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三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其它领域中具有重要作用．三角函数既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习的基础．在学习过程中，建立三角函数模型将实际问题转化为数学问题，是解决三角函数实际问题的关键．
解决三角实际问题的关键有三点：一是仔细审题．仔细审题，准确理解题意，分析条件和结论，明确问题的实际背景，理清问题中各个量之间的数量关系；二是合理选取参变量．设定变元，寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系；三是建立与求解相应的三角函数模型．将文字语言、图形数表语言、符号语言等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，求解数学模型，得出数学结论．
一、常见的三角函数模型
1．转化为三角函数的一次型函数y=Asin（ωx+φ）+k模型
例1 某港口每年的10月份的海潮都有如下的规律：相邻两次高潮发生间隔为12h20min，低潮时水的深度为2．8m，高潮时水深为8．4m，一次高潮发生在10月3日2：00．若从10月3日0：00开始计算时间，可以用三角函数d=Asin（ωt+φ）+k（A>0，ω>0，－π2<φ<π2）来近似地描述这个港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系．
（1）请求出函数的表达式；
（2）求10月5日4：00水的深度；
（3）一只轮船吃水深度为5m，该港口安全条例规定：船底与海底安全间隙的最小值为1．5m，问10月3日12时至16时这条轮船能否进入该港口？
（参考数据：cos4π37≈910，cos29π74≈928）．
分析 港口的海潮是有周期的规律，所以题目直接给出实际问题的三角函数的一次型函数模型，求解时只要根据条件直接确定A、ω、φ、k的值．
（1）由条件可知：A+k=8.4，－A+k=2.8，则A=2.8，k=5.6；又周期T=1213=2πω，解得ω=6π37；当t=2时，ωt+φ=π2，则6π37×2+φ=π2，φ=13π74．
从而d=2.8sin（6π37t+13π74）+5.6．
（2）d=2.8sin（6π37×52+13π74）+5.6=2.8cos4π37+5.6=2.8×0.9+5.6=8.12．
（3）d=2.8sin（6π37t+13π74）+5.6≥6.5，则sin（6π37t+13π74）≥928=cos29π74=sin4π37．
当12 即9π74<6π37t+13π74－2π<57π74，而sin9π74>sin4π37，sin5774π=sin1474π>sin4π37．
故10月3日12时至16时这条轮船能够进入该港口．
点评：已知三角函数一次型函数模型，其中A的值与变化的幅度有关，即A=ymax－ymin2；ω的值与周期有关，即ω=2πT；φ的值与初相有关．
例2 如图，在半径为R、圆心角为60°的扇形AB弧任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，求这个矩形面积的最大值．
分析 要求扇形的内接矩形的面积最大值，首先要表示矩形的面积，由于已知条件是与角有关的条件，所以考虑设角为自变量来表示矩形的面积．
设∠POB=θ，所以PN=Rsinθ，ON=Rcosθ，又OM=QMtan60°=PNtan60°=33Rsinθ，
则MN=Rcosθ－33Rsinθ，所以S=（Rcosθ－33Rsinθ）Rsinθ，利用三角公式变形整理得S=36R2［2sin（2θ+π6）－1］，θ∈（0，π3）．则易求得当θ=π6时最大值为36R2．
点拨 根据问题中面积的定义，通过设角，找到各个量之间的关系，再利用三角公式将实际问题转化为三角函数的一次函数模型．
２．转化为三角函数的分式函数模型
例3 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为y km．
（1） 设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；
（2）确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．
分析 本题已经设了辅助角，根据图形特点，知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），则OA=AQcosθ=10cosθ， 故OB=10cosθ，又OP=10－10tanθ，
所以y=OA+OB+OP=10cosθ+10cosθ+10－10tanθ，
所求函数关系式为y=20－10sinθcosθ+10（0≤θ≤π4），可利用导数求最值．
此时点P位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边1033km处．
点拨 通过设角，根据图形特点，利用角θ表示各个量之间的关系式，建立的是三角函数的分式函数模型，求解最值时往往通过导数求得结果．
3．转化为三角函数的“勾型函数”模型
