生的概率即可，没有严格的定義。因为内容相近，题目类似，学生容易分不清初高中所学概率的区别和联系，部分学生会因为初中概率简单而轻视高中概率学习，思维上得不到提升。所以高中概率教学最重要的是帮助学生弄清楚初高中概率知识的区别和联系。
第一，明确初高中概率知识的区别。初中只要求会计算，高中对古典概型进行了严格的定义，而且给出了求古典概型概率的公式：试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的，如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P（A）=■=■。这里，基本事件的选取很重要，选择的基本事件不同，建立的概率模型就不一样，计算的复杂程度也就不一样。教材中专门有“建立概率模型”一节内容，对学生的能力要求明显提升，对学生的思维也是很好的锻炼。
第二，初高中概率知识的联系。首先，初中高中所学的概率知识，都是求简单随机事件发生的概率。其次，高中学习的古典概型，当确定基本事件，建立相应的概率模型后，求解又用的初中所学的树状图或表格法。
学生清楚初高中概率知识的区别与联系，能更好地认识到高中学习的必要性，有利于他们更好地建构知识，提高思维能力。
皮亚杰的建构主义理论认为，儿童与环境的相互作用涉及两个基本过程：“同化”与“顺应”。同化是指个体把外界刺激所提供的信息整合到自己原有认知结构内的过程；顺应是指个体的认知结构因外部刺激的影响而发生改变的过程。同化是认知结构数量的扩充，而顺应则是认知结构性质的改变。儿童的认知结构就是通过同化与顺应过程逐步建构起来，并在“平衡——不平衡——新的平衡”的循环中得到不断的丰富、提高和发展。所以，作为高中教师，熟悉初高中数学知识的结构，把握大纲知识螺旋上升的关键点，从学生已有的认知结构出发，进行教学设计，引导学生发现已学知识的局限性，形成认知冲突，不仅让学生感受到新学知识的必要性，激发学习兴趣，又可以帮助学生找到知识的“生长点”，促进他们更好地建构知识，从而实现初高中知识的有效衔接。
【参考文献】
[1]王光生，何克抗.信息化环境中基于翻转课堂的数学教学设计[M].西安：陕西师范大学出版社，2015
[2]谢金芮.初高中教学教材知识结构衔接研究[D].重庆：西南大学，2014
[3]邓勤.新课程背景下初高中数学教学的有效衔接—从函数概念的教学谈起[J].数学通报，2011（2）