例4 如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上的点P0出发，沿与AB的夹角为θ的方向射到边BC上点P1后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD、DA和AB上的P2、P3、P4处．若P4落在A、P0两点之间，且AP0=2．设tanθ=t，将五边形P0P1P2P3P4的面积S表示为t的函数，并求S的最大值．
解决三角实际问题的关键有三点：一是仔细审题．仔细审题，准确理解题意，分析条件和结论，明确问题的实际背景，理清问题中各个量之间的数量关系；二是合理选取参变量．设定变元，寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系；三是建立与求解相应的三角函数模型．将文字语言、图形数表语言、符号语言等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，求解数学模型，得出数学结论．
一、常见的三角函数模型
1．转化为三角函数的一次型函数y=Asin（ωx+φ）+k模型
例1 某港口每年的10月份的海潮都有如下的规律：相邻两次高潮发生间隔为12h20min，低潮时水的深度为2．8m，高潮时水深为8．4m，一次高潮发生在10月3日2：00．若从10月3日0：00开始计算时间，可以用三角函数d=Asin（ωt+φ）+k（A>0，ω>0，－π2<φ<π2）来近似地描述这个港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系．
（1）请求出函数的表达式；
（2）求10月5日4：00水的深度；
（3）一只轮船吃水深度为5m，该港口安全条例规定：船底与海底安全间隙的最小值为1．5m，问10月3日12时至16时这条轮船能否进入该港口？
（参考数据：cos4π37≈910，cos29π74≈928）．
分析 港口的海潮是有周期的规律，所以题目直接给出实际问题的三角函数的一次型函数模型，求解时只要根据条件直接确定A、ω、φ、k的值．
（1）由条件可知：A+k=8.4，－A+k=2.8，则A=2.8，k=5.6；又周期T=1213=2πω，解得ω=6π37；当t=2时，ωt+φ=π2，则6π37×2+φ=π2，φ=13π74．
从而d=2.8sin（6π37t+13π74）+5.6．
（2）d=2.8sin（6π37×52+13π74）+5.6=2.8cos4π37+5.6=2.8×0.9+5.6=8.12．
（3）d=2.8sin（6π37t+13π74）+5.6≥6.5，则sin（6π37t+13π74）≥928=cos29π74=sin4π37．
当12
故10月3日12时至16时这条轮船能够进入该港口．
点评：已知三角函数一次型函数模型，其中A的值与变化的幅度有关，即A=ymax－ymin2；ω的值与周期有关，即ω=2πT；φ的值与初相有关．
例2 如图，在半径为R、圆心角为60°的扇形AB弧任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，求这个矩形面积的最大值．
分析 要求扇形的内接矩形的面积最大值，首先要表示矩形的面积，由于已知条件是与角有关的条件，所以考虑设角为自变量来表示矩形的面积．
设∠POB=θ，所以PN=Rsinθ，ON=Rcosθ，又OM=QMtan60°=PNtan60°=33Rsinθ，
则MN=Rcosθ－33Rsinθ，所以S=（Rcosθ－33Rsinθ）Rsinθ，利用三角公式变形整理得S=36R2［2sin（2θ+π6）－1］，θ∈（0，π3）．则易求得当θ=π6时最大值为36R2．
点拨 根据问题中面积的定义，通过设角，找到各个量之间的关系，再利用三角公式将实际问题转化为三角函数的一次函数模型．
２．转化为三角函数的分式函数模型
例3 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为y km．
（1） 设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；
（2）确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．
分析 本题已经设了辅助角，根据图形特点，知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），则OA=AQcosθ=10cosθ， 故OB=10cosθ，又OP=10－10tanθ，
所以y=OA+OB+OP=10cosθ+10cosθ+10－10tanθ，
所求函数关系式为y=20－10sinθcosθ+10（0≤θ≤π4），可利用导数求最值．
此时点P位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边1033km处．
点拨 通过设角，根据图形特点，利用角θ表示各个量之间的关系式，建立的是三角函数的分式函数模型，求解最值时往往通过导数求得结果．
3．转化为三角函数的“勾型函数”模型
例4 如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上的点P0出发，沿与AB的夹角为θ的方向射到边BC上点P1后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD、DA和AB上的P2、P3、P4处．若P4落在A、P0两点之间，且AP0=2．设tanθ=t，将五边形P0P1P2P3P4的面积S表示为t的函数，并求S的最大值．